董霓,徐俊艷
(1.北京電子工程總體研究所,北京 100854;2.航天系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100854)
一般地,反彈道導(dǎo)彈的攔截過程作戰(zhàn)空域較高,主要在大氣層外飛行,空氣較為稀薄,很難依靠氣動(dòng)力實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的攔截。作為防御的彈道導(dǎo)彈一般都帶有自動(dòng)尋的導(dǎo)引頭等探測(cè)裝置,以及攔截裝置,便于在接近目標(biāo)時(shí)實(shí)現(xiàn)直接碰撞來達(dá)到攔截?cái)撤綄?dǎo)彈的目的。隨著防御技術(shù)的發(fā)展,敵方彈道導(dǎo)彈的攻擊能力也逐漸增強(qiáng),機(jī)動(dòng)目標(biāo)為了躲避攔截,需要研究具有攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)能力的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng),末制導(dǎo)的制導(dǎo)精度將直接的影響到整個(gè)攔截過程的成功率。對(duì)于目前應(yīng)用的絕大多數(shù)制導(dǎo)律而言,其基本思想都是通過抑制視線轉(zhuǎn)率發(fā)散并控制其達(dá)到零為主要手段來實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)。因此,視線轉(zhuǎn)率參數(shù)信息是制導(dǎo)控制系統(tǒng)中的重要參數(shù)。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)主要分為非機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)和機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩種形式,本文針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行末制導(dǎo)技術(shù)的相關(guān)研究。
彈道導(dǎo)彈的攔截在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面有兩個(gè)主要問題,一是對(duì)于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的信息估計(jì);二是制導(dǎo)控制方法研究。其中,有效的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)是保證制導(dǎo)精度的前提。在導(dǎo)引頭的探測(cè)精度很難進(jìn)一步提高的情況下,通過軟件方法提高目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)精度是一個(gè)較為有效的手段。本文通過對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)來達(dá)到提高視線轉(zhuǎn)率精度的目的,并針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)采用具有強(qiáng)魯棒性的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律來實(shí)現(xiàn)有效防御。
為了得到帶目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的視線轉(zhuǎn)率計(jì)算表達(dá)式,下面在發(fā)射慣性系中建立導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。在視線坐標(biāo)系中,取相對(duì)距離矢量r,對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有
(1)
再對(duì)式(1)求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有
(2)
式中:下標(biāo)F代表表達(dá)式在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)意義;同理有下標(biāo)4代表表達(dá)式在視線坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)意義。
經(jīng)整理,并忽略計(jì)算過程中的二階小量,可得到彈目相對(duì)方程為
(3)
式中:at為目標(biāo)加速度;am為導(dǎo)彈加速度。
式(3)則為帶有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。
相較傳統(tǒng)的視線轉(zhuǎn)率提取過程,以往的做法是忽略目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度,將其含在系統(tǒng)的量測(cè)噪聲中一并處理。本文針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng),采用Singer模型對(duì)其加速度運(yùn)動(dòng)信息做了濾波估計(jì),在視線轉(zhuǎn)率提取的過程中,考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度變化對(duì)濾波系統(tǒng)的影響[1-3]。
假定目標(biāo)加速度a(t)的自相關(guān)函數(shù)為
(4)
式中:σa為目標(biāo)加速度方差。
經(jīng)離散化得到
a(k+1)=e-αTa(k)+w(k+1),
(5)
對(duì)式(5)兩邊同時(shí)取期望,進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,可得
E(a(k+1))=E(e-αTa(k)+w(k+1))=
E(e-αTa(k))+E(w(k+1))=E(e-αTa(k)).
(6)
由于卡爾曼濾波是最小均方意義下的濾波方法,則有
(7)
代入式(7),得到
(8)
對(duì)式(8)進(jìn)行變換有
(9)
運(yùn)用現(xiàn)代控制理論知識(shí),并選取狀態(tài)變量為i再將式(9)寫成狀態(tài)方程形式,可得
(10)
式中:Δay=aty-amy;Δaz=atz-amz。
經(jīng)分析,系統(tǒng)矩陣為線性部分,輸入矩陣中rcosx1項(xiàng)呈現(xiàn)為非線性項(xiàng)。由于實(shí)際中,x1為一個(gè)很小的值,因此非線性項(xiàng)cosx1變化很小,微乎其微,考慮該非線性項(xiàng)和忽略該項(xiàng)仿真結(jié)果幾乎不受到影響。因此,實(shí)際仿真中,認(rèn)為高低視線角為小量,則本節(jié)推導(dǎo)的公式均可以看作線性狀態(tài)方程處理,簡(jiǎn)化了實(shí)際的濾波計(jì)算過程。視線轉(zhuǎn)率濾波系統(tǒng)的量測(cè)值為導(dǎo)引頭輸出的視線角,分別為高低角qε、方位角qβ。式(10)中,Δay,Δaz可以經(jīng)濾波估計(jì)得到的目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度得出。
隨著目標(biāo)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜程度的增加,傳統(tǒng)的制導(dǎo)律已經(jīng)不能滿足攔截彈的需求,為了快速響應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度的運(yùn)動(dòng)變化情況,考慮到滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律較強(qiáng)的魯棒性,選取滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律進(jìn)行制導(dǎo)過程的研究[5]。
考察視線坐標(biāo)系內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式,在末制導(dǎo)過程中,可以將相對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為縱向平面O4x4y4和側(cè)向平面的運(yùn)動(dòng)O4x4z4。
(11)
式中:u1=amy(t);u2=aty(t)。
ε(λ)>0,f(0,λ)=0,sf(s,λ)>0,
ifs≠0,
(12)
式中:λ為系統(tǒng)參數(shù)。
令系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模趨近律為
k=const>0,ε=const>0.
(13)
已知s=r(t)x2代入自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模表達(dá)式中,有
(14)
經(jīng)過數(shù)學(xué)變化可以得到
(15)
由狀態(tài)方程有
(16)
通過式(15)和(16)可以得出:
(17)
當(dāng)小時(shí)間間隔δt取得無限小時(shí),可以認(rèn)為縱向平面內(nèi)的視線角增量為qε變化很小,且視線角qε本身也為小量。在縱向平面內(nèi),容易實(shí)現(xiàn)得到的縱向平面自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)的導(dǎo)引律表達(dá)式為
(18)
式(18)中引入的符號(hào)項(xiàng)函數(shù)sgns是非連續(xù)函數(shù),在趨近于滑模動(dòng)態(tài)平面時(shí),容易帶來高頻的抖動(dòng)現(xiàn)象,并誘發(fā)攔截彈彈體產(chǎn)生共振現(xiàn)象,這點(diǎn)對(duì)于處于末制導(dǎo)關(guān)鍵階段的導(dǎo)彈是非常不利的[10-15]。工程應(yīng)用中,一般選取高增益函數(shù)近似代替式(18)中的符號(hào)函數(shù)項(xiàng),對(duì)抑制抖動(dòng)有明顯的效果。
(19)
仿真過程初始參數(shù)如下述:
導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)初始條件:在慣性坐標(biāo)系下,導(dǎo)彈初始位置為x0=60 km,y0=20 km,z0=-6 km,初始速度vx0=3 km/s,vy0=100 m/s,vz0=-200 m/s。
目標(biāo)運(yùn)動(dòng)初始條件:在慣性坐標(biāo)系下,目標(biāo)初始位置為xt0=67 km,yt0=30 km,zt0=10 km,初始速度vtx0=-400 m/s,vty0=1 km/s,vtz0=2 km/s。
本節(jié)中給出的仿真結(jié)果如圖1~6所示,是在導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)距離為25 km時(shí),目標(biāo)開始做正弦機(jī)動(dòng)。此時(shí),量測(cè)系統(tǒng)裝置測(cè)量到目標(biāo)位置的變化,制導(dǎo)系統(tǒng)通過目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)環(huán)節(jié)預(yù)估出目標(biāo)當(dāng)前的機(jī)動(dòng)加速度,目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息的變化反饋到視線轉(zhuǎn)率信息中,制導(dǎo)律以抑制視線轉(zhuǎn)率發(fā)散并控制其達(dá)到零為目的,實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效制導(dǎo)。
圖1 攔截過程相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Relative movement trajectory
圖2 攔截過程脫靶量變化曲線Fig.2 Miss distance curve of intercepting process
圖3 視線角速率濾波曲線Fig.3 Curve of line of sight rate
圖4 視線角濾波曲線Fig.4 Curve of line of sight
當(dāng)目標(biāo)在兩者相對(duì)距離為20 km時(shí)做幅值(過載)為2的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí),若采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引,即使有目標(biāo)加速度的估計(jì)環(huán)節(jié)也很難命中目標(biāo)。圖7所示,若采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引應(yīng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo),會(huì)造成較大的脫靶量。因此,對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo),基于估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的方法采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,可以有效實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截。
圖5 相對(duì)距離和相對(duì)速度曲線Fig 5 Curve of relative distance and relative velocity
圖6 目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)曲線Fig.6 Curve of estimated target maneuvering acceleration
圖7 攔截過程脫靶量變化曲線Fig.7 Miss distance curve of intercepting process with non maneuvering target via PNG
本文研究了機(jī)動(dòng)目標(biāo)的視線轉(zhuǎn)率算法,將目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)值帶入導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中,可以得到含有目標(biāo)機(jī)動(dòng)的視線轉(zhuǎn)率方程。經(jīng)過仿真分析可以發(fā)現(xiàn),含有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的視線轉(zhuǎn)率信息精度高于不含機(jī)動(dòng)信息的視線轉(zhuǎn)率,并且隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)強(qiáng)度的增大,估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的必要性增加。針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo),以往的傳統(tǒng)制導(dǎo)律不再適用,在獲得含有機(jī)動(dòng)信息的視線轉(zhuǎn)率后,考慮具有強(qiáng)魯棒性的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,并將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度信息作為制導(dǎo)律的輸入?yún)?shù)。經(jīng)過仿真分析,證明了估計(jì)機(jī)動(dòng)加速度的必要性,并且滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)具有較強(qiáng)的適用性,控制效果較好。
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