王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

余弦定理在圓錐曲線中的成效

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

本文介紹了用余弦定理解答圓錐曲線中的三角形的問題.

余弦定理；圓錐曲線；三角形

由于圓錐曲線的試題中總離不開點(diǎn)與線的問題，這樣一來就極有可能形成三角形，而運(yùn)用余弦定理來解此類問題常常會有一定的成效.根據(jù)三角形的位置不同可分：焦點(diǎn)三角形與非焦點(diǎn)三角形兩類.

第一類“焦點(diǎn)三角形”有關(guān)的問題

“焦點(diǎn)三角形”指的是圓錐曲線上任意一點(diǎn)與其兩個焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形.

例1 已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1,F2，橢圓上存在點(diǎn)P使∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的取值范圍.

解在△PF1F2中，設(shè)|F1F2|=2c,|PF1|=p,|PF2|=q，則p+q=2a.

此題圍繞著一個角的問題來分析邊之間的關(guān)系，因此考慮用余弦定理來求解.

此題也可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行引申.如：

(1)已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1,F2，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2何時最大？最大角為多少？(提示：利用余弦定理及基本不等式就可求出P在短軸端點(diǎn)上取到最大值.)

證明設(shè)∠F2AF2=θ，|F1F2|=2c,|AF1|=p,|AF2|=q.

根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得：

由于有共同焦點(diǎn)，故a2-b2=m2+n2.

根據(jù)余弦定理得：

第二類“非焦點(diǎn)三角形”有關(guān)的問題

在圓錐曲線中雖有很多與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題，但還有很多題與非焦點(diǎn)三角形有關(guān).

例3 已知圓C過定點(diǎn)A(0,p)(p>0)，圓心C在拋物線x2=2py上運(yùn)動，M,N為圓C與x軸的交點(diǎn).

(1)求證：|MN|為定長;

解(1)提示：寫出圓的方程，令y=0，得到|MN|=2p.(解答略)

(2)可見l1,l2,|MN|構(gòu)成三角形.

此題運(yùn)算過程中，若采用常規(guī)的運(yùn)算不但其運(yùn)算量大，而且最值也較難求.而采用此法可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，降低了運(yùn)算，而可以運(yùn)用三角函數(shù)的最值問題來求最值.

例4 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(-1,0)及斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若∠AFB為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解設(shè)直線l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2)，根據(jù)題意可知：k≠0.

根據(jù)拋物線的定義|FA|=x1+1,|FB|=x2+1.

將直線方程代入拋物線y2=4x中，整理得：

k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

根據(jù)直線與曲線相交,故Δ>0,求得：k2<1.

根據(jù)余弦定理可知，使得∠AFB為鈍角，只需|FA|2+|FB|2-|AB|2<0即可.

將上述式子代入及利用韋達(dá)定理可得：2k2-1<0

此題是研究角為鈍角的情況，而余弦定理可以解決角分類的問題，可由其余弦值的符號來確定.

總之，在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，三角形有關(guān)的問題，聯(lián)系余弦定理進(jìn)行求解會有事半功倍的效果.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.人教A版數(shù)學(xué)選修2-1.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書[M].北京：人民教育出版社，2005.

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1008-0333(2017)31-0031-02

2017-07-01

王蘇文(1975.7-)，男，諸暨市人，中學(xué)高級，大學(xué)本科，從事數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

楊惠民]