姜濤

【摘要】 極值點(diǎn)與拐點(diǎn)是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)性質(zhì)的兩個(gè)重要概念，也是函數(shù)的重要特征.本文由極值存在的第二充分條件入手，并對(duì)其進(jìn)行推廣，得出在更一般的情況下，極值點(diǎn)與拐點(diǎn)存在的充分條件.新充分條件較以往的條件更具普遍性，擴(kuò)大了判斷范圍.

【關(guān)鍵詞】 極值點(diǎn);拐點(diǎn);導(dǎo)數(shù);充分條件

極值點(diǎn)和拐點(diǎn)是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)性質(zhì)的兩個(gè)重要概念，它們對(duì)函數(shù)的圖形描繪起著重要作用[1，2].有文獻(xiàn)對(duì)函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)進(jìn)行了討論[3，4].一般來說，求函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)是通過求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再通過判斷它們?cè)诹泓c(diǎn)兩側(cè)是否異號(hào)，從而判定是否為極值點(diǎn)和拐點(diǎn)[5].

從為了使本文完整可讀起見，在給出新的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)充分性判別法之前，先將曲線拐點(diǎn)的定義及我們所熟知的定理寫在下面.

定義1 ?設(shè)函數(shù)y=f（x），在點(diǎn)x0及其附近有定義，若對(duì)點(diǎn)x0附近任一點(diǎn)x（x≠x0），均有

（1）f（x）<f（x0），則稱f（x0）為y=f（x）的極大值，x0為極大值點(diǎn);

（2）f（x）>f（x0），則稱f（x0）為y=f（x）的極小值，x0為極小值點(diǎn).

定義2 ?若連續(xù)曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（x0，f（x0））的一邊是凹的，而另一邊是凸，則稱點(diǎn)P（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).

定理1 （極值存在的第一充分條件） 設(shè)函數(shù)y=f（x），在點(diǎn)x0及其附近可導(dǎo)，且存在δ>0.

（1）若當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f′（x）<0，則x0為函數(shù)的極大值點(diǎn);

（2）若當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f′（x）<0，當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f′（x）>0，則x0為函數(shù)的極小值點(diǎn);

（3）若f′（x）的符號(hào)不變，則x0不是函數(shù)的極值點(diǎn).

定理2 （極值存在的第二充分條件） 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處有一、二階導(dǎo)數(shù)，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0.

（1）若f″（x0）<0，則x0為極大值點(diǎn);

（2）若f″（x0）>0，則x0為極小值點(diǎn).

定理3 （拐點(diǎn)存在的充分條件） 設(shè)y=f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a，b），且f″（x0）=0，若在x0兩側(cè)附近f″（x0）異號(hào)，則點(diǎn)（x0，f（x0））為曲線的拐點(diǎn).否則（即f″（x0）保持同號(hào)），（x0，f（x0））不是拐點(diǎn).

一、新充分條件及證明

在定理2基礎(chǔ)上，提出新的極值與拐點(diǎn)存在充分條件的定理.

定理4 ?設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處有連續(xù)n（n≥2）階導(dǎo)數(shù)，且f′（x0）=…=f（n-1）（x）=0，f（n）（x0）≠0.

（1）若n為偶數(shù)，則x0為f（x）的極值點(diǎn)，且當(dāng)f（n）（x0）<0時(shí)，則x0為f（x）的極大值點(diǎn)，f（x）在x0處取得極大值f（x0）;

當(dāng)f（n）（x0）>0時(shí)，則x0為f（x）的極小值點(diǎn)，f（x）在x0處取得極小值f（x0）.

（2）若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點(diǎn).

證明 ?① 證明當(dāng)f（n）（x0）<0時(shí)，結(jié)論（1）成立.

當(dāng)n=2時(shí)，由定理2可知，定理4結(jié)論（1）成立.

設(shè)當(dāng)n=2k時(shí)，定理4結(jié)論（1）成立，

當(dāng)n=2k+2時(shí)，因f（n）（x）=f（2k+2）（x）=[f（2）（x）]（2k），故

當(dāng)f（n）（x0）<0時(shí)，則x0為f（2）（x）的極大值點(diǎn)，f（2）（x）在x0處取得極大值f（2）（x0）=0，

所以x∈（x0-δ，x0+δ）時(shí)，f（2）（x）≤0，f（1）（x）單調(diào)遞減，因此，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f（1）（x）>f（1）（x0）=0;當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f（1）（x）<f（1）（x0）=0.

由定理1可知，x0為f（x）的極大值點(diǎn)，f（x）在x0處取得極大值f（x0），即定理4結(jié)論（1）成立.

綜上所述，若n為偶數(shù)，當(dāng)f（n）（x0）<0時(shí)，結(jié)論（1）x0為f（x）的極大值點(diǎn)，f（x）在x0處取得極大值f（x0），即定理4結(jié)論（1）成立.

同理，當(dāng)f（n）（x0）>0時(shí)，結(jié)論（1）x0為f（x）的極小值點(diǎn)，f（x）在x0處取得極小值f（x0）成立.

② 證明若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點(diǎn)，

f（n）（x0）≠0，不妨設(shè)f（n）（x0）>0，

當(dāng)n=3時(shí)，f（3）（x0）=lim x→x0 ?f（2）（x）-f（2）（x0） x-x0 >0.

因此，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））為f（x）的拐點(diǎn)，即定理4結(jié)論（2）成立.

設(shè)當(dāng)n=2k+1時(shí)，定理4結(jié)論（2）成立，

當(dāng)n=2k+3時(shí)，因f（n）（x）=f（2k+3）（x）=[f（3）（x）]（2k），故由定理4結(jié)論（1）可知，

f（3）（x）在x0處取極小值，所以x∈（x0-δ，x0+δ）時(shí)，f（3）（x）≥0，f（2）（x）單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））為f（x）的拐點(diǎn)，即定理4結(jié)論（2）成立.

同理，f（n）（x0）<0時(shí)，定理4結(jié)論（2）成立.

綜上所述，若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點(diǎn)，定理4結(jié)論（2）成立.

綜上所述，定理4結(jié)論得證.

二、應(yīng)用舉例

例 ?已知函數(shù)f（x）在x=x0處n階可導(dǎo)，且滿足 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =k，討論函數(shù)f（x）在x=x0處的極值情況.

解 ?函數(shù)f（x）在x=x0處n階可導(dǎo)，

因 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =k，

故 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =lim x→x0 ?f（1）（x） n（x-x0）n-1 =…

=lim x→x0 ?f（n-1）（x） n（n-1）…2（x-x0） =lim x→x0 ?f（n）（x） n！ =k，

所以f（x0）=2，f（1）（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，

f（n）（x0）≠0.

顯然，k>0時(shí)，f（n）（x0）>0;k<0時(shí)，f（n）（x0）<0.

由定理4可知，

當(dāng)n為偶數(shù)且k>0時(shí)，f（x）在x=x0處取極小值，極小值為f（x0）=2;

當(dāng)n為偶數(shù)且k<0時(shí)，f（x）在x=x0處取極大值，極大值為f（x0）=2;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（x）在x=x0處無極值.

三、結(jié) 論

本文得出的結(jié)論更具普遍意義，定理4及相關(guān)推論為極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的判斷提供了一種新的方法，擴(kuò)大了適用范圍.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]毛一波.曲線的拐點(diǎn)和極值[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（5）：13-15.

[4]明萬元，黃香蕉.一種判斷多項(xiàng)式函數(shù)極值點(diǎn)和拐點(diǎn)個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)單方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（6）：161-163.

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