江蘇省泗洪中學 孫于閔

焦點三角形中有t結(jié)論的研究及應用

江蘇省泗洪中學 孫于閔

一、焦點三角形中的有關結(jié)論的探究

1.焦點三角形的面積公式。設P是橢圓上異于長軸端點的任一點,F1,F2為其焦點,記∠F1P F2=θ,則 S△PF1F2=c|yP|=b2t a n。當P點位于短軸頂點處時,θ最大,此時S△PF1F2也最大,為b c。設P是雙曲線上異于長軸端點的任一點,F1,F2為其焦點,記∠F1P F2=θ,則S△PF1F2=c|yP|=。

3.通徑。過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑,對于橢圓或雙曲線來說,其長度都為2p-,利用方程可探究出其結(jié)果。

二、焦點三角形中有關結(jié)論的應用

反思:共焦點的橢圓和雙曲線的交點構(gòu)成的焦點三角形的問題,如何溝通兩個離心率倒數(shù)之和的關系,解法1采用定義、余弦定理和題設條件,這是面積公式推導中的通法;解法2利用兩個焦點三角形面積公式,使問題簡單化。在焦點三角形中,利用正弦定理、余弦定理及橢圓或雙曲線的第一定義進行解題,行之有效。

解法1:在△F1P F2中,令∠F1F2P=α,∠P F1F2=β,且α+β=6 0°,由正弦定理得=|=。

反思:解法1借助正弦定理及三角函數(shù)的有界性來構(gòu)建關于a,c的不等式。解法2借助余弦定理及均值不等式來解決。它們有一個共同特點就是利用橢圓的第一定義充分挖掘焦點三角形的潛在條件。

(責任編輯 王福華)