李鵬程

(中國天繪衛(wèi)星中心，北京 102102)

0 引言

為提高反坦克導(dǎo)彈的攻擊效能，傳統(tǒng)直瞄攻擊已不能滿足現(xiàn)代作戰(zhàn)需求，需要對目標(biāo)采取大落角攻擊。因此，在進(jìn)行導(dǎo)引律設(shè)計時，不僅希望有高命中精度，而且需要導(dǎo)彈以期望的攻擊角度命中目標(biāo)，以增強(qiáng)戰(zhàn)斗部毀傷效果。

自從Kim和Grider首次在機(jī)動彈頭再入制導(dǎo)的研究中引入落角約束問題[1]以來，一些學(xué)者針對不同的應(yīng)用背景，根據(jù)不同的理論方法提出了許多具有終端角度約束的導(dǎo)引律，基本上可歸納為最優(yōu)導(dǎo)引律、變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律以及其他類型的導(dǎo)引律[1-8]?；谧顑?yōu)理論設(shè)計的導(dǎo)引律不受性能指標(biāo)和終端約束的限制，理想情況下具有最佳制導(dǎo)性能，但其依賴于各種假設(shè)與簡化，應(yīng)用于現(xiàn)實問題時魯棒性較差[1-4]。帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律形式比較簡單，易于實現(xiàn)，但是對導(dǎo)航信息偏差的敏感性較低，導(dǎo)致制導(dǎo)精度不高[5-6]。由于滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性，加之控制算法比較簡單，近年來，變結(jié)構(gòu)控制理論逐步應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計[7-10]。

盡管帶攻擊角度約束制導(dǎo)律被廣泛研究，但是這些制導(dǎo)律中的彈目視線角速收斂至0所需時間趨向于無窮大。而在實際情況下，解決制導(dǎo)問題的時間是有限的。對于控制系統(tǒng)，有限時間控制設(shè)計是確保系統(tǒng)在限制的時間內(nèi)達(dá)到要求的狀態(tài)。近年來，關(guān)于非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定問題得到了許多結(jié)論[11-15]。因此設(shè)計帶落角約束有限時間導(dǎo)引律是十分必要的。

根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論和有限時間收斂穩(wěn)定理論，本文改進(jìn)設(shè)計了有限時間收斂滑模制導(dǎo)律，能夠在碰撞之前滿足命中精度和攻擊角度的雙重要求。并綜合采用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法削弱變結(jié)構(gòu)控制中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，有效地提高了導(dǎo)引律的命中精度。

1 問題數(shù)學(xué)描述

1.1 彈目相對運(yùn)動模型

在建立交戰(zhàn)模型之前做如下假設(shè)：

(1) 導(dǎo)彈和目標(biāo)視作在平面內(nèi)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，且忽略地球自轉(zhuǎn)的影響；

(2) 導(dǎo)彈和目標(biāo)以常值速率運(yùn)動，且導(dǎo)彈的速率遠(yuǎn)大于目標(biāo)的速率；

(3) 導(dǎo)彈的自動駕駛儀的動態(tài)特性可視為一階慣性環(huán)節(jié)；

(4) 假設(shè)目標(biāo)只在俯仰平面內(nèi)做水平運(yùn)動。

對于縱向攻擊平面，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系示意圖如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Relative motion between missile and target

圖1中，r為彈目相對距離；q為彈目視線角，vm,vt分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的運(yùn)動速度；θm,θt分別為導(dǎo)彈彈道傾角與目標(biāo)航跡角；am,at分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)運(yùn)動的法向加速度；ηm,ηt分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的速度矢量與彈目視線之間的夾角。規(guī)定水平基準(zhǔn)線逆時針旋轉(zhuǎn)到彈目視線上時q為正，反之為負(fù)。根據(jù)圖中1所示的幾何關(guān)系，可以得到以下彈目相對運(yùn)動方程組:

(1)

(2)

ηt=θt-q,

(3)

ηm=θm-q,

(4)

θt=at/vt,

(5)

θm=am/vm.

(6)

聯(lián)合式(1)～(6)可得

(7)

1.2 落角約束問題

vtsin(θt-qd)-vmsin(θd-qd)=0,

(8)

qd-θd<π/2.

(9)

式(9)表示導(dǎo)彈快要命中目標(biāo)時目標(biāo)在視場范圍內(nèi)。對于給定的θm和θt，存在唯一的qd滿足上面2式。針對反坦克導(dǎo)彈所打擊目標(biāo)的特性，坦克與裝甲車輛基本在水平面保持勻速運(yùn)動，即θt=0，則qd,θd變?yōu)榉菚r變量，且qd≈θd，認(rèn)為此時期望落角就是期望視線角。

取狀態(tài)變量

x1=q(t)-qd,

(10)

(11)

當(dāng)狀態(tài)變量x1趨近于0時，則滿足了彈體以期望落角與目標(biāo)接近的任務(wù)；當(dāng)狀態(tài)變量x2趨近于0時，則滿足了導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的要求。

式(10)和式(11)分別對狀態(tài)變量關(guān)于時間求導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(7)可得以下狀態(tài)方程:

(12)

式(12)中狀態(tài)x1與x2有關(guān)聯(lián)，只要系統(tǒng)狀態(tài)變量x1,x2在有限時間內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定到0，導(dǎo)彈就能命中目標(biāo)。

2 帶落角約束導(dǎo)引律設(shè)計

定義Ac為導(dǎo)彈制導(dǎo)指令，此處把導(dǎo)彈自動駕駛儀視為理想環(huán)節(jié)無時延，則

Am=Ac.

(13)

此時系統(tǒng)狀態(tài)方程可寫為

(14)

選取滑模面切換函數(shù)為

(15)

s第1項使彈目視線角速率趨向于0;第2項保證滿足期望落角的要求。

結(jié)合文獻(xiàn)[7]的趨近律形式，為保證到達(dá)條件和良好的動態(tài)特性，本文采用的滑模面趨近律為

(16)

式中：k2,ε分別為趨近律系數(shù)和開關(guān)函數(shù)項系數(shù)，k2>0,ε>0。

對式(15)微分得

(17)

將式(14),(16)帶入式(17)，整理可得

εsgns+cosηtat].

(18)

cosηtat≤f,

(19)

式中:f為整個制導(dǎo)過程中的最大值。

則式(18)可進(jìn)一步簡化為

(20)

為方便描述，記導(dǎo)引律式(20)為VSG1。

3 有限時間收斂特性分析

3.1 有限時間收斂有關(guān)概念

針對非線性系統(tǒng)

(21)

式中:函數(shù)f：U0×R→Rn為在U0×R上連續(xù)的，f(0，t)= 0，U0為原點(diǎn)x=0的開鄰域。

(22)

當(dāng)t≥T(x0)時，有V(x)=0，最后得到

3.2 導(dǎo)引律有限時間收斂特性分析

下面分析系統(tǒng)的收斂特性，其中系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動可以分為2個階段：趨近狀態(tài)和滑模狀態(tài)。

對于趨近狀態(tài)，選取Lyapunov函數(shù)為V1=s2≥0，對其求導(dǎo)數(shù)有

(23)

由引理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時間內(nèi)收斂至滑模面，收斂時間滿足

(24)

當(dāng)?shù)竭_(dá)滑模面后，系統(tǒng)狀態(tài)會繼續(xù)運(yùn)動，直到其收斂至0。所以狀態(tài)會滿足

(25)

(26)

(27)

由引理1可知，收斂時間滿足

(28)

因此，制導(dǎo)系統(tǒng)總體收斂時間可表示為

Tf≤T1+T2≤

(29)

由式(24)可知，ε越大收斂到滑動模態(tài)的速度越快；由式(28)可得，k1越大在滑動模態(tài)上視線角速率收斂至0和視線角收斂至期望值的收斂速度越快。

4 考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀特性的導(dǎo)引律設(shè)計

導(dǎo)引律VSG1是在將導(dǎo)彈自動駕駛儀視為理想環(huán)節(jié)下設(shè)計而出的，但在實際應(yīng)用過程中，導(dǎo)彈自動駕駛儀的延遲特性通常會使制導(dǎo)精度變差，特別是對于機(jī)動目標(biāo)。因此，設(shè)計導(dǎo)引律時充分考慮自動駕駛儀特性具有一定的實際意義。本文中，將導(dǎo)彈自動駕駛儀特性近似為一階慣性環(huán)節(jié)，表達(dá)式為

(30)

式中：τ為導(dǎo)彈自動駕駛儀時間常數(shù);ac為導(dǎo)彈制導(dǎo)指令;am為通過彈上慣導(dǎo)系統(tǒng)測量的導(dǎo)彈當(dāng)前加速度。

定義狀態(tài)變量x3=am，合并式(14)和式(30)可得考慮自動駕駛儀特性的系統(tǒng)狀態(tài)方程

(31)

4.1 目標(biāo)不機(jī)動情況下導(dǎo)引律設(shè)計

當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動時at=0，式(31)簡化為

(32)

引入新變量z1,z2：

(33)

式中：虛擬控制量u1的表達(dá)式為

(34)

對z1求導(dǎo)可得

(35)

對z2求導(dǎo)可得

(36)

設(shè)計導(dǎo)引律ac:

(37)

式中:λ>0。將式(37)代入式(36)中得

(38)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(39)

對V2求導(dǎo)，并結(jié)合式(35)和式(38)得

(40)

因此V2漸近收斂于0。對比式(34)與式(20)不難發(fā)現(xiàn)，虛擬控制量u1等價于變結(jié)構(gòu)項ε取0時的導(dǎo)引律，z1即滑動模態(tài)面s，λ決定了制導(dǎo)系統(tǒng)趨近滑模面的收斂速度，這樣通過保證滑模面的收斂來保證視線角速率收斂至0和攻擊角度收斂至期望的角度，從而確保制導(dǎo)精度和制導(dǎo)性能。

4.2 目標(biāo)機(jī)動情況下導(dǎo)引律設(shè)計

對于目標(biāo)機(jī)動的情況，本文引入新變量z3,z4:

(41)

式中：虛擬控制量u2的表達(dá)式為

(42)

式中:ε=f+α≥f，而α>0。對z3求導(dǎo)可得

(43)

對z4求導(dǎo)可得

(44)

設(shè)計導(dǎo)引律ac:

(45)

將式(45)代入式(44)中得

(46)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(47)

對V3求導(dǎo)，并結(jié)合式(43)和式(46)得

(48)

因此V3漸近收斂于0。對比式(42)和式(20)可看出，虛擬控制量u2近似等價于導(dǎo)引律VSG1，而z3即為滑動模態(tài)面s，參數(shù)λ決定了制導(dǎo)系統(tǒng)趨近滑模面的收斂速度，該導(dǎo)引律保證了當(dāng)前導(dǎo)彈法向加速度am收斂于導(dǎo)引律VSG1的表達(dá)形式，滑模面收斂至0附近的領(lǐng)域，從而確保制導(dǎo)精度和制導(dǎo)性能。

對比目標(biāo)分別處于非機(jī)動與機(jī)動狀態(tài)情況下的導(dǎo)引律(37)和(45)，可以發(fā)現(xiàn)式(45)比式(37)多一個變結(jié)構(gòu)項，即當(dāng)ε=0時，式(45)變?yōu)槭?37)。因此，目標(biāo)非機(jī)動情況下導(dǎo)引律是目標(biāo)機(jī)動情況下導(dǎo)引律的一種特殊情況。為方便描述，記導(dǎo)引律(45)為VSG2。

5 抖振削弱

在理論角度，由于滑動模態(tài)可以按照需要設(shè)計，而且系統(tǒng)的滑模運(yùn)動與控制對象的參數(shù)變化和系統(tǒng)干擾無關(guān)，因此滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的魯棒性要比一般常規(guī)的連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)。但在實際制導(dǎo)控制系統(tǒng)中，由于滑模變結(jié)構(gòu)控制在本質(zhì)上不連續(xù)開關(guān)特性，將會引起系統(tǒng)的抖動。其產(chǎn)生的主要原因有開關(guān)在時間和空間上的滯后，以及系統(tǒng)慣性的影響。抖振現(xiàn)象會影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致導(dǎo)彈命中精度的降低。抖振是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的嚴(yán)重缺陷，也是阻礙變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)用的主要障礙。在變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律研究中，目前常用飽和函數(shù)法、變開關(guān)系數(shù)法或者雙曲正切函數(shù)法等削弱抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。

5.1 飽和函數(shù)法

飽和函數(shù)法是將不連續(xù)的符號函數(shù)連續(xù)化，其表達(dá)式為

(49)

式中：δ>0，稱為邊界層厚度，也稱消顫因子。

當(dāng)δ較小時，擁有較高的魯棒性。但在現(xiàn)實問題中存在較大時間滯后，需要δ較大，存在一定的矛盾。

5.2 雙曲正切函數(shù)法

雙曲正切曲線y=tanhx有關(guān)于原點(diǎn)對稱，原點(diǎn)處曲線斜率為1，并以y=±1為漸近線，如圖2所示。

圖2 雙曲正切函數(shù)y=tanh x的曲線軌跡Fig.2 Curve of hyperbolic tangent function y=tanh x

由圖2可以看出，通過改變雙曲正切函數(shù)曲線在原點(diǎn)處的曲線斜率，雙曲正切函數(shù)曲線可以很好地逼近符號函數(shù)。因此通過引入式(50)來削弱變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律中所存在的抖振問題。

(50)

式中：ξ>0，調(diào)整ξ的取值，可以改變雙曲正切函數(shù)在原點(diǎn)處的斜率。

5.3 變開關(guān)系數(shù)法

導(dǎo)引律VSG2中，若ε的值較小，則狀態(tài)變量趨近于滑模面的速度慢，可以有效地減小抖振。但ε取值過小，則到達(dá)切換面的時間會過長，系統(tǒng)不再是滑動模態(tài)控制系統(tǒng)。

綜合削弱抖振現(xiàn)象和控制到達(dá)切換面的時間2個方面的考慮，本文設(shè)計的ε將隨著接近切換面而減小。ε的表達(dá)式為

ε=ar+b,

(51)

式中:a,b>0。

當(dāng)r趨向于0時，可以確定b的取值，其作用保證制導(dǎo)系統(tǒng)處在滑?？刂葡隆Ｍ瑫r需要滿足前面ε=f+α，其中cosηtat≤f，則b取為f；而后根據(jù)r值最大時的r0和ε的上限確定a的取值，確保系統(tǒng)以較快速度趨近滑模面的同時盡量減少抖振幅度。

以往的研究多采用上面介紹的方法中的一種來削弱抖振，取得一定的成果，但仍存在改進(jìn)的空間。本文在研究中嘗試同時使用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法。用雙曲正切函數(shù)替代符號函數(shù)，同時變開關(guān)項系數(shù)ε用表達(dá)式(51)代替。綜合式(45),(50),(51)，改進(jìn)后的導(dǎo)引律表達(dá)式為

(52)

記導(dǎo)引律(52)為VSG3。

6 仿真與結(jié)果分析

制導(dǎo)過程中，導(dǎo)彈的在坐標(biāo)系中的初始位置是xm 0=0,ym 0=0，初始彈道傾角θm=0，導(dǎo)彈速度vm=160 m/s；目標(biāo)的初始位置是xt 0=2 000 m,yt 0=0；期望落角為75°；制導(dǎo)參數(shù)取值：τ=0.1,k1=3,k2=2,λ=10,a=0.1,b=20,ξ=0.1。

為考察本文所改進(jìn)設(shè)計導(dǎo)引律的制導(dǎo)性能，在仿真過程中，除文中提到的導(dǎo)引律VSG1和VSG3，還引進(jìn)了偏置比例導(dǎo)引律(BPNG)作為比較。仿真結(jié)果如圖3～7和表1所示。

表1 考慮自動駕駛儀延遲特性仿真結(jié)果Table 1 Simulation result with autopilot dynamics

圖3 滑模面變化規(guī)律Fig.3 Variations of sliding surface

圖4 彈道曲線Fig.4 Curve of ballistic

圖5 導(dǎo)彈速度曲線Fig.5 Curve of missile’s velocity

圖6 彈道傾角曲線Fig.6 Curve of ballistic angle

圖7 導(dǎo)引律VSG3下導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運(yùn)動軌跡Fig.7 Relative motion track of missile and target using VSG3 guidance law

從圖3可以看出，滑動模態(tài)面具有逐漸向0收斂的趨勢，在VSG1下比在VSG3下要早一些發(fā)散，是因為VSG1沒有對自動駕駛儀延遲特性進(jìn)行補(bǔ)償。由表1、圖4及圖6可以看出，偏置比例導(dǎo)引(BPNG)的命中精度不夠高，未能擊中目標(biāo)，并且未能達(dá)到75°的期望落角；而VSG1和VSG3能夠滿足對于落角的要求，只是VSG1的落角誤差相比較與VSG3稍微大一些。從圖7可以看出，無論是在攻擊機(jī)動目標(biāo)還是非機(jī)動目標(biāo)的情況下，該導(dǎo)引律均能很好地命中目標(biāo)。

從以上數(shù)學(xué)仿真分析可以看出，本文改進(jìn)設(shè)計的有限時間收斂導(dǎo)引律能夠在大落角約束條件下命中目標(biāo)，而偏置比例導(dǎo)引不能夠滿足大落角的要求。同時，在考慮了自動駕駛儀延遲特性所設(shè)計出的導(dǎo)引律VSG3比一般有限時間收斂導(dǎo)引律具有更好的魯棒性。

7 結(jié)束語

本文深入研究了具有落角約束條件下反坦克導(dǎo)彈制導(dǎo)律的問題。通過應(yīng)用非線性控制系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定理論和滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，并且考慮了導(dǎo)彈自動駕駛儀延遲特性，從而改進(jìn)設(shè)計了有限時間收斂滑模制導(dǎo)律。該導(dǎo)引律保證彈目視線角速率在有限時間收斂至0，在最終時刻前滿足期望的落角約束，并且能有效補(bǔ)償自動駕駛儀延遲的影響。同時，在導(dǎo)引律設(shè)計中綜合采用雙曲正切函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法，進(jìn)一步削弱控制過程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明了本文所改進(jìn)設(shè)計導(dǎo)引律的有效性。

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