龔 輝

(江蘇省太倉市沙溪第一中學(xué) 215421)

研究解題教學(xué)的文章較多，尤其是研究解題方法、解題技巧類的更多．事實(shí)上，目前較多存在解題教學(xué)功能異化的現(xiàn)象，比如過分追求應(yīng)試的技巧、過分追求試題的偏、難、怪，大量存在通過刷題來提高成績的現(xiàn)象，這些過分功利化的做法是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)科飽受詬病的主要原因．

葉圣陶先生的教育思想之一是“教是為了不教”．試想，如果我們單純地教學(xué)生知識，學(xué)生是很難達(dá)到不教而會的水平．因此，教什么就顯得特別重要．我們要教會學(xué)生研究數(shù)學(xué)的方法、鉆研數(shù)學(xué)的精神，從而慢慢地達(dá)到不教而教的目標(biāo)．

“發(fā)展學(xué)生思維，教會學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生探究能力”是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的主要任務(wù)．我們要正確理解數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教育功能，從培養(yǎng)學(xué)生的核心能力出發(fā)，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、懂得研究數(shù)學(xué)的方法，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)．

筆者就某次公開教學(xué)“探索長方體和圓柱表面路徑最短問題”為例，探討促進(jìn)學(xué)生學(xué)會研究、學(xué)會學(xué)習(xí)的方法，以期拋磚引玉，與同行交流．

1 學(xué)會轉(zhuǎn)化——知識從哪里來

布魯姆在《教學(xué)目標(biāo)分類學(xué)》明確指出，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會利用轉(zhuǎn)化思想明確“知識從哪里來”是非常重要的．

在本課例的教學(xué)中，涉及把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后對轉(zhuǎn)化后的平面圖形問題用平面幾何知識分析求解的過程．這是一種降低所研究問題的維度從而解決問題的方法，例如多元方程組利用消元的方法轉(zhuǎn)化為一元方程；在研究立體圖形時(shí)，將高維的圖形轉(zhuǎn)化為低維的圖形等．

筆者在教學(xué)的第一個(gè)活動環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)了如下的問題串：

(1)如圖1，棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)C1，求爬行的最短距離．

圖1

(2)如圖2，圓柱形木塊的高為8，底面半徑為2，下底面A點(diǎn)處有一螞蟻，想吃到上底面相對的C點(diǎn)處的食物，需沿圓柱的表面爬行的最短路程是多少？(π取近似值3)．

圖2

解決這兩個(gè)問題，首先要明確最短路徑問題的解決策略是“兩點(diǎn)之間，線段最短”；然后引導(dǎo)學(xué)生思考路徑的大致形態(tài)，明確不可能是線段，而應(yīng)該分別是折線和曲線；最后再研究如何將不在同一平面內(nèi)的折線和曲線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi)．在問題設(shè)計(jì)的梯度方面，從正方體問題變式為圓柱問題，由直到曲，不斷深入，體現(xiàn)了變式教學(xué)在數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究中的重要作用．

在問題1的處理上，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決路徑最短問題的前提條件是什么？學(xué)生明白“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提之后，再進(jìn)行大膽猜想：如何將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，使得點(diǎn)A和點(diǎn)C1在同一個(gè)平面內(nèi)？在師生互動中歸納解決的方法：將正方體的表面展開．隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生作深入的思考：是否需要完全展開，怎么展開？最后，教師利用Geogebra軟件進(jìn)行動畫演示，直觀地展現(xiàn)出立體圖形平面化的過程．

在問題2的處理環(huán)節(jié)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用降維轉(zhuǎn)化的方法，學(xué)生明白“我要做什么”、“我已經(jīng)會什么”、“我該怎么做”，從而主動探究解決圓柱問題的方法：將圓柱的側(cè)面展開，使點(diǎn)A、C在同一個(gè)平面內(nèi)，從而可以運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題．

在教學(xué)實(shí)施過程中，筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在掌握了正方體的轉(zhuǎn)化策略之后，只需在教師的略微引導(dǎo)下，便可順暢地解決圓柱的表面路徑最短問題．可見，教會學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的方法是非常重要的，解題教學(xué)的境界和目的，應(yīng)該從“做題目”向“做實(shí)驗(yàn)”轉(zhuǎn)變，并最終向“做研究”深入．

2 學(xué)會生長——知識往哪里去

G·波利亞(George Polya)在《怎樣解題》一文中提出了著名的解題表理論，其中，在“回顧反思”環(huán)節(jié)，波利亞指出，解題后要思考你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？

然而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以追求數(shù)學(xué)題目的答案為終極目標(biāo)的現(xiàn)象較為普遍，解題教學(xué)中就題論題者較多．如何充分利用數(shù)學(xué)題目這一思維的載體，充分發(fā)揮它的教育價(jià)值？若能從研究的角度看解題，真可謂研究無處不在，只是我們平時(shí)淺嘗輒止罷了．因此，解題后的再思考，是知識再生長的過程，再生長的不僅是數(shù)量，還有深度，更是研究數(shù)學(xué)的一種態(tài)度．

在第二個(gè)活動環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)問題：

(1)如圖3，長方體的底面為邊長為1的正方形，高為2，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)C1，求最短距離．

圖3

圖4

(2)變式：如圖4，將上題中長方體的底面邊長改為2的正方形，高改為1，求點(diǎn)A到點(diǎn)C1的最短距離.

在活動一的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)能夠運(yùn)用翻轉(zhuǎn)一個(gè)面將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，從而解決正方體中相關(guān)問題的方法．設(shè)計(jì)這兩個(gè)問題的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生不要滿足于活動一所獲得的方法，更要善于對結(jié)論進(jìn)行推廣，并在變式中發(fā)現(xiàn)的問題：不同的學(xué)生用不同的表面展開方式，計(jì)算得到的結(jié)果是不一致的．這種認(rèn)知上的矛盾沖突，非常容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探索欲望，達(dá)到了“學(xué)起于思，思源于疑”的目的．

通過這兩個(gè)問題的研究，結(jié)合Geogebra軟件的動畫演示，學(xué)生明白了將長方體的兩個(gè)表面展開在同一個(gè)平面內(nèi)共有12種方法，其中能夠使點(diǎn)A和點(diǎn)C1在同一平面內(nèi)的有6種方法，6種方法中又有3種情況的本質(zhì)是相同的．

知識再生長的目標(biāo)，是能夠從特殊情況中歸納出一般規(guī)律，并能夠用數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯方法去證明．筆者在教學(xué)中追問：對于任意邊長的長方體，我們能否根據(jù)其邊長直接明確翻轉(zhuǎn)的方式，從而不必討論而求出最短的路徑？

圖5

數(shù)學(xué)的魅力在于數(shù)學(xué)答案的封閉性和數(shù)學(xué)研究過程的開放性．這種開放是需要教師在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的嘗試與思考，將拓展與變式常態(tài)化，不要僅僅滿足于數(shù)學(xué)試題的解答，要提高到數(shù)學(xué)問題的解決，明白學(xué)得的數(shù)學(xué)知識該往哪里去，使學(xué)生養(yǎng)成一種自覺的思維習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)．

3 學(xué)會創(chuàng)新——知識的再認(rèn)識

著名國學(xué)大師王國維在《人間詞話》中寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之.”數(shù)學(xué)解題教學(xué)最終應(yīng)該達(dá)到跳出題目看題目的境界，要讓學(xué)生從解惑中生疑，從而引導(dǎo)學(xué)生不斷地深入研究，不斷地提出新的問題．“出乎其外”，是對學(xué)生發(fā)散性思維和批判性思維的培養(yǎng)．

在第三個(gè)活動環(huán)節(jié)中，筆者出示了下面的問題：

如圖6，圓柱形木塊的高為7，底面半徑為8，下底面A點(diǎn)處有一螞蟻，想吃到上底面相對的C點(diǎn)處的食物，需沿圓柱表面爬行的最短路程是多少？(π取近似值3)．

圖6

本小題是活動一中圓柱表面最短路徑問題的變式，學(xué)生按側(cè)面展開的方式可以得到最短路徑長為25．然后，教師提問：有沒有更短的路徑呢？顯然，學(xué)生陷入了深深的思維沖突之中：剛才不是已經(jīng)用側(cè)面展開的方法解決了最短問題，怎么還會更短呢？

圖7

本題還可以引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生在課外再作深入的研究：如圖7，若螞蟻一部分走側(cè)面曲線AD，一部分走底面線段CD，路程會不會比前面兩種都更短呢？

本節(jié)課的教學(xué)目的不只在于最終得到了什么公式或是結(jié)論，關(guān)鍵是從公式和結(jié)論的探究活動中學(xué)會了研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，因此，過程更勝于結(jié)果．

阿弗烈·諾夫·懷德海(Alfred North Whitehead)說：“把學(xué)校學(xué)到的知識忘掉，剩下的那一部分才是教育”．就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，若干年后忘掉的是答案、公式和結(jié)論，而忘不掉的，則是解題教學(xué)過程中蘊(yùn)含的“為學(xué)生發(fā)展”而存在的數(shù)學(xué)研究方法和數(shù)學(xué)理性精神．因此，教師應(yīng)力求讓研究成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài)，使數(shù)學(xué)研究逐步成為學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺行為乃至學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生的科學(xué)精神和研究能力得到長足的進(jìn)步．