李煜彥

廣義不變子空間的性質(zhì)

李煜彥

給出了廣義不變子空間的概念，它是不變子空間的一個推廣.文中討論了廣義不變子空間的交與直和，得到了判斷廣義不變子空間的一個方法，進(jìn)而討論了廣義不變子空間與特征向量之間的關(guān)系.

向量空間；不變子空間；廣義不變子空間；特征向量

不變子空間是線性變換中一個非常重要的概念，它在方程的求解、矩陣的特征根、矩陣的對角化、向量空間的直和分解等方面都有非常廣泛的應(yīng)用［1］.近年來，有許多學(xué)者研究了不變子空間及其方法的應(yīng)用.2008年，王波研究了不變子空間的性質(zhì)［2］；2014年，譚尚旺研究了線性變換不變子空間直和分解定理［3］；2017年，張亞敏研究了廣義的五階KdV方程的不變子空間［4］.這些結(jié)果都是在單個線性變換下考慮問題的.

本文以不變子空間的概念為基礎(chǔ)，考慮在任意線性變換下研究相關(guān)問題，給出了廣義不變子空間的定義，得到了廣義不變子空間的性質(zhì)和判斷方法，討論了廣義不變子空間與特征向量之間的關(guān)系.設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，我們可以得到兩個重要結(jié)論：①若W是V的子空間，{α1,α2,…,αr}是W的基.則W是V的廣義不變子空間的充要條件是對任意σ∈S，σ(α1),σ(α2),…,σ(αr)在W中；②設(shè)dimV=n，若W是V的廣義不變子空間，則對任意σ∈S，W必包含σ的一個特征向量.

1 預(yù)備知識

定義1［1］設(shè)σ是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換，W是V的一個子空間，若W中向量在σ下的像仍在W中，則稱W是σ的一個不變子空間.

定義2［1］設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，σ∈L(V).若對F中的數(shù)λ，存在V的一個非零向量ξ，使得σ(ξ)=λξ，則稱λ是線性變換σ的特征值，ξ稱為σ的屬于本征值λ的特征向量.

定義3 設(shè)S是數(shù)域F上的向量空間V的所有線性變換所成的集合，W是V的一個子空間，稱W是V的廣義不變子空間，如果對任意σ∈S，都有σ(W)?W.

顯然，若W是V的廣義不變子空間，則W是V的不變子空間，向量空間V本身和零子空間是V的廣義不變子空間.

本文除特別說明外，F(xiàn)V均指的是數(shù)域F上的向量空間.S均指的是數(shù)域F上的向量空間V的所有線性變換所成的集合.

下面給出廣義不變子空間若干性質(zhì)和重要定理.

2 主要結(jié)果

性質(zhì)1 設(shè)W1和W2是FV的廣義不變子空間，則以下結(jié)論成立.

（1）W1?W2是V的廣義不變子空間；

（2）W1⊕W2是V的廣義不變子空間.

證明 （1）對任意σ∈S，因為W1和W2都是V的廣義不變子空間，故有

又因為σ(W1?W2)?σ(W1)且σ(W1?W2)?σ(W2)，所以

從而W1?W2是V的廣義不變子空間.

（2）容易得出σ(W1⊕W2)?σ(W1)⊕σ(W2)?W1⊕W2，即W1⊕W2是V的廣義不變子空間.

根據(jù)性質(zhì)1，我們?nèi)菀椎玫较旅娴慕Y(jié)論.

性質(zhì)2 設(shè)W1,W2,…,Wn是FV的廣義不變子空間，則以下結(jié)論成立.

下面結(jié)論將說明廣義不變子空間關(guān)于子集具有遺傳性質(zhì).

性質(zhì)3 設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，X?Y?V.若X是Y的廣義不變子空間，Y是V的廣義不變子空間，則X是V的廣義不變子空間.

證明 對任意σ∈S，有σ(Y)?Y.下證σ(X)?X.

令g=σ|Y∶Y→Y.則易知g是Y上的線性變換，且g∈S.由于X是Y上的廣義不變子空間，因此g(X)?X，從而σ(X)=σ|Y(X)=g(X)?X.

下面給出一種判斷廣義不變子空間的方法.

定理1 設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，W是V的子空間，是W的基.則W是V的廣義不變子空間的充要條件是對任意σ∈S，σ(α1),σ(α2),…,σ(αr)在W中.

證明 必要性.設(shè)W是V的廣義不變子空間 ，則 對 任 意σ∈S，都 有σ(W)?W.而α1,α2,…,αr∈W，故σ(α1),σ(α2),…,σ(αr)∈W.

充分性.設(shè)ξ是W中的任意向量，則存在數(shù)域F的數(shù)k1,k2,…,kr使得

于是有

而由條件知σ(α1),σ(α2),…,σ(αr)都是W中的向量，所以σ(ξ)∈W.因此，W是V的廣義不變子空間.

引理 1［5］設(shè){α1,α2,…,αr} 是n維向量空間FV的一組線性無關(guān)的向量，那么總可以添加n+r個 向 量αr+1,…,αn，使α1,α2,…,αr,αr+1,…,αn作成V的一個基.

定理2 設(shè)V是復(fù)數(shù)域F上的向量空間，且dimV=n.若W是V的廣義不變子空間，則任意σ∈S，W必包含σ的一個特征向量.

證明 令dimW=r.取W的一個基α1,α2,…,αr，由引理 1知，可以將W的基α1,α2,…,αr擴(kuò)充為V的基α1,α2,…,αr,αr+1,…,αn.對任意σ∈S，由于有σ(W)∈W.所以有

即X0是(λIn-A)X=0的非零解向量.

取α=(α1,α2,…,αr,αr+1,…,αn)X0=(α1,α2,…,αn)X01∈W，則

即α是σ的屬于特征根λ的一個特征向量，從而結(jié)論得證.

3 結(jié)論

本文以不變子空間的概念為基礎(chǔ)，給出了廣義不變子空間的定義，討論了廣義不變子空間交、直和、遺傳等性質(zhì)和判斷方法.得到了廣義不變子空間關(guān)于交與直和都是封閉的，關(guān)于子集具有遺傳性質(zhì)，同時提出了廣義不變子空間的一個充要條件.另外，文中還討論了廣義不變子空間與特征向量之間的關(guān)系，得出了對于數(shù)域F上n維向量空間V，若W是V的廣義不變子空間，則任意σ∈S，W必包含σ的一個特征向量.

不變子空間已經(jīng)有很廣泛的應(yīng)用，受到了許多作者的關(guān)注.關(guān)于本文定義的廣義不變子空間是否有類似很好的應(yīng)用將是我們后續(xù)關(guān)注的問題.

O151

A

1008-7974（2018）01-0038-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2018.02.011

2017-06-14

隴南師范高等?？茖W(xué)校教學(xué)改革項目（JXGG201714）；隴南師范高等?？茖W(xué)校校級科研項目（2016LSZK02002）.

李煜彥，甘肅西和人，隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)信學(xué)院講師（甘肅 成縣 742500）.

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］王波.不變子空間的一個性質(zhì)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，22（4）：182-183.

［3］譚尚旺.線性變換不變子空間直和分解定理注［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2014，17（4）：25-26.

［4］張亞敏.廣義的五階KdV方程的不變子空間［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報，2017，38（3）：19-22.

［5］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1983.

陳衍峰）