江蘇省沭陽高級中學(xué) 陳淮陽

多面體體積計算中的多種思維方法

江蘇省沭陽高級中學(xué) 陳淮陽

編者的話:“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習(xí)題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法,通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會解題反思,無疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑,愿同學(xué)們不斷在反思中進步,在反思中收獲!

對于空間幾何體的體積問題,依據(jù)題設(shè)的特殊性可以用公式法、割補法、等積變換法、分割法、補形法等求解,凸顯“非規(guī)則體化為規(guī)則體”的整體思維的具體應(yīng)用。本文探究幾何體體積計算中的多種思維方法。

一、公式法求體積時的多種思維方法

圖1

例1 如圖1,在三棱柱A1B1C1-A B C中,D,E,F分別是A B,A C,A A1的中點。設(shè)三棱錐F-A D E的體積為V1,三棱柱A1B1C1-A B C的體積為V2,則V1∶V2=。

解法1:注意三棱錐和三棱柱它們的底面和高之間的關(guān)系,可用公式法求體積比。設(shè)三棱錐F-A D E的高為h,則

解法2:構(gòu)造輔助的三棱錐。連接A1C,AB,則V=V,而VV,所11A1-ABCA1-ABC2以V=V。12

解法3:特殊化處理。若三棱柱A1B1C1-A B C為正三棱柱,設(shè)A B=2,A A1=2,則V2=S h=×22×2=2,V1××1=,所以V∶V=1∶2 4。12

感悟:柱、錐、臺的體積計算,確定底面面積和高,用公式V=S h或V=S h或柱體錐體V=(S+S S′+S′)h求解,關(guān)鍵是合臺體理選擇底面,尋求頂點在底面上的射影。對于體積比的問題,合理設(shè)元,溝通關(guān)系,分割成常見的規(guī)則體,利用加減法得到錐體與非規(guī)則體的體積比。

二、三棱錐體積求解中的“公式法”和“直截面分割法”

例2 已知三棱錐S-A B C的所有頂點都在球O的球面上,S C是球O的直徑。若平面S C A⊥平面S C B,S A=A C,S B=B C,三棱錐S-A B C的體積為9,則球O的表面積為____。

解法1:取S C的中點O,連接O A,O B,因為S A=A C,S B=B C,所以O(shè) A⊥S C,O B⊥S C。因為平面S A C⊥平面S B C,所以O(shè) A⊥平面S B C。設(shè)O A=r,S C是球O的直徑,S A=A C,S B=B C,則 R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形,且斜邊為2r,高為r,所以=×S×O A=×△SBC×2r×r×r==9,所以r=3,所以球的表面積為=3 6 π。

解法2:取S C的中點O,連接O A,O B,因為S A=A C,S B=B C,所以O(shè) A⊥S C,O B⊥S C,S C⊥平面O A B。因為平面S A C⊥平面S B C,所以O(shè) A⊥平面S B C,而S C是球O的直徑,則R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形。設(shè)O A=r,則O B=r,且△A O B為等腰直角三角形,于是有VA-SBC=×S×S C=××r×r×2r=r3△AOB=9,所以r=3,則球的表面積為4 πr2=3 6 π。

感悟:對于三棱錐的體積問題,可以任選一面作底面,然后求出該底面對應(yīng)的高。關(guān)于棱對稱的特殊三棱錐,通過作此棱的直截面,將三棱錐分割成共底面的兩個三棱錐,該側(cè)棱就是兩個小三棱錐高的和。

三、三棱錐體積計算中的“等積變換法”和“分割法”

例3 如圖2所示,三棱錐A-B C D中,A B⊥平面B C D,C D⊥B D。

(1)求證:C D⊥平面A B D;

(2)若A B=B D=C D=1,M為A D的中點,求三棱錐AMB C的體積。

解析:(1)因為A B⊥平面B C D,C D?平面B C D,所以A B⊥C D。又因為C D⊥B D,A B∩B D=B,A B?平面A B D,B D?平面A B D,所以C D⊥平面A B D。

圖2

(2)解法1:(等積變換法)由A B⊥平面B C D,得A B⊥B D。因為A B=B D=1,所以S=×1×1=。因為M是A D的△ABD中點,所以S=S=×=?！鰾DM△ABD由(1)知,C D⊥平面A B D,所以三棱錐C-A BM的高h=C D=1,因此三棱錐AMB C的體積V=V=×C D×A-MBCC-DBMS=·1·=?！鰾DM1解法2:(體積分割法)由A B⊥平面B C D,得平面A B D⊥平面B C D,且平面A B D∩平面B C D=B D。

圖3

如圖3所示,過點M 作MN⊥B D于點N,則MN⊥平面B C D,且MN=A B=。又C D⊥B D,B D=C D=1,所以S=,所以三棱錐A-MB C△CBD的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=(A B-MN)·S=××=?！鰾CD

感悟:求三棱錐的體積,等積變換是常用的方法,轉(zhuǎn)換原則是換底使高易求或底面放在已知幾何體的某一面上;求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的方法,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解。

四、三棱錐體積計算中的“等積變換法”和“特殊化”

例4 如圖4,已知正方體A B C DA1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段A A1,B1C上的點,則三棱錐D1-E D F的體積為____。

圖4

解法1:(等積變換法)三棱錐D1-E D F的體積即為三棱錐F-DD1E的體積。因為E,F分別為A A1,B1C上的點,所以在正方體A B C DA1B1C1D1中,△E DD1的面積為定值,F到平面A ADD的距離為定11值1,所以V=××1=。F-DD1E

解法2:(特殊化)E點移到A點,F點移到C點,則V=V=××1×1D1-EDFD1-ADC×1=。

感悟:把握正方體的特征,合理選擇底面使高易求,解法1中注意到△E DD1的面積為定值,F到面E DD1的距離為1,從而使問題簡單化;解法2中利用點的特殊性對點進行移動,轉(zhuǎn)化為對特殊四面體的體積求解,凸顯等價轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。

五、正四面體體積計算中的“公式法”和“割補法”

例5 底面邊長為2的正三棱錐P-A B C,其表面展開圖是△P1P2P3,如圖5,求△P1P2P3的各邊長及此三棱錐的體積V。

圖5

解析:在△P1P2P3中,P1A=P3A,P2C=P3C,所以A C是中位線,故P1P2=2A C=4。同理,P2P3=4,P3P1=4。所以△P1P2P3是等邊三角形,各邊長均為4,則三棱錐P-A B C是邊長為2的正四面體。

解法1:(公式法)如圖6,設(shè)頂點P在底面A B C內(nèi)的投影為O,連接B O,并延長交A C于點D,所以D為A C的中點,O為△A B C的重心,P O⊥底面A B C,所以B O=B D=,P O=,V=··2·2··=。解法2:如圖7,把正四面體P-A B C補形為正方體A D B EG PHC。設(shè)正方體的棱長為a,則有a2+a2=22,解得a=,所以V=()3-4···)2=。

圖6

圖7

感悟:在棱長為1的正方體中割出一個內(nèi)接正四面體后,還“余下”4個正三棱錐。每個正三棱錐的體積均為,故內(nèi)接正四面體的體積為。

六、三棱錐體積計算中的“補形法”

圖8

例6 在四面體A B C D中,設(shè)A B=1,C D=3,直線A B與C D的距離為2,夾角為,則四面體的體積等于____。

解法1:如圖8,將四面體A B C D補成四棱錐A-B D C E,且B E∥C D,B E=C D,則∠A B E=或2,B E=,C D∥面A B E,所以C D與A B的距離,即為C D到平面A B E的距離,即C到平面A B E的距離,也就是三棱錐C-A B E的高h=2,所以VA-BCD=VA-BEC=VC-ABE=S=×2××A B×B E×△ABEs i n=。

解法2:如圖9,把四面體A B C D補成三棱柱A B E-F C D,則面A B E∥面C D F,A B∥C F,且C F=1,則A B與C D的距離就是平面A B E與平面F C D的距離,即三棱柱的高h=2,且∠D C F=或。所以V=S·h=×柱△FCDC D×C F×s i n×2=,故四面體的體積V=V=。A-BCD柱

圖9

圖10

解法3:如圖1 0,把四面體A B C D補成平行六面體,則四面體的體積是平行六面體體積的,V平行六面體=·h=×1×3×s i n×2=,故四面體的體積為。

感悟:三棱錐補成四棱錐、三棱柱或正方體可以簡化求體積問題,本題將兩異面的直線段構(gòu)成的四面體用三種不同的補形探究出其結(jié)論:在四面體A B C D中,設(shè)A B=a,C D=b,直線A B與C D的距離為h,夾角為θ,則四面體的體積V=a b hs i nθ。

(責任編輯 王福華)