李業(yè)斌 王華

摘 要 中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要作用是輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。概括開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性，介紹中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中常見的四種設(shè)計(jì)類型，探討這四種設(shè)計(jì)類型的應(yīng)用方式。

關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué)；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；數(shù)學(xué)軟件；MATLAB；幾何畫板；多媒體教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2018）13-0086-03

1 前言

說起數(shù)學(xué)，大家都不陌生，沒少被數(shù)學(xué)打擊過。一方面，數(shù)學(xué)是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，也就是人們常說的歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)教學(xué)；另一個(gè)方面，數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造性的科學(xué)，通俗地講，也就是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納學(xué)科[1]。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是數(shù)學(xué)的一個(gè)懵懂的側(cè)面，將抽象的數(shù)學(xué)進(jìn)行修飾，使得原來枯燥無味的公式推導(dǎo)變成數(shù)據(jù)的海洋，更加的直觀，數(shù)據(jù)計(jì)算也會(huì)更加的真實(shí)。例如：作為文明古國之一的古希臘，就利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)測得了金字塔的高度；在我國，豐收完谷物之后都會(huì)將谷物堆積在一起，對如何計(jì)算堆積后的谷物的體積，我國古代人民就通過他們的智慧，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)測得了；大數(shù)學(xué)家高斯利用尺規(guī)作圖法做出了正十七邊形；以及計(jì)算機(jī)利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)證明了“四色問題”。這些都是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用來解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題的突出例子。

2 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性

究竟什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)?？對此很多人都有自己的看法，主要有以下幾種。

1）人們由于某種數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，進(jìn)而可以解決一些實(shí)際的問題，在數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)下，實(shí)驗(yàn)者依靠技術(shù)等手段來證明數(shù)學(xué)理論。

2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在一定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下，經(jīng)過一定的組織設(shè)計(jì)，并運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段如儀器手段等進(jìn)行數(shù)學(xué)化的操作，對客觀事物的量化特性進(jìn)行觀察、量化、測試、仿真等，來解決數(shù)學(xué)問題[2]。

3）現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入了計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，以正確的數(shù)學(xué)理論作為實(shí)驗(yàn)原理，以簡單的人機(jī)交互方式或者較為復(fù)雜的程序方式，完成數(shù)學(xué)的計(jì)算、圖形的演示以及符號(hào)方面的計(jì)算等。如運(yùn)用中國研制的世界上運(yùn)算速度非常快的計(jì)算機(jī)“天河一號(hào)”[3]，通過計(jì)算機(jī)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最后進(jìn)行歸納總結(jié)，將結(jié)果以最常見的實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式呈現(xiàn)給人們。

但是中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用在教材上卻不多，無論是教材還是教學(xué)方法，只是側(cè)重于演繹論證，根本不重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于解決數(shù)學(xué)問題的重要性。舉例子說明一下。從前人們計(jì)數(shù)都是掰手指頭，接著發(fā)展為用算盤來算數(shù)，到現(xiàn)在用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算，這都是一個(gè)數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)過程。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在人的教學(xué)中起基礎(chǔ)性作用，因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理應(yīng)成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的一種手段。中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種古典實(shí)驗(yàn)法和新技術(shù)支持下的實(shí)驗(yàn)法的結(jié)合，它是一種有目的的實(shí)驗(yàn)手段，需要預(yù)先的組織和設(shè)計(jì)才能發(fā)揮它的優(yōu)勢，得出令人信服的答案。

教學(xué)實(shí)踐證明，一堂成功的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課往往比幾節(jié)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課要學(xué)得更多，教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)手，既能夠?qū)W到一些數(shù)學(xué)知識(shí)概念原理，又可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，自己得出數(shù)據(jù)自己證明，提高學(xué)生的邏輯思維能力。對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行一種合理的分類，可以分成驗(yàn)證式、分析模擬式、探索構(gòu)建式、操作理解式[4]，這幾種方式的作用是不同的。

3 常見的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)方式

中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要就是用來輔助教學(xué)，并且將實(shí)踐帶進(jìn)數(shù)學(xué)課堂中去，它就會(huì)用到很具體的策略方法，如建立可重復(fù)性的歸納實(shí)驗(yàn)，充分利用多樣的實(shí)驗(yàn)手段，要充分考慮學(xué)生對于實(shí)驗(yàn)工具和實(shí)驗(yàn)手段的熟練程度；教學(xué)組織形式還是要選擇討論交流的方式，使學(xué)生的思維更加縝密，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。下面對幾種中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 驗(yàn)證式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)歸根結(jié)底就是讓學(xué)生自己動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，來檢測自己學(xué)過的數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)理論和方法，又或者是做出一般猜測的正確與否，這樣就可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手的能力[5]，使其獲得自信。通過運(yùn)用實(shí)驗(yàn)技術(shù)儀器，對得出的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證歸納總結(jié)，因此，這種驗(yàn)證式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是讓學(xué)生對問題的答案的正確與錯(cuò)誤有了全新的認(rèn)識(shí)。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題解決只能讓學(xué)生根據(jù)自己的邏輯判斷正確或者錯(cuò)誤，而在驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，可以讓學(xué)生采用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證判斷和猜測。如證明圓的一般方程的充要條件，還有圓錐曲線的軌跡問題的驗(yàn)證，都可以很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來得到驗(yàn)證和解決。下面舉個(gè)驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的例子。

【問題】若logm5>logn5（m，n>0，且m≠1，n≠1），討論m，n的大小關(guān)系。

【實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)步驟】

1）讓學(xué)生根據(jù)掌握的關(guān)于對數(shù)方面的知識(shí)，獨(dú)立地完成這個(gè)問題。

2）利用一定的數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算和繪圖功能，如MATLAB等軟件或者TI圖形處理器、幾何畫板、Z+Z智能軟件，輸入符合自己運(yùn)算結(jié)果的m，n數(shù)據(jù)，最后來驗(yàn)證結(jié)果。

3）用計(jì)算機(jī)來繪制出y=logx5的圖像，如圖1所示，利用呈現(xiàn)出來的圖像信息，確定m，n，0，1的位置，進(jìn)而判斷大小。

4）最后修正答案，對于一些看起來就錯(cuò)誤的答案要及時(shí)篩出，寫出問題的正確結(jié)果。

從圖1所示圖像中可以利用其函數(shù)的單調(diào)性來確定m，n的大小，對于自己得出來的結(jié)論還需要進(jìn)行驗(yàn)證，對得出的錯(cuò)誤結(jié)果還需要進(jìn)行反思。數(shù)學(xué)中的函數(shù)還有很多很多，光靠人工手畫，很多方面都是很難完成的。但是由于有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的加入，可以更好地利用數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的繪圖功能，就很好解決這些難題了。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生提供了一個(gè)新的平臺(tái)，為學(xué)生處理問題提供了一個(gè)新途徑、新方法，為學(xué)生反思自己的數(shù)學(xué)推理過程提供了技術(shù)支撐。

分析模擬式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 有一些數(shù)學(xué)問題，本身特別復(fù)雜，無法用準(zhǔn)確的語言來將它表達(dá)出來，因此引入多媒體教學(xué)，用圖畫圖標(biāo)直觀地表示出來，從而得出有規(guī)律的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對這些規(guī)律做出判斷、預(yù)測。而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題、參數(shù)問題，還有極其常見的軌跡問題，都可以用分析模擬式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來解決。下面通過舉例來說明。

【問題】冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)。

【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)原理】函數(shù)的基本性質(zhì)及冪函數(shù)的定義。

【實(shí)驗(yàn)過程】利用計(jì)算機(jī)自帶的繪圖儀，或者通過第三方軟件如MATLAB等，將自己設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟畫出冪函數(shù)的圖像（如圖2所示），并且根據(jù)圖像及學(xué)習(xí)冪函數(shù)的時(shí)候歸納出來的性質(zhì)，得出冪函數(shù)的性質(zhì)，完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

從圖2的冪函數(shù)圖像可以很容易地看出函數(shù)的單調(diào)性，在圖像中可以看到這個(gè)函數(shù)恒過一點(diǎn)（1，1），并且在（0，1）這個(gè)區(qū)間上和一次函數(shù)y=x大致重合。學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)來觀察這個(gè)結(jié)果，這是一個(gè)團(tuán)結(jié)協(xié)作的過程，也可以從實(shí)踐的過程中得出一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生之間可以相互幫助、相互學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短，不斷地提高自己解決問題的能力。

通過這個(gè)實(shí)例可以很好地看出由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)代替了黑板書寫，由一種比較枯燥的教學(xué)方式變得更加的有吸引力與創(chuàng)新性，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來更加輕松。

探索建構(gòu)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 現(xiàn)階段出現(xiàn)一種新的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把它稱作探索建構(gòu)式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。這種實(shí)驗(yàn)對學(xué)生要求比較嚴(yán)格，學(xué)生需要具備一定的數(shù)學(xué)能力，并且養(yǎng)成合作探究的好習(xí)慣，才可以充分地開展下去。歸根結(jié)底是讓學(xué)生在沒有教師的情況下，可以通過自己或者小組觀察、計(jì)算來建立一定的數(shù)學(xué)思維模型，還可以充分借鑒前人的思想來進(jìn)行總結(jié)，擴(kuò)展知識(shí)與能力，大力培養(yǎng)探索精神。

【問題】直線和雙曲線有無交點(diǎn)問題：

已知雙曲線x2-y2=4，這個(gè)雙曲線它過一個(gè)定點(diǎn)（2，0），問直線l何時(shí)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？

【實(shí)驗(yàn)過程】通過在計(jì)算機(jī)上繪制曲線和直線，就可以很清楚地看到一個(gè)公共交點(diǎn)的時(shí)刻。教師需要教給學(xué)生一定的操作方法，對于學(xué)生不理解的地方，可以將這個(gè)問題一般化：設(shè)一個(gè)參數(shù)，如P點(diǎn)，這個(gè)P點(diǎn)就是直線和雙曲線的交點(diǎn)。可以將學(xué)生分成若干組，讓他們分組討論P(yáng)點(diǎn)的選取位置。這時(shí)候討論出來的P點(diǎn)肯定是雜亂無章的，但是這些結(jié)論都是學(xué)生經(jīng)過深刻討論得出來的，甚至經(jīng)過了親自探索，有一定的實(shí)踐意義。這也很好地表明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)啟發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性，培養(yǎng)了探究學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

操作理解式實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 這一種設(shè)計(jì)模式主要是教師全程參與，對實(shí)驗(yàn)對象的條件進(jìn)行觀察、理解、測量，最后進(jìn)行歸納演繹，從而得出數(shù)學(xué)的真理。這一設(shè)計(jì)模式的主要特點(diǎn)就是學(xué)生將已知的數(shù)學(xué)材料作為實(shí)驗(yàn)材料，對其做“數(shù)字化”分析，從而產(chǎn)生對于數(shù)學(xué)定理進(jìn)行證明的愿望。下面舉例說明應(yīng)用。

【問題】求體積的設(shè)計(jì)。

【實(shí)驗(yàn)形式】4～7人為一組，團(tuán)結(jié)協(xié)作。

【實(shí)驗(yàn)原理】利用分割和組合的方法對幾何體進(jìn)行轉(zhuǎn)化；圓柱以及圓錐的體積公式。

【實(shí)驗(yàn)材料】紙，乒乓球，繩子，尺子等。

【實(shí)驗(yàn)步驟】

1）用紙和乒乓球組合成同底等高的圓錐和圓柱體。

2）想一想沙子是用來干什么的？自己動(dòng)手并思考。

3）自己探索，得出體積公式，并觀察這幾個(gè)體積公式之間有什么關(guān)系。

4）由教師指導(dǎo)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程，驗(yàn)證一開始的猜想，然后寫出操作過程。

通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生了解到圓柱和圓錐體的體積公式有很多表達(dá)形式，然后還可以觀察到同底等高的圓柱、圓錐以及半球的體積計(jì)算公式，根據(jù)這些公式來確定它們之間的關(guān)系，然后按照教師的步驟去驗(yàn)證和證明，培養(yǎng)了個(gè)性以及創(chuàng)造力。

4 結(jié)語

實(shí)驗(yàn)教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力與動(dòng)手能力的過程。教師讓學(xué)生自己去設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，去驗(yàn)證自己的猜想，然后加以誘導(dǎo)，讓他們按照給的步驟去證明數(shù)學(xué)原理的正確性，體現(xiàn)出多樣化的學(xué)習(xí)過程，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要意義。

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