孟方明

(浙江省春暉中學(xué) 312353)

道是無圓卻有圓
——巧構(gòu)輔助圓解題

孟方明

(浙江省春暉中學(xué) 312353)

摘要：圓是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，也是高考必考的內(nèi)容之一．對(duì)于以隱性呈現(xiàn)方式的圓的問題，如果不能將圓化隱為顯，則往往會(huì)陷入繁雜的計(jì)算．本文著眼于圓的平面幾何性質(zhì)以及圓的位置關(guān)系，通過巧構(gòu)輔助圓，談?wù)勅绾纹平庥嘘P(guān)圓的問題．

平幾性質(zhì)；位置關(guān)系；構(gòu)造

高中數(shù)學(xué)中有些問題看似與圓無關(guān)，但若能深入挖掘題目中的隱含條件，巧妙地構(gòu)造輔助圓，然后運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，便能順利地建立起條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，化隱為顯，化繁為簡，化難為易，從而“圓”滿地解決問題．

一、利用圓的平面幾何性質(zhì)

1.對(duì)直徑的張角

解析由于圓內(nèi)的點(diǎn)對(duì)直徑的張角為鈍角，因此構(gòu)造以F1F2為直徑的圓，如圖1，橢圓與圓相交，結(jié)合題意知點(diǎn)P落在弧P1P2以及與x軸對(duì)稱的劣弧上.聯(lián)立橢圓方程與圓方程

圖1

說明設(shè)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB是圓O的直徑，則點(diǎn)P在圓O(不同于A,B)上等價(jià)于∠APB=90°；點(diǎn)P在圓O內(nèi)等價(jià)于∠APB>90°;點(diǎn)P在圓O外等價(jià)于∠APB<90°．

本題關(guān)鍵是根據(jù)題目中的點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)F1,F2為鈍角聯(lián)想到上述圓的基本性質(zhì)．

2.圓周角定理

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)P為直線l:x=m(|m|>1)上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)．

(Ⅱ)不妨設(shè)m<0，如圖2.

圖2

過F1、F2作圓與直線x=m切于點(diǎn)Q.

當(dāng)點(diǎn)P不同于點(diǎn)Q時(shí)，∠F1QF2、∠F1PF2分別為圓周角與圓外角.根據(jù)圓周角定理，圓周角大于任一圓外角,即恒有∠F1QF2>∠F1PF2．

設(shè)直線l1與x軸交于點(diǎn)N，

由切割線定理知，|NQ|2=|NF1|·|NF2|=(-c-m)(c-m)=m2-c2=m2-1，

說明同圓弧所對(duì)圓周角大于圓外角，對(duì)某些張角最大值問題，若巧用“兩角”關(guān)系，則可迅速鎖定最值位置．本題關(guān)鍵在于由∠F1QF2恒大于∠F1PF2，構(gòu)造過點(diǎn)F1、F2且切于點(diǎn)Q的輔助圓，使兩角分別成為圓周角與圓外角．與傳統(tǒng)函數(shù)不等式解法相比，簡捷而又創(chuàng)新．

二、利用與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

例3 若cosα+cosβ=1，求sinα+sinβ的取值范圍．

解析根據(jù)三角函數(shù)sinα,cosα的定義，構(gòu)造單位圓，設(shè)角α,β的終邊與單位圓x2+y2=1分別交于點(diǎn)A,B，則A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ).

圖3

說明若點(diǎn)P在圓C:f(x,y)=0內(nèi)或圓上，則|PC|≤r(r為⊙C半徑)．本題關(guān)鍵是由三角式聯(lián)想三角函數(shù)定義，構(gòu)造單位圓O，使cosα+cosβ、sinα+sinβ與弦中點(diǎn)P建立聯(lián)系．

2.直線與圓的位置關(guān)系

解析由已知，|F1F2|=|F2P|=2c，即點(diǎn)P到定點(diǎn)F2的距離為定值2c，

∴P在以F2為圓心，2c為半徑的圓(x-2c)2+y2=4c2上.

∴直線與圓有公共點(diǎn)，

∴a2≤3a2，

故選D．

∴|y|≤2，∴ymax=2．

3.圓與圓的位置關(guān)系

例6 在坐標(biāo)平面內(nèi)與點(diǎn)A(1,2)距離為1，且與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線共有( )．

A.1條 B.2條 C.條 D.4條

解析由題意，到點(diǎn)A(1,2)距離為1的直線是以A為圓心，1為半徑的圓的切線，同理，到點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線是以B為圓心，2為半徑的圓的切線，故與點(diǎn)A(1,2)距離為1，且與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線是⊙A和⊙B的公切線.

∴|r1-r2|<|AB|

∴公切線有2條，選B．

說明兩圓在不同的位置關(guān)系下，公切線的條數(shù)各不相同，若兩圓相交，則公切線有兩條．本題關(guān)鍵是由到定點(diǎn)距離為定長的直線，浮想到圓的切線，此時(shí)再結(jié)合兩圓位置關(guān)系，則獲得巧解，可謂不拘一格、獨(dú)具匠心．

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.人教A版數(shù)學(xué)選修2-1.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書[M].北京：人民教育出版社，2005.

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1008-0333(2017)31-0006-02

2017-07-01

孟方明(1979-)，男，浙江紹興人，大學(xué)本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

楊惠民]