佛山市南海區(qū)華附南海實驗高中(528200) 丘紅萍

培養(yǎng)創(chuàng)新意識 開展“新概念”教學(xué)

佛山市南海區(qū)華附南海實驗高中(528200) 丘紅萍

由知識立意轉(zhuǎn)向能力立意已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)命題的改革趨勢.最近幾年全國和各省的高考數(shù)學(xué)試題較好地體現(xiàn)了能力立意,體現(xiàn)了命題的理性思維和改革的思想.為了考察考生的學(xué)習(xí)潛能,改革后的高考命題在學(xué)生原有知識水平的基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新,引申或設(shè)置新的定義、術(shù)語、表述等,要求答題者根據(jù)新信息進行解題.這類試題情境陌生,設(shè)問新穎靈活,解答時需要考生通過觀察、分析、歸納、概括,對信息進行處理,再與所學(xué)知識進行類比、聯(lián)想,體現(xiàn)了思維的深刻性、靈活性和多樣性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,是高考數(shù)學(xué)中一個新的亮點.

1.“新概念”及“新概念”教學(xué)的含義

我們把中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中未出現(xiàn)的定義、術(shù)語、表述等稱為“新概念”.“新概念”題一般通過設(shè)置新情景、定義新概念、規(guī)定新運算等提供信息,要求學(xué)生按照這個新概念的定義,內(nèi)化題給信息并與原知識能力結(jié)合,運用邏輯推理和有關(guān)計算進行解題.自然地,“新概念”教學(xué)就是以自定義“新概念”為起點所實施的系列教學(xué)過程.解答“新概念”題可反映學(xué)生對數(shù)學(xué)語言文字和數(shù)學(xué)概念理解能力的高低,獨立分析和解答問題能力的強弱.

案例1 設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“?”(即對任意的a,b∈S,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a?b與之對應(yīng)).若對任意的a,b∈S,有a?(b?a)=b,則對任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )

A.(a?b)?a=a

B.[a?(b?a)]?(a?b)=a

C.b?(b?b)=b

D.(a?b)?[b?(a?b)]=b

題中出現(xiàn)了一種新運算“?”,它與我們平時學(xué)的普通的加減乘除、乘方開方等運算不一樣,于是我們將這個自定義的的新運算“?”稱為“新概念”.為了讓學(xué)生掌握新運算“?”,教師要讓學(xué)生先建立新觀念,再觀察式子a?(b?a)=b,找出?運算的本質(zhì).理解?運算的本質(zhì)后,便可順利解決問題.我們稱這系列的教學(xué)過程為“新概念”教學(xué).

“新概念”的形式多種多樣:有的用符號、式子表示;有的是以基礎(chǔ)概念的疊加的形式出現(xiàn)的;有的是在原有概念的限制、延伸或者擴充而形成的......正所謂“教學(xué)有法,但無定法”,在“新概念”教學(xué)的過程中,我們可以針對不同的“新概念”的形式采用不同的教學(xué)方法,只要把握住“新概念”的本質(zhì)屬性,真正理解“新概念”的內(nèi)涵和外延,就能建立良好的知識體系,順利地解決問題.

2.“新概念”教學(xué)的研究現(xiàn)狀

文獻解析函數(shù)創(chuàng)新題的求解策略及聚焦高考題中的高等數(shù)學(xué)背景(二)列舉了“凹凸函數(shù)”、“閉函數(shù)”、“不動點”、“利普希茨條件”等“新概念”,然后給出了與這些“新概念”相關(guān)問題的解答和點評,同時說明了這些題不過是以學(xué)生熟知的知識為載體,用“新概念”進行包裝,解這些題時需把已有的知識、方法和經(jīng)驗遷移到新的情境中.這些文獻注重的是解題,沒有論述學(xué)生如何獲得這些“新概念”及運用這些“新概念”來解決相關(guān)問題,也沒有論述教師如何進行“新概念”教學(xué).

文獻新課標下高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)僅僅論述了新課標下數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)的一些理論,基本上沒有涉及“新概念”教學(xué).文獻新課程下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)教學(xué)設(shè)計中雖然有概念教學(xué)理論及APOS理論支撐,但所舉的教學(xué)案例(函數(shù)的概念,直線與平面垂直的概念,二分法的概念)均為教材中的基本概念,未涉及“新概念”的教學(xué).

從上面的分析可以看到,有部分文章論述了概念教學(xué),有部分文章在講“新概念”題的解答,其中僅有一部分的文章涉及到函數(shù)問題的概念教學(xué),都是一些非常零散的敘述,但都未涉及“新概念”教學(xué),目前能把高中函數(shù)問題的“新概念”教學(xué)研究進行系統(tǒng)化、條理化的文獻仍極為罕見.“新概念”教學(xué)還缺乏理論支撐,所以“新概念”教學(xué)理論還有待研究,有待發(fā)展并將其系統(tǒng)化、條理化.

3.“新概念”教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識中最基本的內(nèi)容,是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的重要組成部分,理解和掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基點,是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提.從而概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項內(nèi)容,是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心.概念教學(xué)不僅要突出學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),還要關(guān)心和改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.事實上,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)是概括出數(shù)學(xué)中一類事物對象的本質(zhì)屬性,正確區(qū)分同類事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性,正確形成數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延.因此教師在傳授數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的過程中,都必須以數(shù)學(xué)概念為前提和基礎(chǔ),即先掌握數(shù)學(xué)概念后形成解題技巧.

由于長期以來受應(yīng)試教育的影響,不少教師在教學(xué)中重解題輕概念,造成概念與解題脫節(jié)的現(xiàn)象.有些教師認為學(xué)好數(shù)學(xué)就要做大量的練習(xí),學(xué)生做的題多了,成績自然就會好,而不注重基本概念的教學(xué);有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個名詞而已,認為概念教學(xué)就是對概念作解釋,要求學(xué)生記憶,而沒有看到像函數(shù)這樣的概念,本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念,是一種處理問題的數(shù)學(xué)方法.從這樣的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)的實際來看,導(dǎo)致學(xué)生會出現(xiàn)兩種傾向:一是認為基本概念單調(diào)乏味,不重視它,不求甚解,導(dǎo)致概念認識和理解模糊;二是對基本概念只是死記硬背,而不去透徹理解,只有機械的零碎的認識.從而導(dǎo)致學(xué)生在解答新概念題的過程中主要存在如下幾個問題:(1)對問題的背景不熟悉;(2)不能正確理解創(chuàng)新題中涉及的新概念、數(shù)式及圖表的含義;(3)沒有弄清數(shù)量、圖形間的關(guān)系;(4)不能正確地將問題模型化、模式化或分解、轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題.

其實,“新概念”題源于教材又高于教材,從簡單到復(fù)雜,充分展示了更深層次的探索過程.當學(xué)生遇到“新概念”題時,學(xué)生原有的知識經(jīng)驗與“新概念”產(chǎn)生了矛盾,在心里自然而然地就會產(chǎn)生一種解決問題的心理需要,以數(shù)學(xué)問題激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲,引發(fā)了學(xué)生的認知沖突,讓學(xué)生有機會像數(shù)學(xué)家一樣去思考,從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)“新概念”的興趣,產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力,把數(shù)學(xué)從“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化成“火熱的思考”.故教師可以在日常教學(xué)中滲透一些“新概念”題,讓學(xué)生通過“新概念”的學(xué)習(xí),更透徹地理解基本概念,同時也可以促使教師更注重概念教學(xué),這樣便可促使學(xué)生更好地理解創(chuàng)新題中設(shè)計的“新概念”,也可以更好地將新問題轉(zhuǎn)為熟悉的數(shù)學(xué)問題.可以看到,“新概念”教學(xué)既可以彌補概念教學(xué)中的不足,又可以培養(yǎng)學(xué)生提高獨立獲取信息、加工信息的學(xué)習(xí)能力和對新問題的分析、解決能力.

因此,將“新概念”教學(xué)融入日常教學(xué)和將“新概念“教學(xué)理論進行系統(tǒng)化、條理化,具有一定的可行性和現(xiàn)實意義.

4.實施“新概念”教學(xué)的要點

4.1 “新概念”教學(xué)本質(zhì)是概念教學(xué).

概念教學(xué)是要幫助學(xué)生獲得概念的心理意義,即形成概念內(nèi)涵的心理意義,或者說建構(gòu)起良好的概念圖示.而概念的獲得主要有三種基本形式概念的形成、概念的同化和概念的順應(yīng).

4.1.1 概念的形成

4.1.2 概念的同化

概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念,或者對原有的概念重新加工整理的過程.它是一種有意義的學(xué)習(xí).概念的同化過程不僅使新概念獲得了意義,而且擴大和深化了原有的認知結(jié)構(gòu).在數(shù)學(xué)中,大多數(shù)概念是以屬概念(在概念的從屬關(guān)系中,外延大的概念稱為屬概念)加種差(即關(guān)鍵屬性)的方式定義的,并借助于具體的例證進行.正是由于這些特殊的關(guān)鍵屬性,使得人們區(qū)分各種不同的概念.同時,學(xué)生必須弄清概念的內(nèi)涵和外延的相互依存關(guān)系:概念的內(nèi)涵越大,其外延就越小;換言之,概念的外延越大,其內(nèi)涵就越小.

如同化題中“單峰函數(shù)”的概念:設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù).若存在x?∈(0,1)使得f(x)在[0,x?]上單調(diào)遞增,在[x?,1]上單調(diào)遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數(shù),x?為峰點,包含峰的區(qū)間為含峰區(qū)間.就要對屬概念“函數(shù)”進行分類,分類的依據(jù)是種差“若存在x?∈(0,1)使得f(x)在[0,x?]上單調(diào)遞增,在[x?,1]上單調(diào)遞減.”于是從屬概念中分化出一個新的種概念“單峰函數(shù)”.這個“新概念”里隱含了兩個基礎(chǔ)概念:單調(diào)遞增和單調(diào)遞減,而單峰函數(shù)就是由這兩個基礎(chǔ)概念疊加而成的,所以基礎(chǔ)概念是構(gòu)成“新概念”的基礎(chǔ).單峰函數(shù)是一種特殊的函數(shù),它既不同于在定義域上單調(diào)遞增的函數(shù)也不同于在定義域上單調(diào)遞減的函數(shù).搞清楚了單調(diào)遞增、單調(diào)遞減與單峰函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別,學(xué)習(xí)者就明確了單峰函數(shù)的內(nèi)涵和外延.同化的結(jié)果,使單峰函數(shù)的概念獲得了心理意義,將單峰函數(shù)這個數(shù)學(xué)概念納入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)中,使原有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)得到拓展和深化,從而完善認知結(jié)構(gòu).于是,我們也得到了概念同化的一般過程:閱讀定義——以舊概念來明確定義的內(nèi)涵外延——區(qū)分和聯(lián)系新概念.

4.1.3 概念的順應(yīng)

概念的順應(yīng),是指當原有的認知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時,就要調(diào)整或者改變原有的認知結(jié)構(gòu),以便概括新概念.例如:運算和運算

(1)對于任意的有理數(shù)x,y定義一種新運算?,規(guī)定x?y=ax+by?cxy,其中a,b,c表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運算,又知道1?2=3,2?3=4,x?m=x(m≠0),則m的值為( )

對于這類題——在數(shù)學(xué)問題中給出一種全新的運算方法,解題時要運用這種方法才能解決,這類題的突破口主要是對所給的新運算的理解,只要把握運算的本質(zhì),便可得到順利解決.

4.2 “新概念”教學(xué)的內(nèi)容及可操作性

高等數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容與中學(xué)比較接近,有些概念或者結(jié)論只要稍作變式敘述,就能以中學(xué)生能接受的形式出現(xiàn).這些題既能考查學(xué)生的能力,又有利于高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識內(nèi)容的銜接.于是,教師可適當選取和編擬一些“新概念”題融入日常教學(xué)中.但要注意一下幾點:

(1)教師要緊密地結(jié)合教學(xué)目標,圍繞教學(xué)的核心內(nèi)容和主要任務(wù)設(shè)計來提出“新概念”題,隨著“新概念”的提出和“新概念”題的解決,有層次有步驟地完成教學(xué)目標.

(2)教師要了解學(xué)生的認知水平和認知結(jié)構(gòu)特點,設(shè)計的“新概念”題應(yīng)符合“最近發(fā)展區(qū)”原理,始終保持在欲知未知、半生不熟的中等強度上,不能過易或者過難,這樣才能激發(fā)學(xué)生去思考、解決問題,改善認知結(jié)構(gòu).

(3)教材是教學(xué)的重要依據(jù),教師設(shè)計和提出“新概念”題要充分考慮和利用教材,同時也不局限于教材.

在“新概念”教學(xué)中,設(shè)計和提出“新概念”題要以學(xué)生為中心,要有助于啟發(fā)學(xué)生獨立思考,幫助學(xué)生解決問題而不能代替學(xué)生解決問題,以問題推動學(xué)生的自主學(xué)習(xí),逐步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性.

例如:函數(shù)教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一條主線,它既是中學(xué)書中的重要知識,也是高等數(shù)學(xué)中繼續(xù)深入研究的重要對象.在高中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性和周期性等基本概念和基礎(chǔ)知識,也學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)等基本初等函數(shù).有了這些基礎(chǔ)知識作依托,我們可以對函數(shù)做簡單的性態(tài)分析.在高等數(shù)學(xué)中還通過函數(shù)的凹凸性、有界性和峰值等研究函數(shù)的性態(tài).只要將高等數(shù)學(xué)中的這些概念修改一下,便可成為中學(xué)數(shù)學(xué)的“新概念”.有了這些“新概念”,我們將可以更加完善地研究函數(shù)的性態(tài).

綜上所述,我們可以看到,求解函數(shù)“新概念”題必須在題設(shè)中陌生的、新穎的信息做出深刻的理解,把已有的知識進行復(fù)現(xiàn)、延伸、拓展,充分對新舊知識進行聯(lián)想、類比,把已有的知識、方法、經(jīng)驗轉(zhuǎn)移到新的情境中,在遷移的過程中靈活地將新舊知識進行有機地整合,從而讓問題順利得到解決.而問題解決的關(guān)鍵在于如何進行轉(zhuǎn)換和過渡,如何進行知識的遷移,從而構(gòu)建出熟悉和諧的知識體系和問題背景.

巴甫洛夫曾經(jīng)指出:任何一個新問題的統(tǒng)一,分類討論是通過化整體為局部而策略性地解決問題,等價轉(zhuǎn)化是通過匹配的原因和結(jié)果分析而實施,教學(xué)設(shè)計應(yīng)關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實的認知結(jié)構(gòu)與可能生長的最近發(fā)展區(qū)才能達成最佳效果.數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)將哲學(xué)的辯證法思想、認識論思想貫徹于認知數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,用哲學(xué)的思想去統(tǒng)帥數(shù)學(xué)的思想和方法,辯證地講解數(shù)學(xué)演譯的邏輯過程,才能讓學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的思想方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的理性精神,同時獲得更高層次的智力開發(fā).

3.2 數(shù)學(xué)育人與哲學(xué)

當下,再出發(fā)的新課改倡導(dǎo)“核心素養(yǎng)”,又稱為“21世紀素養(yǎng)”.它是為人們適應(yīng)信息時代、知識社會和全球化時代的需要,是解決復(fù)雜問題和適應(yīng)不可預(yù)測情境的能力和道德.對學(xué)生而言,“核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力”.而哲學(xué)是系統(tǒng)化理論化的世界觀,辯證法則是世界觀的靈魂,是我們認識改造世界的最好的勞動工具和最銳利的武器.這充分顯示出哲學(xué)對提升人的核心素養(yǎng),具有很強的前瞻作用.相對于具體學(xué)科而言,哲學(xué)是科學(xué)中的科學(xué).對哲學(xué)的認識有利于具體學(xué)科的學(xué)習(xí),而具體學(xué)科的學(xué)習(xí)又能促進對哲學(xué)的理解,它們是在相互作用中促進一個人核心素養(yǎng)的發(fā)展.

在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中,學(xué)生的認知發(fā)展是一條明線,其中隱蘊的暗線則是數(shù)學(xué)育人.既然數(shù)學(xué)育人是暗線,在數(shù)學(xué)課堂上要防止生硬地說教,防止數(shù)學(xué)認知與育人脫節(jié),在設(shè)計教學(xué)時,要體現(xiàn)出認知對育人實在而又具體的層面.具體地講,數(shù)學(xué)育人的情感、態(tài)度與價值觀應(yīng)以哲學(xué)的辯證法思想、認識論思想作統(tǒng)領(lǐng),這樣能將三維目標達到有機的統(tǒng)一,而不是人為割裂.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析六個維度.通過數(shù)學(xué)的抽象、嚴謹?shù)倪壿嬐评?孕育學(xué)生哲學(xué)的真理觀,通過數(shù)學(xué)的直觀想象、運算分析、數(shù)學(xué)建模在解決實際問題中的應(yīng)用,培育學(xué)生辯證法、方法論的世界觀,當然,它們也是在相互發(fā)展中促成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

4 結(jié)束語

總的來說,基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計,應(yīng)不崇拜、不跟風(fēng)、不追求時尚,要實在地著眼于學(xué)生的終身發(fā)展和社會需求,應(yīng)有大觀念(學(xué)科結(jié)核)、大視野下的超越理念.二十一世紀的社會公民,接受以哲學(xué)思想為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)文明的洗禮,已是科學(xué)素養(yǎng)與德育素養(yǎng)不可缺少的組成部分.