王洪海， 李洋洋，2， 徐 剛，3， 汪金銘， 李政穎，4

(1.武漢理工大學光纖傳感技術國家工程實驗室 武漢，430070) (2.中國長江電力股份有限公司 宜昌，443000)(3.湖北工程學院機械工程系 孝感，432000)(4.武漢理工大學光纖傳感技術與信息處理教育部重點實驗室 武漢，430070)

基于FBG的齒根彎曲應力在線檢測方法

王洪海1， 李洋洋1，2， 徐 剛1，3， 汪金銘1， 李政穎1，4

(1.武漢理工大學光纖傳感技術國家工程實驗室 武漢，430070) (2.中國長江電力股份有限公司 宜昌，443000)(3.湖北工程學院機械工程系 孝感，432000)(4.武漢理工大學光纖傳感技術與信息處理教育部重點實驗室 武漢，430070)

根據(jù)國際標準化組織(international organization for standardization, 簡稱ISO)和美國齒輪制造者協(xié)會(American gear manufacturers association,簡稱AGMA)關于漸開線圓柱齒輪強度的計算方法，在計算單個齒輪齒根彎曲應力時，可將輪齒簡化為一懸臂梁?；诖?，提出了一種齒根彎曲應力在線檢測的新方法，利用光纖布拉格光柵(fiber Bragg grating，簡稱FBG)的應變特性和齒輪傳遞扭矩時輪齒產(chǎn)生的撓度，將齒根彎曲應力的測量轉化為光柵反射波長的測量，通過對反射波長的實時解調(diào)，能夠?qū)崿F(xiàn)對運行中齒輪的齒根彎曲應力進行實時在線檢測。通過對一對漸開線圓柱尼龍斜齒輪進行分析，并在1～18 N·m扭矩范圍進行實驗，結果表明該方法能夠準確測量齒根的彎曲應力，靈敏度高達70 pm/MPa，線性擬合度達0.99以上，且響應速度快。利用光纖光柵準確檢測齒輪運行時的齒根彎曲應力，不但能夠代入實際工況實現(xiàn)在線檢測，同時對齒輪的設計和故障診斷具有指導意義。

齒輪; 彎曲應力; 光纖光柵; 在線檢測

引 言

隨著齒輪的不斷發(fā)展和應用場合的更加嚴苛，對齒輪的強度分析提出了更加精確的要求，尤其是針對運行狀態(tài)的齒輪系。關于漸開線齒輪齒根彎曲應力的計算方法和測量方法，各國學者都進行了深入的研究，同時也頒布了許多相應的標準，當前使用比較廣泛的基礎標準主要是ISO和AGMA標準[1]，二者的共同之處是均將單個輪齒視為懸臂梁進行求解，因為在輪齒彈性范圍內(nèi)將其近似為懸臂梁并不會產(chǎn)生很大誤差。

目前，國內(nèi)外許多學者提出了多種方法對齒根彎曲應力進行研究[2-6]，主要包括理論分析和實際測量兩種方法。理論分析方法主要包括公式的推導優(yōu)化和三維的仿真分析兩種。公式推導優(yōu)化雖然能夠從理論上針對各種工況進行參數(shù)上的修正，但各個參數(shù)的選擇大多只能依靠經(jīng)驗進行，不能把傳動時的實際工況考慮進來，導致了結果的差異性；三維仿真分析是近些年使用比較多的方法之一，主要是通過建模軟件建立三維模型，然后導入Ansys等分析軟件進行力學分析。三維仿真相對公式推導而言更加接近實際情況，但由于邊界條件仍難以與實際工況完全相符，導致仿真結果與真實值存在一定的出入[7]。目前，實際測量方法主要是采用粘貼應變片的方法，應變片測量的方法雖然能夠代入工況進行實際測量，但是應變片的組橋方式較為復雜，動態(tài)信號不易采集，且齒根處的粘貼空間較為狹小，實際操作中大多需要對輪齒進行二次加工。經(jīng)過再加工的齒輪使用時必然會在加工處出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，不但會影響到測量結果的準確性，還降低了齒輪的使用壽命，嚴重時甚至會發(fā)生安全事故，故應變片多用于靜態(tài)的測量和標定。因此，對于高速、狹小的齒輪系統(tǒng)，急需一種新的齒根彎曲應力檢測方法。

近些年來，光纖光柵傳感技術取得了突飛猛進的發(fā)展[8]，光纖光柵憑借其體積小、成本低、靈敏度高及抗電磁干擾等優(yōu)勢，目前已成為最具代表性、最有發(fā)展前途的傳感器之一。隨著研究的不斷深入，光纖光柵傳感技術應用場合愈來愈廣泛，測量更是涉及到溫度[9]、燃氣泄漏[10]、應變[11]及振動[12]等各個領域內(nèi)，不論是在實驗室還是在實際使用中均取得了良好的效果。同樣，將光纖光柵用于應力測量和狀態(tài)檢測的案例不勝枚舉，例如：蘭玉文等[13]設計了一種光纖光柵三維應力傳感器，能夠準確測量三維空間任意方向的應力；祁耀斌等[14]使用光纖光柵傳感技術成功對海上浮吊吊臂桁架結構進行了健康監(jiān)測。

齒輪在嚙合傳動時，齒輪之間扭矩的傳遞是通過輪齒之間的相互作用進行的，在傳遞扭矩的同時齒根處會產(chǎn)生彎曲應力，輪齒相對于齒根位置會產(chǎn)生一定的撓度。考慮到對撓度的測量比直接對應力進行測量要更加容易，而且光纖光柵在測量微小應變時可以極大地發(fā)揮其獨特的優(yōu)勢，筆者基于光纖光柵傳感技術和齒輪理論分析，提出了一種新型齒根彎曲應力在線檢測方法，設計了一種光纖光柵在齒輪上的布置方法和信號采集裝置，并通過對一對相互嚙合的漸開線塑料斜齒輪進行實驗研究來驗證本方法的準確性。

1 齒根彎曲應力的光纖光柵測量方法

1.1 齒根彎曲應力的計算模型

圖1所示為一長度為l的懸臂梁在端部受單個載荷F作用下的變形簡圖，以沿梁的長度方向為坐標軸，根據(jù)材料力學相關知識，其撓曲線方程為

(1)

其中：E為材料的彈性模量；I為對中性軸的慣性矩；EI合稱為梁的抗彎剛度；a為載荷作用點距離固定端的距離；x為任意點距離固定端的距離。

圖1 懸臂梁受力分析Fig.1 Force analysis of cantilever beams

由式(1)能夠看出，當施加的單個載荷F作用的位置固定后，則在某一固定位置由該載荷作用所產(chǎn)生的撓度ω只跟載荷F的大小有關，且二者成線性關系。由此考慮，若將齒輪輪齒視作懸臂梁，當齒輪受到載荷的作用時，將會沿圓周方向產(chǎn)生很小的撓度，如圖2所示，該撓度將會與齒輪所受的圓周力成線性關系。

圖2 輪齒變形示意圖Fig.2 Schematic diagram of gear tooth deformation

在斜齒輪傳動中，齒輪受力分析如圖3所示。作用在齒面上的法向載荷Fn垂直于齒面，該載荷與節(jié)圓柱的切面Pa′bc傾斜成一角度，稱為法向嚙合角αn。法向力Fn可分解為3個相互垂直的分力，分別為沿齒輪周向的力Ft、沿齒輪徑向的力Fr以及沿軸向的力Fa，3個分力的方向如圖3所示。由機械設計相關知識，斜齒輪輪齒的彎曲應力公式為

(2)

其中：K為載荷系數(shù)；YFa為齒輪的齒形系數(shù)；YSa為應力校正系數(shù)；Yβ為螺旋角影響系數(shù)；b為齒寬；mn為法向模數(shù)；εα為端面重合度。

圖3 齒輪受力分析Fig.3 Force analysis of gear

以上各個系數(shù)中，除了Ft隨著傳動的扭矩發(fā)生變化之外，其余都可通過齒輪參數(shù)進行計算或者查閱相關手冊得到，并且當齒輪型號選定且不改變相互配合的情況下，則齒根的彎曲應力隨著Ft單調(diào)變化且呈線性關系，進而跟齒輪所產(chǎn)生的撓度即應變同樣呈線性關系，這就從理論上保證了光纖光柵測量彎曲應力會有很好的線性輸出。

1.2 光纖光柵測量應變的基本原理

用一束寬帶光譜注入到光纖布拉格光柵，則其會反射回來一束窄帶光波，反射回來的光波的中心波長稱之為布拉格波長，由光纖耦合模理論可知其數(shù)學表達式為

λB=2neffΛ

(3)

其中：Λ為光柵的柵格周期；neff為光纖纖芯的有效折射率。

當光纖布拉格光柵受到軸向外界力的作用時，光柵周期Λ會產(chǎn)生ΔΛ的變化，同時由于光彈效應會導致光柵的有效折射率neff發(fā)生Δneff的變化，二者的變化會導致反射光波的波長λB發(fā)生ΔλB的偏移。將式(3)進行微分并忽略高階無窮小后得到

ΔλB=2ΔneffΛ+2neffΔΛ

(4)

將以上兩式相比得到

(5)

在光柵的彈性范圍內(nèi)有

ε=ΔΛ/Λ

(6)

其中：ε為光柵的軸向應變。

當光柵只受到軸向力的作用，由軸向變形引起的彈光效應所帶來的折射率變化為

Δneff/neff=-Pε

(7)

其中：P為一個跟折射率、彈光常數(shù)和材料泊松比有關的系數(shù)，當光纖光柵的材料確定后，P可視作一常數(shù)。

將式(6)和式(7)代入到式(5)中有

ΔλB/λB=(1-P)ε

(8)

由式(8)能夠看出，光纖光柵的反射波長變化與光纖光柵的軸向應變呈線性關系，因而可以通過解調(diào)反射的布拉格波長反演出光纖光柵的軸向應變。

2 實驗方案設計

2.1 實驗裝置

實驗以一對相互嚙合的漸開線圓柱斜齒輪為研究對象，齒輪參數(shù)和材料屬性如表1和表2所示。

表1 齒輪的基本參數(shù)

表2 齒輪材料屬性

實驗以變頻電機為驅(qū)動原件帶動齒輪對傳動，電機受變頻器控制可對其轉速進行調(diào)諧；以磁粉制動器為負載裝置，利用張力控制器可對其施加的扭矩加以控制；使用光纖滑環(huán)連接器作為光柵信號的傳輸中介，利用其相對轉速高的原理，實現(xiàn)信號由高速旋轉軸到靜態(tài)解調(diào)儀的傳輸；利用扭矩轉速傳感器采集扭矩和轉速的信號，便于后續(xù)分析。實驗裝置簡圖和實物圖分別如圖4和圖5所示。

圖4 實驗系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of experimental system

圖5 實驗臺實物圖Fig.5 Picture of test-bed

2.2 光纖光柵和應變片的粘貼方法

根據(jù)光纖光柵傳感檢測的原理，光纖光柵只能感受軸線方向的應變，因此需要合理布置光纖光柵的位置，使輪齒所發(fā)生的撓度能夠轉化為光纖光柵軸線方向的應變。實驗中所采用的光纖光柵和應變片的布置方法如圖6所示。通過將光纖粘貼在兩相鄰輪齒的齒側，保證測量光柵處在兩輪齒之間，根據(jù)材料力學知識，輪齒在受力發(fā)生偏移的時候，由于撓度相對輪齒高足夠小，故在輪齒彈性范圍內(nèi)可看作應變是沿著光柵軸線方向，并且由此所引起的誤差是在所允許的范圍之內(nèi)。由式(1)分析可知，越靠近齒頂?shù)牡胤桨l(fā)生的撓度越大，因而光柵的位置越靠近齒頂，波長的漂移量越大，靈敏度越高，對光柵的預拉伸量要求就越高，對誤差的放大也就越明顯。綜合考慮以上因素并進行相關實驗分析，本實驗選擇距離齒根5 mm處的位置進行光柵的粘貼測量，光柵長度為4 mm。

與此同時，在輪齒的齒根處粘貼測量應變片，參考應變片粘貼在齒側處。通過應變片組成電橋測量不同轉矩下的齒根彎曲應力，通過光柵測量對應的波長漂移，進行波長漂移和齒根彎曲應力之間的標定。由于齒根空間狹小，故選用敏感柵尺寸為1.0 mm×2.0 mm的箔式電阻應變片進行彎曲應力的測量。應變片體積相對齒根安全區(qū)域極小，故應變片的應變可完全視為齒根應力所引起的，使用電阻應變儀的分辨率能夠達到0.1 με，其對應的波長漂移為0.122 pm，高于解調(diào)儀的精度；因此，使用應變片進行光柵標定不會損失精度。

圖6 光纖光柵和應變片粘貼示意圖Fig.6 Paste of fiber Bragg grating

3 實驗結果分析

3.1 靜態(tài)下的實驗結果

實驗分別在6種不同扭矩下，采用應變片和光纖光柵同時測量齒輪在不發(fā)生轉動的極限彎曲應力和與其對應的波長漂移量，并根據(jù)式(2)計算得到彎曲應力的理論值，結果如表3所示。繪制波長增量隨應變片測得的彎曲應力的變化曲線如圖7所示，不同轉矩下應變片測得彎曲應力和理論計算彎曲應力關系如圖8所示。

表3靜態(tài)時不同扭矩下的彎曲應力與波長增量

Tab.3Bendingstressandwavelengthincrementunderdifferentstatictorque

M/(N·m)σF/MPaΔλB/nm理論應力3．001．780．38721．305．212．870．47682．278．003．990．55403．4911．405．140．63334．9714．606．370．72416．3617．407．280．78737．58

圖7 靜態(tài)時ΔλB-σF圖Fig.7 ΔλB-σF in static state

圖8 應變片測得彎曲應力和理論值的關系Fig.8 The relationship of bending stress between the strain gauge and the theoretical stress

由圖7可知，在不同的扭矩下波長增量與齒根彎曲應力變化趨勢一致，且二者呈線性變化，線性擬合度達到0.998。由圖8可以看出，使用應變片測得彎曲應力值和理論計算值相差不大，用來標定光柵不會產(chǎn)生很大誤差。靜態(tài)下的實驗結果表明，通過這種方式粘貼的光纖光柵在測量齒根處的彎曲應力時有良好的線性輸出。

3.2 動態(tài)測量的實驗結果

圖9(a)為光纖光柵在轉速為500 r/min時連續(xù)采集的幾個周期的信號。由圖中可以看到，在一個嚙合周期內(nèi)，光纖光柵呈現(xiàn)先被拉伸之后又被壓縮的狀態(tài)。這是由于當粘貼光柵的第1個輪齒進入嚙合區(qū)時，由于圓周力的原因?qū)鈻庞醒剌S線拉伸的作用；當粘貼光柵的第2個輪齒也進入嚙合區(qū)時，由于會受到相同方向的圓周力，該圓周力使光柵沿軸向方向壓縮，所以會減弱對光柵的拉伸；隨著嚙合的深入，第1個輪齒漸漸退出嚙合區(qū)，光柵就從拉伸狀態(tài)轉為壓縮狀態(tài)。由圖中可以看到信號周期為0.18 s，取圖中的ΔλB為光柵波長漂移量，由于外界溫度等噪聲信號的影響，只會是波長圖整體上下漂移，結果取ΔλB進行分析已經(jīng)消除了由于溫度帶來的影響，故無需做溫度補償。圖9(b)為對上述信號進行傅里葉變換之后的頻譜圖，可以看到信號主要成分為頻率為5.56 Hz及其倍頻分量。根據(jù)主動輪轉速為500 r/min，傳動比為3∶2，所計算出來從動輪的嚙合周期為0.18 s，頻率為5.56 Hz，與得到的信號相吻合，說明該方法可以準確采集到運行狀態(tài)下的齒根彎曲應力。

實驗測量了在3種不同轉速、6種不同扭矩下反射波長的變化情況， 如圖 10 所示。根據(jù)靜態(tài)時所標定函數(shù)關系進行彎曲應力的換算，得到每個轉矩對應下的彎曲應力值，結果如表4所示。根據(jù)彎曲應力隨扭矩的變化關系所擬合出的曲線如圖11所示。

圖9 光纖光柵應變信號Fig.9 Fiber Bragg grating strain signal

表4不同工況下測得的彎曲應力

Tab.4DetectionofbendingstressunderdifferentworkingconditionsMPa

圖11 不同扭矩下測得的彎曲應力Fig.11 Detection of bending stress under different working conditions

由圖10可以看到，齒輪在嚙合時，隨著轉速的提高，相同時間內(nèi)出現(xiàn)的嚙合次數(shù)隨之增加；隨著齒輪傳遞轉矩的增大，輪齒所受力越大，撓度越大，對光柵產(chǎn)生的軸向應變就越明顯，反射波長變化就越大。由圖11可以看到，隨著齒輪傳遞扭矩的增加，光纖光柵所測得的彎曲應力也隨之增加，且二者呈良好的線性關系，線性擬合度因子均達到0.99以上，所以波長變化能夠很好地表征齒根的彎曲應力。針對本實驗中的塑料斜齒輪和光柵粘貼的位置，靈敏度在70 pm/MPa以上。由于使用系數(shù)KA和動載荷系數(shù)KV的原因，在同一扭矩下，動態(tài)彎曲應力比靜態(tài)彎曲應力要大，就測得彎曲應力而言，二者的比值在1.2～1.4之間，且隨著轉速的增大，該比值也在增加。由機械手冊查得，在該工況下KAKV的乘積在1.4以上，說明使用理論公式計算的彎曲應力是偏于保守的。

4 結束語

本研究從計算輪齒彎曲應力時可將其視作懸臂梁模型的理論出發(fā)，結合FBG傳感的獨特優(yōu)勢，提出了一種在線檢測齒根彎曲應力的新方法。針對不同的轉速和扭矩分別進行了多次實驗，結果證明該方法能夠有效地針對正常運行中的齒輪進行齒根彎曲應力的在線檢測，且線性度好，靈敏度高，效果理想。該方法克服了傳統(tǒng)方法弊端，能夠把實際工況代入進行測量，結果更加真實可靠。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.013

國家自然科學基金資助項目(61575149，61290311)

2015-12-22；

2016-04-28

TH132.41

王洪海，男，1966年11月生，教授、碩士生導師。主要研究方向為光纖傳感技術和檢測技術與自動化裝置。

E-mail: Wanghh@whut.edu.cn