江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) (215512)

殷偉康

浸潤數(shù)學(xué)文化，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)*
——“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)實踐與思考

江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) (215512)

殷偉康

“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”是高中教材中經(jīng)典內(nèi)容之一，富有濃厚的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化，復(fù)數(shù)概念的發(fā)展具有豐厚的歷史背景.由于不少教師對“問題情境的創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)活動的設(shè)計”認(rèn)識不到位，導(dǎo)致復(fù)數(shù)概念教學(xué)的弱化，即復(fù)數(shù)概念的本質(zhì)屬性突出不夠，缺乏思想方法引領(lǐng)，學(xué)生對虛數(shù)單位i的引入難以理解.因此，筆者從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運用數(shù)學(xué)史的有效融入方式，對教材進行“二次開發(fā)”，嘗試“重構(gòu)式”教學(xué)方法進行教學(xué)，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生發(fā)展過程，促進學(xué)生理解數(shù)系擴充的必要性、原則和復(fù)數(shù)概念的本質(zhì)屬性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)情境，再現(xiàn)歷史

問題1 1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹(G.Cardano，1501～1576)在《重要的藝術(shù)》一書中提出了一個問題：“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，求這兩數(shù).”你能幫卡爾丹解決這個問題嗎？

生：設(shè)所求的這兩數(shù)分別為x,10-x，根據(jù)條件可得x(10-x)=40，整理得x2-10x+40=0，其判別式Δ=102-4×40=-60<0，所以方程沒有實根.

設(shè)計意圖：以卡爾丹經(jīng)典問題為情境引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.同時，引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史，感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問題入手.充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，一方面讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家的科研精神，另一方面讓學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)：負(fù)數(shù)能否開平方？打破原有認(rèn)知平衡，形成強烈的、合乎自然的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，同時為學(xué)生更好地接受和理解虛數(shù)埋下伏筆.

二、追溯歷史，總結(jié)規(guī)律

(1)從社會生活的角度來看數(shù)的發(fā)展：

(2)從數(shù)學(xué)內(nèi)部的角度來看數(shù)的發(fā)展：

設(shè)計意圖：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等，在此基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴充過程，即自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集，這是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，也是本節(jié)課知識的生長點.

問題5 什么原因?qū)е聰?shù)的概念逐步擴充的？即每一次數(shù)系擴充的主要原因是什么？每一次數(shù)系擴充的共同特征是什么？

(1)數(shù)集的每一次擴充，可以解決某些在原數(shù)集中不能解決的矛盾，這說明數(shù)集的擴充具有“進步性”.

(2)新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的，這說明數(shù)集的擴充具有“引新性”.

(3)數(shù)集擴充后，沒有影響到原有的運算性質(zhì)，這說明數(shù)集的擴充具有“可算性”.

擴充特征：①引入新的數(shù)；②原數(shù)集中的運算規(guī)則在新數(shù)集中得到保留和擴展，都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律；③新數(shù)集解決了原數(shù)集一些不能解決的問題.

設(shè)計意圖：通過回憶、思考每次數(shù)集擴充的必要性，解決了哪些問題，即數(shù)集為什么要擴充？每一次數(shù)系的擴充，必然伴隨著運算功能的完善.通過回顧數(shù)系擴充的歷程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴充的規(guī)律，進而找到數(shù)學(xué)“發(fā)明”的靈感，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括與表達能力.

三、類比運算，構(gòu)建新知

師：這樣所有負(fù)數(shù)的二次根式的問題都解決了.因此問題轉(zhuǎn)化為找一個數(shù)的平方為-1？

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生再探卡爾丹問題，將問題轉(zhuǎn)化為找一個數(shù)的平方為-1，給予學(xué)生充分思考的時空，從而讓“引入新數(shù)”水到渠成.

問題7 如果想要方程x2=-1有解，你打算怎么辦？

生：引進新數(shù)與新的數(shù)學(xué)符號.

師：大數(shù)學(xué)家歐拉就是這么想的，他把這個數(shù)記為i,使得i2=-1.“i”來源于英文單詞“imaginary”的第一個字母，是“假想的、虛構(gòu)的”意思，在數(shù)學(xué)里，我們稱之為虛數(shù)單位.

設(shè)計意圖：介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)歷史，強化對i的認(rèn)識，并讓學(xué)生感受到科學(xué)上每一步的邁進是多么艱辛！

問題8 根據(jù)數(shù)系擴充的規(guī)律，“i”既然是數(shù)就可進行運算，你能把“i”與實數(shù)進行四則運算嗎？

問題9 意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在他的著作《代數(shù)學(xué)》中給出了虛數(shù)單位與實數(shù)的四則運算.那么，這些數(shù)能否有一個統(tǒng)一的形式？即你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)嗎？

設(shè)計意圖：實數(shù)可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法，乘法運算律仍然成立.引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)的運算法則，由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而完成從實數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴充，同時培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

問題10 我們把形如a+bi(a∈R,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，其中a叫做z的實部，b叫做z的虛部.如何闡述復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的幾何直觀解釋？

1806年瑞士數(shù)學(xué)家阿爾岡將復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)表示為平面上的向量，這就提供了表示向量及其運算的一個代數(shù)形式，能夠通過復(fù)數(shù)代數(shù)地研究向量.1831年高斯公開描述復(fù)數(shù)的幾何意義，他將復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)解釋為復(fù)平面上一個點(a,b)，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法法則.從此，復(fù)數(shù)開始表示向量，在水力學(xué)、地圖學(xué)、航空學(xué)中均有著廣泛應(yīng)用.1843年英國數(shù)學(xué)家哈密頓創(chuàng)造了“四元數(shù)”，間接地推動了向量代數(shù)和向量分析的創(chuàng)立.這樣復(fù)數(shù)的直觀意義就建立起來了，使學(xué)生清楚地認(rèn)識到“虛數(shù)不虛”.

問題11 形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)嗎？它會是實數(shù)嗎？

當(dāng)b=0時，a+bi(a,b∈R)表示實數(shù)；當(dāng)b≠0時，a+bi(a,b∈R)表示的數(shù)我們稱為虛數(shù)，在虛數(shù)中，當(dāng)a=0時，我們把bi(b∈R且b≠0)稱為純虛數(shù).

圖1

問題12 復(fù)數(shù)集與實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自然而然對復(fù)數(shù)進行分類，通過學(xué)生自主探究，找到復(fù)數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，解決復(fù)數(shù)的分類問題，加深對復(fù)數(shù)概念的理解.并采用概念同化的方式完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

四、數(shù)學(xué)運用，深化概念

例2 實數(shù)m是什么值時，復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i是：(1)實數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?

例3 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求實數(shù)x，y的值.

設(shè)計意圖：鞏固復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，促進學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解.事實上，復(fù)數(shù)概念的抽象性特征決定了只有通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，才能深刻理解復(fù)數(shù)概念和運算規(guī)律.通過例3，讓學(xué)生掌握處理復(fù)數(shù)問題的基本思想“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”，運用復(fù)數(shù)相等的定義，將一個復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)方程進行求解.

五、思想與文化并重，探究與素養(yǎng)并行

復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是數(shù)學(xué)家們辛勤耕耘的結(jié)果，是思想觀念的一種突破.在“數(shù)系的擴充”教學(xué)設(shè)計中，依據(jù)認(rèn)知的歷史發(fā)生原理，數(shù)的發(fā)展過程與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)史，對教材進行“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生、發(fā)展過程，體會到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，品味數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，培育理性精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.滲透數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)文化

2.凸顯數(shù)學(xué)文化，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)家思維活動的成果，數(shù)學(xué)家的思維方法和思維過程是數(shù)學(xué)文化中的寶貴財富.因此，教師要從數(shù)學(xué)文化的視角，發(fā)掘復(fù)數(shù)概念形成過程中數(shù)學(xué)家思維活動方式，利用數(shù)學(xué)家的思考方式和方法來突破復(fù)數(shù)概念這一教學(xué)難點.創(chuàng)設(shè)充滿濃郁數(shù)學(xué)文化的問題情境，以卡爾丹問題引入新課，讓學(xué)生產(chǎn)生強烈的認(rèn)知沖突，經(jīng)歷數(shù)學(xué)家曾經(jīng)經(jīng)歷的困惑，凸顯引入新數(shù)、擴充數(shù)系的必要性，從而誘發(fā)學(xué)生深入思考與探究.回顧數(shù)系的擴充過程，引導(dǎo)學(xué)生思考：每次擴充引入了什么數(shù)？解決了什么實際問題？它們有什么共同特點？提煉出數(shù)系擴充的“進步性、引新性和可算性”原則，為后面的探究活動作必要的鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前三次數(shù)系擴充的一般規(guī)律，運用類比方法，模仿數(shù)學(xué)家歐拉的想法，合理引進虛數(shù)單位i.揭示數(shù)系擴充的本質(zhì)特征，逐步領(lǐng)悟數(shù)系擴充過程的研究方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去思考問題、分析問題和解決問題.

3.促進深度思考，提升核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達成的有特定意義的綜合性數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，自然體現(xiàn)在學(xué)生再創(chuàng)造復(fù)數(shù)過程中.復(fù)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)過程是典型的數(shù)學(xué)抽象過程.引導(dǎo)學(xué)生從歷次數(shù)系擴充過程中抽象出數(shù)系擴充過程的研究方法：引入一種新的數(shù)，就要定義相應(yīng)的運算；定義一種運算，就是要研究它滿足怎樣的運算律.再引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出數(shù)系擴充過程的基本原則：使算術(shù)的運算律保持不變.通過問題6-10的探討，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，運用類比、歸納方法，合理地引入虛數(shù)單位i，并抽象出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而構(gòu)建復(fù)數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[1]倉萬林.課堂視角下的數(shù)學(xué)文化行動研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2014(9)：4-7.

[2]林京榕.滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展核心素養(yǎng)——以“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2017(7)：19-21.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點資助課題：構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂的教學(xué)實踐研究(課題批準(zhǔn)號B-a/2013/02/069)研究成果之一.