牛佳玥

(北京市西城區(qū)鐵二中高中部 100078)

直線系方程的應(yīng)用研究

牛佳玥

(北京市西城區(qū)鐵二中高中部 100078)

直線系方程是平面解析幾何的重要部分，本文針對(duì)其應(yīng)用的方法和簡(jiǎn)化計(jì)算等進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述.

解析幾何；直線系方程；簡(jiǎn)化計(jì)算

平面解析幾何中，直線方程有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式五種形式.根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系，直線系方程又可以分為相交、平行、垂直和重合四種形式的直線系方程.其中，相交、平行、垂直的直線系方程的作用不凡，掌握它們便可簡(jiǎn)化計(jì)算.

一、直線系相關(guān)方程的應(yīng)用

1.相交直線系方程

例1 已知兩條直線l1：x-2y+4=0和l2：x+y-2=0的交點(diǎn)為P，求過(guò)點(diǎn)P且與直線l3：3x-4y+5=0垂直的直線L的方程.

解析方法一解l1與l2組成的方程組得到交點(diǎn)P(0，2)，因?yàn)閗3=3/4，所以直線l的斜率k=-4/3，方程為y-2=-4/3x，即4x+3y-6=0.

方法二假設(shè)所求直線為l：4x+3y+c=0，由方法一可知：P(0，2)，將其代入方程，得c=-6，所以直線L的方程為4x+3y-6=0.

例2 求經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)(3，-4)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

解析要求的直線方程假設(shè)是A(x-3)+B(y+4)=0(A和B都不全為零).若A=0或者B=0，則直線方程與題意不符.所以A，B都不為零.若x=0時(shí)，y=3A/B-4；當(dāng)y=0時(shí)，x=-4B/A+3.根據(jù)題意，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則3A/B-4=-4B/A+3，令z=A/B，則3z-4=-4/z+3，整理，得3z2-7z+4=0，解得z=1，或者z=4/3，則A=B≠0，或者A=4/3B≠0，所以所求直線方程是x+y+1=0，或者4x+3y=0.

綜上所述，在直線過(guò)已知點(diǎn)(m，n)時(shí)，利用直線系方程的解法通常具有通用性和簡(jiǎn)潔性.

2.平行直線系方程

例3 求過(guò)點(diǎn)A(1，-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程.

解析設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0，由題意知，2×1+3×(-4)+c=0，所以c=10.故所求直線方程為2x+3y+10=0.

應(yīng)用與Ax+By+C=0平行的直線系方程解題能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，起到事半功倍的效果.

例4 已知直線l1與直線l2：x-3y+6=0平行，l1能和x軸、y軸圍成面積為8的三角形，請(qǐng)求出直線l1的方程.

例5 已知直線方程3x-4y+7=0，求與之平行而且在x軸、y軸上的截距和是1的直線l的方程.

解析解法一假設(shè)存在直線l：x/a+y/b=l，則a+b=1和-b/a=3/4組成的方程組的解為a=4，b=-3.故l的方程為：x/4-y/3=1，即3x-4y-12=0.

解法二根據(jù)平行直線系方程的內(nèi)容可假設(shè)直線l為：3x-4y+c=0，則直線l在兩坐標(biāo)軸上截距分別對(duì)應(yīng)的是-c/3、c/4，由-c/3+c/4=1，知c=-12.故直線l的方程為：3x-4y-12=0.

上述兩種解法中，利用平行直線系方程的解法比設(shè)截距式方程的解法計(jì)算更加簡(jiǎn)便.所以，在遇到平行直線間有關(guān)問(wèn)題時(shí)，已知或已解出一條直線Ax+By+C=0，我們不妨設(shè)另一條直線Ax+By+C=0，再依據(jù)題意解題.

3.垂直直線系方程

例6 求過(guò)點(diǎn)A(2，1)且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程.

解析假設(shè)所求直線方程為x-2y+c=0，由題意知，2-2×1+c=0，所以c=0，故所求直線l的方程為x-2y=0.

求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是與Ax+By+C=0垂直的直線系方程的設(shè)立，點(diǎn)睛之筆是點(diǎn)的坐標(biāo)的代入.

例7 求過(guò)點(diǎn)(2，4)且與直線x-2y+2=0垂直的直線方程.

解析假設(shè)l：2x+y+c=0，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(2，4)，所以c=-8，故直線方程為2x+y-8=0.

所以，當(dāng)我們對(duì)已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問(wèn)題時(shí)，常用垂直直線系法，即已知或已解出一條直線為Ax+By+C=0，不妨設(shè)另一條直線為Bx-Ay+D=0，再根據(jù)題意解題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.

4.斜率問(wèn)題的應(yīng)用

在求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程，或直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及兩直線的位置關(guān)系時(shí)，一般要分直線有無(wú)斜率兩種情況進(jìn)行討論.運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，有助于我們快速解題.而直接應(yīng)用直線系方程，可以避免對(duì)斜率的討論，確保求解的完整性和正確性.

例8 過(guò)點(diǎn)P(-1，4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線l，求切線l的方程.

解法二假設(shè)所求直線l的方程為(y-4)=k(x+1)，則kx-y+k+4=0.∵圓直徑為1，

故所求直線l的方程為y=4或者3x+4y-13=0.

例9 求過(guò)點(diǎn)P(-1,5)的圓(x-1)2+(y-2)2=4的切線方程.

例10 存在一M：xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π) 這一直線系.有命題如下：(1)存在某個(gè)圓和所有的直線的位置關(guān)系是相切；(2)存在某圓與所有的直線相交；(3)存在某圓與所有直線不相交；(4)直線系M里包含的直線能夠圍成的等邊三角形的面積都是相等的；(5)直線系M里的全部直線都過(guò)某定點(diǎn)；(6)直線系M里的隨便一直線不過(guò)某定點(diǎn)P(P點(diǎn)存在)；(7)存在n(n≥3且n為整數(shù))，則有正n邊形的各個(gè)邊都位于直線系M里某直線處.

其中為真命題的序號(hào)是____.

解析直線系M：xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圓x2+(y-2)2=1的切線的集合，借助于圓及其切線的幾何意義即可解答.

根據(jù)xcosθ+(y-2)sinθ=1，可得到圓心C(0，2) 至直線系M的所有直線之間的距離d為1，也就是直線系M是x2+(y-2)2=1的所有切線的總集，因此圓心是(0，2)、半徑比1大的圓存在且和直線系M包含的一切直線相交.同樣圓心(0，2)、半徑比1小的圓也存在且和直線系M所包含的一切直線都不會(huì)相交.則圓心(0，2)、半徑為1的圓也存在且和直線系M所包含的一切直線相切.因此命題(1)、(2)、(3)是正確的命題.

如圖1所示，△ADE與△ABC面積是不相等的，但是都是正三角形，(4)是錯(cuò)誤的.由于本題中的直線系M不能轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)1+kL2形式，可知不可能過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，(5)是錯(cuò)誤的.圓內(nèi)部的點(diǎn)都不在直線系上，如圓心C(0，2)即符合條件，(6)是正確的.由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，知(7)是正確的.

答案為(1)、(2)、(3)、(6)、(7).

至此，不難發(fā)現(xiàn)，如果我們能夠熟練掌握文中提到的常見(jiàn)的直線系方程，在處理與直線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往可以起到事半功倍的效果.

[1]崔寶榮.例析幾種常見(jiàn)的直線系方程[J].讀與寫(xiě)(教育教學(xué)刊)，2011(07)：183.

[2]楊和榮.談?dòng)弥本€方程解題的完整性[J].川北教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000(03)：43-44.

G632

A

1008-0333(2017)31-0033-02

2017-07-01

牛佳玥(2000.1-)，女，漢族，山東省章丘市人，高中學(xué)生.

楊惠民]