江蘇省啟東中學(xué) 陳高峰

空間角求解中的多種思維方法

江蘇省啟東中學(xué) 陳高峰

異面直線所成角、線面角、二面角的大小是高考必考的熱點(diǎn)問(wèn)題,求解的關(guān)鍵是根據(jù)不同題設(shè)的幾何背景選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?常常用傳統(tǒng)的幾何法或向量法求解。對(duì)于某些空間角的問(wèn)題多角度探究可產(chǎn)生不同的思維方法求解。

一、異面直線所成的角求解中的多種思維方法

例1 (2 0 1 7年全國(guó)Ⅰ卷理1 0)已知直三棱 柱 A B C-A1B1C1中,∠A B C=1 2 0°,A B=2,B C=C C1=1,則異面直線A B1與B C1所成角的余弦值為( )。

解法1:(平移法)注意直三棱柱的特殊性,取特殊的三個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造三角形,借助三角形的中位線平行移動(dòng)找異面直線所成的角。如圖1,M,N,P分別為A B,B B1,B1C1的中點(diǎn),則A B1,B C1所成角為MN和NP的夾角或其補(bǔ)角。

圖1

由已知條件可知MN=

圖3

解法4:(坐標(biāo)向量法)如圖3所示,以垂直于B C的方向?yàn)閤軸,B C所在直線為y軸,B B1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(0,0,1),A(,-1,0),=(0,1,1),=(-,1),所以異面直線Α Β1與Β C1所成=。故選C。

反思:傳統(tǒng)的幾何法求異面直線所成的角,一般依據(jù)定義,通過(guò)“直接平移或補(bǔ)形平移”得到兩條直線的夾角或夾角的補(bǔ)角,構(gòu)造三角形計(jì)算大小,強(qiáng)化邏輯推理與空間想象能力;向量法求異面直線所成的角,借助“兩異面直線對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角”進(jìn)行求解,凸顯空間問(wèn)題代數(shù)化的本質(zhì)屬性。不論用何種方法,切記異面直線所成角的取值范圍是]。

二、直線與平面所成的角求解中的多種思維方法

圖4

例2 (2 0 1 7年上海高考題改編)如圖4,直三棱柱A B CA1B1C1中,∠A B C=9 0°,B B1=5,A B=4,B C=2。

(1)求三棱柱A B C-A1B1C1的體積;

(2)若M是A C的中點(diǎn),求B1M與平面A B C所成角的余弦值。

圖5

(2)解法1:(幾何法)如圖5,連接BM,直三棱柱A B CA1B1C1中,因?yàn)锳 B=4,B C=2,∠A B C=9 0°,所 以 A C==2。

又M是A C的中點(diǎn),所以BM=5。由直三棱柱A B C-A1B1C1可知B B1⊥面A B C,則B M為斜線B1M在面A B C上的射影,即∠B M B1為B1M與平面A B C所成角。

解法2:(向量法)以B為原點(diǎn),B A為O x正方向,B C為O y正方向,B B1為O z正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-x y z,則B(0,0,0),B1(0,0,5),A(4,0,0),C(0,2,0)。

反思:本題采用幾何法計(jì)算比較好,準(zhǔn)確度高,計(jì)算量少,這是由底面為直角三角形的直三棱柱易找到斜線在底面上的射影決定的;向量法求解線面角,利用公式得到的角是法向量與斜線A B的夾角,并不是斜線A B和平面成的角,此時(shí)斜線與平面成角為9 0°-θ,或s i nθ=。|

三、二面角求解中的多種思維方法

圖6

例3 (2 0 1 7年高考全國(guó)Ⅰ卷理)如圖6,在四棱錐P-A B C D中,A B∥C D,且∠B A P=∠C D P=9 0°。

(1)證明:平面P A B⊥平面P A D;

(2)若P A=P D=A B=D C,∠A P D=9 0°,求二面角A-P B-C的余弦值。

解析:(1)由已知∠B A P=∠C D P=9 0°,得A B⊥A P,C D⊥P D。由于A B∥C D,故A B⊥P D,從而A B⊥平面P A D。又A B?平面P A B,所以平面P A B⊥平面P A D。

(2)解法1:(幾何法)不妨設(shè)P A=P D=A B=D C=1,由題設(shè)易得P B=B C=A D=P C=。

如圖7,取P B的中點(diǎn)O,連接A O,C O,則A O⊥P B,C O⊥P B,所以∠A O C即為所求二面角的平面角。

圖7

解法2:(向量法)由(1)知,A B⊥平面P A D,取O,E分別為A D,B C的中點(diǎn),由條件可知底面為矩形A B C D。

連接O E,所以O(shè) E⊥平面P A D。又P O,A D?平面P A D,所以O(shè) E⊥P O,O E⊥A D。又因?yàn)镻 A=P D,所以P O⊥A D。所以P O,O E,A D兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖8所示的空間直角坐標(biāo)系O-x y z。

圖8

令y=1,則z=2,x=0,可得平面P B C的一個(gè)法向量n=(0 ,1)。

因?yàn)椤螦 P D=9 0°,所以P D⊥P A。

又知A B⊥平面P A D,P D?平面P A D,所以P D⊥A B。又P A∩A B=A,所以P D⊥平面P A B,即是平面P A B的一個(gè)法向量=(-,0,-)。

解法3:(幾何法)不妨設(shè)P A=P D=A B=D C=1,易得P B=B C=A D=P C=2。

取P B的中點(diǎn)為O,連接A O,則A O⊥P B。

設(shè)A在平面P B C內(nèi)投影為H,連接AH,OH,則∠A OH的補(bǔ)角即為所求二面角的平面角。

反思:傳統(tǒng)的幾何法求二面角的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)的特殊性,合理選擇棱上的特殊點(diǎn),即一個(gè)平面垂直于二面角α-l-β的棱l,且與兩半平面的交線分別為O A,O B,O為垂足,則∠A O B就是二面角α-l-β的平面角,常常要經(jīng)過(guò)“作—證—算”三個(gè)步驟;向量法求二面角先求兩平面的法向量的夾角,設(shè)m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與〈m,n〉互補(bǔ)或相等,故有|c o sθ|=|c o s〈m,n〉|=。遇到二面角的余弦值正負(fù)號(hào)的取舍,一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。

(責(zé)任編輯 王福華)