董霓，徐俊艷

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.航天系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854)

0 引言

一般地，反彈道導(dǎo)彈的攔截過程作戰(zhàn)空域較高，主要在大氣層外飛行，空氣較為稀薄，很難依靠氣動(dòng)力實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的攔截。作為防御的彈道導(dǎo)彈一般都帶有自動(dòng)尋的導(dǎo)引頭等探測(cè)裝置，以及攔截裝置，便于在接近目標(biāo)時(shí)實(shí)現(xiàn)直接碰撞來達(dá)到攔截?cái)撤綄?dǎo)彈的目的。隨著防御技術(shù)的發(fā)展，敵方彈道導(dǎo)彈的攻擊能力也逐漸增強(qiáng)，機(jī)動(dòng)目標(biāo)為了躲避攔截，需要研究具有攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)能力的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)，末制導(dǎo)的制導(dǎo)精度將直接的影響到整個(gè)攔截過程的成功率。對(duì)于目前應(yīng)用的絕大多數(shù)制導(dǎo)律而言，其基本思想都是通過抑制視線轉(zhuǎn)率發(fā)散并控制其達(dá)到零為主要手段來實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)。因此，視線轉(zhuǎn)率參數(shù)信息是制導(dǎo)控制系統(tǒng)中的重要參數(shù)。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)主要分為非機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)和機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩種形式，本文針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行末制導(dǎo)技術(shù)的相關(guān)研究。

彈道導(dǎo)彈的攔截在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面有兩個(gè)主要問題，一是對(duì)于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的信息估計(jì)；二是制導(dǎo)控制方法研究。其中，有效的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)是保證制導(dǎo)精度的前提。在導(dǎo)引頭的探測(cè)精度很難進(jìn)一步提高的情況下，通過軟件方法提高目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)精度是一個(gè)較為有效的手段。本文通過對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)來達(dá)到提高視線轉(zhuǎn)率精度的目的，并針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)采用具有強(qiáng)魯棒性的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律來實(shí)現(xiàn)有效防御。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立

為了得到帶目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的視線轉(zhuǎn)率計(jì)算表達(dá)式，下面在發(fā)射慣性系中建立導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。在視線坐標(biāo)系中，取相對(duì)距離矢量r，對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有

(1)

再對(duì)式(1)求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有

(2)

式中:下標(biāo)F代表表達(dá)式在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)意義;同理有下標(biāo)4代表表達(dá)式在視線坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)意義。

經(jīng)整理，并忽略計(jì)算過程中的二階小量，可得到彈目相對(duì)方程為

(3)

式中：at為目標(biāo)加速度；am為導(dǎo)彈加速度。

式(3)則為帶有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。

2 機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截末制導(dǎo)信息研究

2.1 視線轉(zhuǎn)率信息提取

相較傳統(tǒng)的視線轉(zhuǎn)率提取過程，以往的做法是忽略目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度，將其含在系統(tǒng)的量測(cè)噪聲中一并處理。本文針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)，采用Singer模型對(duì)其加速度運(yùn)動(dòng)信息做了濾波估計(jì)，在視線轉(zhuǎn)率提取的過程中，考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度變化對(duì)濾波系統(tǒng)的影響[1-3]。

假定目標(biāo)加速度a(t)的自相關(guān)函數(shù)為

(4)

式中：σa為目標(biāo)加速度方差。

經(jīng)離散化得到

a(k+1)=e-αTa(k)+w(k+1)，

(5)

對(duì)式(5)兩邊同時(shí)取期望，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得

E(a(k+1))=E(e-αTa(k)+w(k+1))=

E(e-αTa(k))+E(w(k+1))=E(e-αTa(k)).

(6)

由于卡爾曼濾波是最小均方意義下的濾波方法，則有

(7)

代入式(7)，得到

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行變換有

(9)

運(yùn)用現(xiàn)代控制理論知識(shí)，并選取狀態(tài)變量為i再將式(9)寫成狀態(tài)方程形式，可得

(10)

式中:Δay=aty-amy;Δaz=atz-amz。

經(jīng)分析，系統(tǒng)矩陣為線性部分，輸入矩陣中rcosx1項(xiàng)呈現(xiàn)為非線性項(xiàng)。由于實(shí)際中，x1為一個(gè)很小的值，因此非線性項(xiàng)cosx1變化很小，微乎其微，考慮該非線性項(xiàng)和忽略該項(xiàng)仿真結(jié)果幾乎不受到影響。因此，實(shí)際仿真中，認(rèn)為高低視線角為小量，則本節(jié)推導(dǎo)的公式均可以看作線性狀態(tài)方程處理，簡(jiǎn)化了實(shí)際的濾波計(jì)算過程。視線轉(zhuǎn)率濾波系統(tǒng)的量測(cè)值為導(dǎo)引頭輸出的視線角，分別為高低角qε、方位角qβ。式(10)中，Δay，Δaz可以經(jīng)濾波估計(jì)得到的目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度得出。

2.2 滑模變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律研究

隨著目標(biāo)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜程度的增加，傳統(tǒng)的制導(dǎo)律已經(jīng)不能滿足攔截彈的需求，為了快速響應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度的運(yùn)動(dòng)變化情況，考慮到滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律較強(qiáng)的魯棒性，選取滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律進(jìn)行制導(dǎo)過程的研究[5]。

考察視線坐標(biāo)系內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式，在末制導(dǎo)過程中，可以將相對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為縱向平面O4x4y4和側(cè)向平面的運(yùn)動(dòng)O4x4z4。

(11)

式中:u1=amy(t);u2=aty(t)。

ε(λ)>0，f(0，λ)=0，sf(s，λ)>0，

ifs≠0,

(12)

式中:λ為系統(tǒng)參數(shù)。

令系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模趨近律為

k=const>0，ε=const>0.

(13)

已知s=r(t)x2代入自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模表達(dá)式中，有

(14)

經(jīng)過數(shù)學(xué)變化可以得到

(15)

由狀態(tài)方程有

(16)

通過式(15)和(16)可以得出：

(17)

當(dāng)小時(shí)間間隔δt取得無限小時(shí)，可以認(rèn)為縱向平面內(nèi)的視線角增量為qε變化很小，且視線角qε本身也為小量。在縱向平面內(nèi)，容易實(shí)現(xiàn)得到的縱向平面自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)的導(dǎo)引律表達(dá)式為

(18)

式(18)中引入的符號(hào)項(xiàng)函數(shù)sgns是非連續(xù)函數(shù)，在趨近于滑模動(dòng)態(tài)平面時(shí)，容易帶來高頻的抖動(dòng)現(xiàn)象，并誘發(fā)攔截彈彈體產(chǎn)生共振現(xiàn)象，這點(diǎn)對(duì)于處于末制導(dǎo)關(guān)鍵階段的導(dǎo)彈是非常不利的[10-15]。工程應(yīng)用中，一般選取高增益函數(shù)近似代替式(18)中的符號(hào)函數(shù)項(xiàng)，對(duì)抑制抖動(dòng)有明顯的效果。

(19)

3 機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截末制導(dǎo)仿真結(jié)果

3.1 仿真條件

仿真過程初始參數(shù)如下述：

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)初始條件：在慣性坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈初始位置為x0=60 km，y0=20 km，z0=-6 km，初始速度vx0=3 km/s，vy0=100 m/s，vz0=-200 m/s。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)初始條件：在慣性坐標(biāo)系下，目標(biāo)初始位置為xt0=67 km，yt0=30 km，zt0=10 km，初始速度vtx0=-400 m/s，vty0=1 km/s，vtz0=2 km/s。

3.2 仿真結(jié)果

本節(jié)中給出的仿真結(jié)果如圖1～6所示，是在導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)距離為25 km時(shí)，目標(biāo)開始做正弦機(jī)動(dòng)。此時(shí)，量測(cè)系統(tǒng)裝置測(cè)量到目標(biāo)位置的變化，制導(dǎo)系統(tǒng)通過目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)環(huán)節(jié)預(yù)估出目標(biāo)當(dāng)前的機(jī)動(dòng)加速度，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息的變化反饋到視線轉(zhuǎn)率信息中，制導(dǎo)律以抑制視線轉(zhuǎn)率發(fā)散并控制其達(dá)到零為目的，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效制導(dǎo)。

圖1 攔截過程相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Relative movement trajectory

圖2 攔截過程脫靶量變化曲線Fig.2 Miss distance curve of intercepting process

圖3 視線角速率濾波曲線Fig.3 Curve of line of sight rate

圖4 視線角濾波曲線Fig.4 Curve of line of sight

當(dāng)目標(biāo)在兩者相對(duì)距離為20 km時(shí)做幅值(過載)為2的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，若采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引，即使有目標(biāo)加速度的估計(jì)環(huán)節(jié)也很難命中目標(biāo)。圖7所示，若采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引應(yīng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，會(huì)造成較大的脫靶量。因此，對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)，基于估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的方法采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，可以有效實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截。

圖5 相對(duì)距離和相對(duì)速度曲線Fig 5 Curve of relative distance and relative velocity

圖6 目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)曲線Fig.6 Curve of estimated target maneuvering acceleration

圖7 攔截過程脫靶量變化曲線Fig.7 Miss distance curve of intercepting process with non maneuvering target via PNG

4 結(jié)束語

本文研究了機(jī)動(dòng)目標(biāo)的視線轉(zhuǎn)率算法，將目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)值帶入導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到含有目標(biāo)機(jī)動(dòng)的視線轉(zhuǎn)率方程。經(jīng)過仿真分析可以發(fā)現(xiàn)，含有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的視線轉(zhuǎn)率信息精度高于不含機(jī)動(dòng)信息的視線轉(zhuǎn)率，并且隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)強(qiáng)度的增大，估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的必要性增加。針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，以往的傳統(tǒng)制導(dǎo)律不再適用，在獲得含有機(jī)動(dòng)信息的視線轉(zhuǎn)率后，考慮具有強(qiáng)魯棒性的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，并將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度信息作為制導(dǎo)律的輸入?yún)?shù)。經(jīng)過仿真分析，證明了估計(jì)機(jī)動(dòng)加速度的必要性，并且滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)具有較強(qiáng)的適用性，控制效果較好。

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