河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李天佑

剖析立體幾何方面的考查動(dòng)向及易錯(cuò)點(diǎn)

河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李天佑

一、高考預(yù)測(cè)

在高考試題中,立體幾何的試題一般是兩小一大,大約2 2分。立體幾何的熱點(diǎn)是三視圖,近兩年課改地區(qū)的高考試題中,都出現(xiàn)三視圖的試題,應(yīng)引起重視。立體幾何考查的重點(diǎn)仍然是空間的平行關(guān)系、垂直關(guān)系、三視圖、空間角、距離的計(jì)算以及簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積,題型涵蓋選擇、填空和解答題,證明空間線面、線線、面面平行與垂直,是必考題型,解題時(shí)要由已知想性質(zhì),由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路。角和距離問(wèn)題,可以用空間向量來(lái)解決,應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題,根據(jù)基本概念和公式來(lái)計(jì)算,要重視方程思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用。平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題,要對(duì)照翻折(或展開(kāi))前后兩個(gè)圖形,分清哪些元素的位置(或數(shù)量)關(guān)系改變了,哪些沒(méi)有改變。隨著空間向量的引入,開(kāi)辟了解證立體幾何問(wèn)題的新途徑,進(jìn)而大大降低了立體幾何解答題的證明、作圖與運(yùn)算的難度?？梢哉f(shuō),這使多少年來(lái)高中生感到立體幾何難學(xué)或害怕立體幾何的局面得到了很大的改變。

二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.異面直線。

(1)異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面。

(2)異面直線所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面直線平行的直線所成的銳角(或直角)。一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角,注意角的范圍。

(3)異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交。

(4)異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度。求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是找到它們的公垂線。

(5)異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定法。

2.直線與平面。

(1)求斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影,斜線與平面所成的角,是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。

(2)在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用。

(3)在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用,同時(shí)還要注意三垂線定理及其逆定理的運(yùn)用。

(4)求直線與平面的距離一般是利用直線上某一點(diǎn)到平面的距離來(lái)求。如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離(大于0)相等,則經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行。要注意“同一側(cè)”、“距離相等”。

3.平面與平面。

(1)兩個(gè)平面的位置關(guān)系的判定關(guān)鍵看有沒(méi)有公共點(diǎn)。

(2)面面平行也是推導(dǎo)線面平行的重要手段。還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系,如:如果兩個(gè)平面都垂直于同一條直線,則這兩個(gè)平面平行;如果兩條直線都垂直于一個(gè)平面,則這兩條直線平行等。在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用。

(3)對(duì)于命題“三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線,則這三條交線互相平行或者相交于同一點(diǎn)”要會(huì)證明。

(4)在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用。

(5)注意二面角的范圍是[0,π],找二面角的平面角時(shí)要注意與棱垂直的直線,這往往是找二面角的平面角的關(guān)鍵所在。求二面角的大小還可利用公式c o sθ=,用的時(shí)候要進(jìn)行交代。在二面角棱沒(méi)有給出的情況下求二面角大小,方法一是補(bǔ)充棱;方法二是利用“如果α∩β=l,且α⊥γ,β⊥γ,則l⊥γ”;方法三是利用公式c o sθ=等,在解三角形求二面角時(shí)注意垂直(直角)、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換。

4.空間角與距離。

(1)求空間角的大小時(shí),一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來(lái)求,具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一個(gè)內(nèi)角。

(2)求二面角大小時(shí),關(guān)鍵是找二面角的平面角,可充分利用定義法或垂面法等。

(3)空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離。求點(diǎn)到平面距離時(shí),可先找出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影,可用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì),也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之。另外要注意垂直的作用。球心到截面圓心的距離由勾股定理得d=。

(4)球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長(zhǎng),求解關(guān)鍵在于畫(huà)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓及小圓。

(5)要注意距離和角在空間求值中的相互作用,以及在求面積和體積中的作用。

5.三視圖。

(1)三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律:主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正,主視圖與左視圖高平齊,俯視圖與左視圖寬相等,概括為“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”。看不見(jiàn)的畫(huà)虛線。

(2)主視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、左、右;俯視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的后、前、左、右;左視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、后、前。

三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛

例1 如果異面直線a、b所成的角為5 0°,P為空間一定點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P與a、b所成的角都是3 0°的直線有( )。

A.一條 B.二條 C.三條 D.四條

圖1

解析:如圖1,過(guò)點(diǎn)P分別作a、b的平行線a′、b′,則a′、b′所成的角也為5 0°,即過(guò)點(diǎn)P與a′、b′成相等的角的直線必與異面直線a、b成相等的角,由于過(guò)點(diǎn)P的直線l與a′、b′成相等的角,故這樣的直線l在a′、b′確定的平面的射影在其角平分線上,則此時(shí)必有c o s∠A P B=c o s∠A P O×c o s∠O P B,當(dāng)c o s∠A P O=時(shí),有 c o s∠A P O=∈(0,1),此時(shí)這樣的直線存在且有兩條;當(dāng) ∠ B P C=1 3 0°時(shí),有 c o s∠A P O=＞1,這樣的直線不存在,故選B。

【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】判斷過(guò)空間一點(diǎn)與兩異面直線成相等角的直線的條數(shù),解決異面直線所成角的問(wèn)題關(guān)鍵是定義,基本思想是平移對(duì)本題來(lái)說(shuō),將兩異面直線平移到空間一點(diǎn)時(shí),一方面,考慮在平面內(nèi)和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿(mǎn)足題意;另一方面,要思考在空間中與一平面內(nèi)兩相交直線成等角的直線的條數(shù),此時(shí)關(guān)鍵是搞清平面外的直線與平面內(nèi)的直線所成的角θ與平面內(nèi)的直線與平面外的直線在平面內(nèi)的射影所成的角α的關(guān)系,由公式c o sθ=c o sαc o sβ(其中β是直線與平面所成的角)易知c o sθ＜c o sα?θ＞α,c o sθ＜c o sβ?θ＞β(最小角定理)。一般地,若異面直線a、b所成的角為θ,l與a、b所成的角均為φ,據(jù)上式有如下結(jié)論:當(dāng)0＜φ＜時(shí),這樣的直線不存在;當(dāng)φ=時(shí),這樣的直線只有一條;當(dāng)＜φ＜時(shí),這樣的直線有兩條;當(dāng)φ=時(shí)這樣的直線有三條;當(dāng)＜φ＜時(shí),這樣的直線有四條。

例2 已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示,則這個(gè)幾何體的體積是____。

解析:如圖3所示,作出幾何體S-A B C D且知平面S C D⊥平面A B C D,四邊形A B C D為正方形,作S E⊥C D于點(diǎn)E,得S E⊥面A B C D且S E=2 0。所以VS-ABCD=S·S E=,故這?ABCD個(gè)幾何體的體積是。

圖2

圖3

【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】注意避免對(duì)三視圖識(shí)圖不準(zhǔn),在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要從三個(gè)視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見(jiàn)輪廓線為虛線。在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。

例3 已知m、n是不同的直線,α、β、γ是不同的平面。給出下列命題:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α,或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,則m∥n;

③若m不垂直于α,則m不可能垂直于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線;

④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α,且n∥β。

其中正確命題的序號(hào)是____。

圖4

解析:①錯(cuò)誤。如圖4,在正方體中,面 A B B′A′⊥ 面A DD′A′,交線為 A A′。直線A C⊥A A′,但A C不垂直面A B B′A′,同時(shí)A C也不垂直面A DD′A′。

②正確。實(shí)質(zhì)上是兩平面平行的性質(zhì)定理。

③錯(cuò)誤。在上面的正方體中,A′C不垂直于平面A′B′C′D′,但與B′D′垂直。這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內(nèi)與直線B′D′平行的無(wú)數(shù)條直線。

④正確。利用線面平行的判定定理即可。

故填:②④。

【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】有些同學(xué)對(duì)線面關(guān)系定理理解不準(zhǔn),定理、性質(zhì)、記憶不準(zhǔn)確,錯(cuò)用、亂用。防范失誤的措施:一是對(duì)錯(cuò)誤的要逐個(gè)尋找反例給出否定,對(duì)正確的要逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明;二是結(jié)合模型作出判斷,但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確,考慮周全。判定直線與平面平行的主要依據(jù)是判定定理,它是通過(guò)線線平行來(lái)判定線面平行,這里所指的直線是指平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線,在應(yīng)用該定理證線面平行時(shí),這三個(gè)條件缺一不可。

圖5

例4 如圖5,已知正三棱錐P-A B C的體積為7 2 3,側(cè)面與底面所成的二面角的大小為6 0°。

(1)證明P A⊥B C;

(2)求底面中心O到側(cè)面的距離。

解析:(1)如圖6,取B C邊的中點(diǎn)D,連接A D、P D,由三棱錐P-A B C為正三棱錐,可得A D⊥B C,P D⊥B C,故B C⊥平面A P D,所以P A⊥B C。

圖6

(2)由(1)可知平面P B C⊥平面A P D,則∠P DA是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。過(guò)點(diǎn)O作O E⊥P D,E為垂足,則O E就是點(diǎn)O到側(cè)面的距離。設(shè)O E為h,由題意可知點(diǎn)O在A D上,所以∠P D O=6 0°,O P=2h。因?yàn)镺 D=,所以B C=4h,所以S△ABC=(4h)2=4 3h2。因?yàn)? 2 3=·4 3h2·2h=h2,所以h=3,即底面中心O到側(cè)面的距離為3。

【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】求點(diǎn)到平面的距離的方法有直接法、等體積法、換點(diǎn)法。求點(diǎn)到平面的距離一般由該點(diǎn)向平面引垂線,確定垂足,轉(zhuǎn)化為解三角形求邊長(zhǎng),或者利用空間向量表示點(diǎn)到平面的垂線段,設(shè)法求出該向量,轉(zhuǎn)化為計(jì)算向量的模,也可借助體積公式利用等積求高。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)