伍鴻熙 趙 潔 余 蕾 譯

(美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校)(北京景山學(xué)校朝陽(yáng)學(xué)校 100012)

“為了打破教育研究的壁壘，我們應(yīng)加強(qiáng)中小學(xué)教育工作者與高校教師隊(duì)伍之間的有效聯(lián)系.這使得教育工作者能夠更好地了解高校學(xué)科內(nèi)和學(xué)科之間以及其他專業(yè)領(lǐng)域的最新發(fā)展.同時(shí)，也促進(jìn)以學(xué)科為背景的、對(duì)教育感興趣的學(xué)者們?cè)诮逃芯恐懈玫剡M(jìn)行協(xié)作.”

——Lagemann,2000,p241

首先，我想發(fā)布一個(gè)免責(zé)聲明.我認(rèn)為我應(yīng)該只討論我所了解的第一手資料.所以我的評(píng)論僅限于美國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，而不是立足于更大的全球視野.但這樣的限定并非是必不可少的，因?yàn)閾?jù)我的一個(gè)朋友觀察發(fā)現(xiàn)，在美國(guó)發(fā)生的事情,一些年以后也可能發(fā)生在其他地方.例如，現(xiàn)在法國(guó)有一個(gè)數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)就類似于九十年代美國(guó)的數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)(《美國(guó)教育周刊》，2005).畢竟，我們是生活在同一個(gè)地球村里的.

讓我從一個(gè)寓言故事開(kāi)始說(shuō)起吧.有兩個(gè)村莊被一座大山隔開(kāi)了，為了便于溝通，他們決定挖一條隧道.一開(kāi)始，兩個(gè)村莊都對(duì)自己所挖的那一半隧道方向的準(zhǔn)確性堅(jiān)信不疑.但是，當(dāng)雙方都完成他們各自的工作后，他們發(fā)現(xiàn)兩半隧道在山的中間無(wú)法對(duì)接.在已經(jīng)建好的兩段隧道之間建立一個(gè)連接的隧道，雖然費(fèi)不了很大的勁，但兩個(gè)村莊為了捍衛(wèi)各自的尊嚴(yán)，寧愿無(wú)休止地爭(zhēng)吵著.

當(dāng)我們把這兩個(gè)村子換成注重教育學(xué)理論的教育界和注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)界時(shí)，這個(gè)寓言故事就與現(xiàn)實(shí)離奇地相似了[注]在關(guān)于社會(huì)現(xiàn)象(特別是教育)的文章中，人們認(rèn)為，所有斷言都必須被解釋為統(tǒng)計(jì)意義上的結(jié)論，因此少數(shù)例外是不可避免的.事實(shí)上，這段論述也有典型的例外情況(盡管是極少數(shù)).提醒讀者注意，這也適用于文章的余下部分..數(shù)學(xué)教育依賴于數(shù)學(xué)和教育學(xué)兩大支柱，但數(shù)學(xué)教育中卻不斷發(fā)生一系列兩個(gè)學(xué)界之間的沖突.這兩個(gè)學(xué)界之間不團(tuán)結(jié)的現(xiàn)象正是我們寫這篇文章的原因.事實(shí)上，如果有人要寫“化學(xué)家如何為化學(xué)工程做貢獻(xiàn)”，那這個(gè)人會(huì)被認(rèn)為是一個(gè)在不能稱其為問(wèn)題的問(wèn)題上浪費(fèi)筆墨的怪人.化學(xué)工程是一門定義十分明確的學(xué)科，化學(xué)工程師能夠很好地朝著他們所堅(jiān)信的方向去努力.他們了解他們工作所需要的化學(xué)知識(shí)，并且如果有任何疑問(wèn)，他們會(huì)毫不猶豫地咨詢化學(xué)家，以確保自己具備正確無(wú)誤的化學(xué)知識(shí).基于此，在國(guó)際會(huì)議的背景下，我們討論“數(shù)學(xué)家如何為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做貢獻(xiàn)”，說(shuō)明在數(shù)學(xué)教育工作者與數(shù)學(xué)家之間的交流中存在著嚴(yán)重問(wèn)題.

這篇文章的標(biāo)題隱含地泄露了數(shù)學(xué)教育在學(xué)術(shù)界的權(quán)力結(jié)構(gòu)：教育界掌控著權(quán)力.由于教育研究正在繁榮發(fā)展，研究經(jīng)費(fèi)充足，所以教育家們力圖在高校的環(huán)境下維護(hù)其思想的獨(dú)立性也不足為奇.我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到諸如此類的抱怨——數(shù)學(xué)專業(yè)水平不合格的老師或在數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)上存在缺陷的課程削弱了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.我們期待人們積極鼓勵(lì)數(shù)學(xué)教育工作者與數(shù)學(xué)家合作，但迄今為止還無(wú)人致力于此.其他與數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的令人不安的爭(zhēng)議問(wèn)題，如在標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤題目，同樣沒(méi)有激起數(shù)學(xué)教育界的真正關(guān)心.對(duì)于一個(gè)局外人而言，數(shù)學(xué)教育工作者看似更喜歡保護(hù)“教育”的領(lǐng)土，而不是與做研究的數(shù)學(xué)家一起合作來(lái)加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育.與之相比而言，如果化學(xué)工程系持續(xù)用有專業(yè)漏洞的化學(xué)知識(shí)來(lái)培養(yǎng)工程師，抑或該系的實(shí)驗(yàn)室頻繁發(fā)生事故，那么化學(xué)工程學(xué)院會(huì)不會(huì)立即采取行動(dòng)呢？這個(gè)問(wèn)題引人深思：或許我們并不真正知道什么是數(shù)學(xué)教育.所以是時(shí)候輪到我們重新審視了.

“工程”這個(gè)詞的一種含義是將科學(xué)理論量身定做從而滿足人類的需要的藝術(shù)或科學(xué).因此化學(xué)工程是一種科學(xué)，它將化學(xué)理論應(yīng)用于解決人類的實(shí)際問(wèn)題；電氣工程是一種科學(xué)，它將電氣化理論應(yīng)用于設(shè)計(jì)我們生活中必要的、有意思的小器械.我要提出數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)工程的觀點(diǎn)，意思是它將基本的數(shù)學(xué)原理量身打造，進(jìn)而滿足教師和學(xué)生的需求[注]本文完成后，Skip Fennell 讓我注意到一篇文章“Access and Opportunities to Learn Are Not Accidents: Engineering Mathematical Progress in Your School”，作者是William F. Tate，文章可參見(jiàn)http://www.serve.org/ downloads/publications/AccessAndOpportunities.pdf.Tate關(guān)心教育公平性，他只是用“工程”一詞作為比喻來(lái)強(qiáng)調(diào)設(shè)計(jì)不同教育政策和教學(xué)活動(dòng)來(lái)促進(jìn)學(xué)習(xí)，但他沒(méi)有討論數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)教育中的作用.此外，這篇文章還解釋了為什么數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)工程..在討論數(shù)學(xué)家如何為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做貢獻(xiàn)之前，我會(huì)努力讓你們相信，這是一個(gè)理解數(shù)學(xué)教育的好模型.一個(gè)合乎情理的結(jié)論是，只有數(shù)學(xué)家和教育家進(jìn)行平等合作，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀才可能有所好轉(zhuǎn).

有關(guān)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，貝斯(2005)給出一個(gè)類似的建議，即數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)被看作是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支[注]Hy Bass 于1996年12月在數(shù)學(xué)研究所的演講中表達(dá)了這個(gè)觀點(diǎn)，但文獻(xiàn)[2]似乎更方便查閱.在完成本文后，Zalman Usiskin告訴我，在2000年日本ICMI-9大會(huì)后的關(guān)于教師的數(shù)學(xué)教育的美-日研討小組會(huì)議報(bào)告中，他已經(jīng)寫過(guò)“‘教師的數(shù)學(xué)知識(shí)’是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)領(lǐng)域，在課程論中它值得擁有自己的地位.”沿著這樣的思路，我們指出，F(xiàn)errini-Mundy 和Findell的文章[5]做出了同樣的斷言，同時(shí)，與Bass一樣，它也沒(méi)有提到數(shù)學(xué)教育的工程性.這些教育者也沒(méi)有提到數(shù)學(xué)家和教育者需要在數(shù)學(xué)教育上平等地合作..但是我想強(qiáng)調(diào)的是“數(shù)學(xué)工程”與“應(yīng)用數(shù)學(xué)”之間的區(qū)別，即中小學(xué)數(shù)學(xué)教育不只是要求將數(shù)學(xué)直接應(yīng)用于中小學(xué)，而是要將科學(xué)原理按照人類的需要量身定做.因此，當(dāng)赫茲證明發(fā)射和接收電磁波的可能性時(shí)，他通過(guò)對(duì)麥克斯韋理論進(jìn)行科學(xué)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)科學(xué)上的突破.但是當(dāng)馬可尼利用赫茲的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造出收音機(jī)時(shí)，他又在電子工程方面做出了重大的貢獻(xiàn).這是因?yàn)樗隈{馭一種抽象的現(xiàn)象方面，又額外邁出了一步來(lái)滿足人類的需要[注]這項(xiàng)發(fā)明事實(shí)上屬于特斯拉.但是與生活中許多事情一樣，普遍的看法會(huì)取代真相.感謝S. Simic給我指出這一點(diǎn)..從這種意義上來(lái)講，將作為數(shù)學(xué)工程的數(shù)學(xué)教育從作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教育中分離出來(lái)，是將數(shù)學(xué)量身定制的關(guān)鍵步驟，而不是簡(jiǎn)單地直接將它應(yīng)用于課堂上的特殊需求.對(duì)于量身定制這個(gè)觀點(diǎn)，最好的例子就是在小學(xué)高段和中學(xué)的分?jǐn)?shù)教學(xué).接下來(lái)，我將進(jìn)行說(shuō)明.

迄今為止，在這個(gè)緊要關(guān)頭，人們?yōu)榱耸箤W(xué)生高效使用分?jǐn)?shù)的能力最大化，已經(jīng)在如何幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念方面做了大量數(shù)學(xué)教育研究[注]在此我們不提供明確的參考文獻(xiàn).這是因?yàn)?，我不希望在我的評(píng)論中針對(duì)某個(gè)具體的人或作品.我們只對(duì)一些一般性的領(lǐng)域給出一般性的評(píng)論..目前，大多數(shù)學(xué)生從他們的課堂教學(xué)中所了解的分?jǐn)?shù)，是一幅分?jǐn)?shù)各種不同“性質(zhì)”看似隨意地潛藏或涌現(xiàn)的支離破碎的畫面.這類研究中的絕大部分，是通過(guò)強(qiáng)調(diào)這些“性質(zhì)”之間的認(rèn)知聯(lián)系來(lái)處理這幅支離破碎的畫面.通過(guò)利用問(wèn)題，處理活動(dòng)和上下文語(yǔ)境來(lái)幫助孩子建立他們對(duì)分?jǐn)?shù)不同“性質(zhì)”的直觀感受.

這是一個(gè)良好的開(kāi)端.但是如果我們超越7年級(jí)來(lái)徹底考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)需求，那么我們可能會(huì)得出這樣一個(gè)結(jié)論：僅僅建立知識(shí)聯(lián)系是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.學(xué)生需要的是一個(gè)不模糊的分?jǐn)?shù)定義，這個(gè)定義能告訴他們什么才是真正的分?jǐn)?shù).學(xué)生也需要接觸定義與其他“性質(zhì)”之間直接的、數(shù)學(xué)意義上的聯(lián)系.他們要知道數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的，是可以理解的.也就是說(shuō)，如果學(xué)生能夠把握分?jǐn)?shù)的一種清晰的含義并且能自己進(jìn)行推理，那么他們就能學(xué)習(xí)關(guān)于分?jǐn)?shù)的全部知識(shí)，而不需要為任何一個(gè)“性質(zhì)”感到驚愕.

站在一個(gè)數(shù)學(xué)家的視角，對(duì)于一個(gè)概念不得不做出多種解釋是一種再熟悉不過(guò)的事情了.在大學(xué)課程中，人們處理有理數(shù)(包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù))時(shí)，或者抽象地把它作為特征為零的素域，或者作為整數(shù)的商域.問(wèn)題是，這兩種定義都不適合于五年級(jí)學(xué)生.數(shù)學(xué)教育研究者們也承認(rèn)這一事實(shí)，即從有理數(shù)的這樣一個(gè)精確且抽象的定義，人們可以證明有理數(shù)的所有各種各樣的“性質(zhì)”.如果我對(duì)所讀的研究文獻(xiàn)沒(méi)有理解錯(cuò)誤的話，這些研究者們已經(jīng)放棄了探尋一個(gè)適合小學(xué)生使用的分?jǐn)?shù)的精確定義.這也就是為什么他們選擇建立有理數(shù)的“性質(zhì)”之間的認(rèn)知聯(lián)系，而不是數(shù)學(xué)意義上的聯(lián)系.課堂的需求看起來(lái)與數(shù)學(xué)本質(zhì)是沖突的.基于此，我們引入了工程的概念.

事實(shí)證明，如果我們?cè)敢馔ㄟ^(guò)徹底改變視角(即不站在數(shù)學(xué)家的立場(chǎng))，不考慮商域和有序數(shù)對(duì)，尋找另一條適合于5—7年級(jí)學(xué)生理解的數(shù)學(xué)之路，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)在小學(xué)里“數(shù)學(xué)地”講授分?jǐn)?shù)是可行的.不談細(xì)節(jié)，如果根據(jù)數(shù)軸上的某個(gè)點(diǎn)來(lái)確定分?jǐn)?shù)，則至少前文中的數(shù)學(xué)窘境可以解決了.(詳見(jiàn)Jensen (2003)，或Wu(2001)等).這種講解分?jǐn)?shù)的方法特別符合小學(xué)的需求，但從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，推演出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的工作并不十分容易，它必定需要一個(gè)數(shù)學(xué)研究家的專門技能.為了提供這樣一個(gè)5—7年級(jí)可用的方法而進(jìn)行的更長(zhǎng)遠(yuǎn)的教學(xué)計(jì)劃，教師和教育者的投入也絕對(duì)是必不可少的[注]一些曾與我共事的教師正在舊金山與他們的學(xué)生一起嘗試這種方法..由此我們可看出，為了將一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容變成課堂教學(xué)可用的課程，數(shù)學(xué)家和教育家二者都是如此地不可或缺.這是為滿足特殊的人類需求而進(jìn)行的抽象理論的特殊化定制，并且這就是工程學(xué)概念的實(shí)際運(yùn)用.

通過(guò)分?jǐn)?shù)的這個(gè)例子，我們初探到數(shù)學(xué)工程的原理如何控制一門課程的設(shè)計(jì).同樣地，即使是數(shù)學(xué)教育研究也不能與數(shù)學(xué)工程原理脫離.我們發(fā)現(xiàn)，如果在一開(kāi)始講授分?jǐn)?shù)時(shí)就能意識(shí)到數(shù)學(xué)工程的概念，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)將減少很多困難.參見(jiàn)本文開(kāi)始時(shí)引用Lagemann的話和他在2000年論文中的表述.

對(duì)數(shù)學(xué)教育的任何問(wèn)題，我們都可以用一個(gè)完全類似的討論方式進(jìn)行量身打造.但是我們僅以下面的例子作為例證：

(a)對(duì)學(xué)困生的“指導(dǎo)方案”. 到目前為止，幫助這些學(xué)生的方法大多是以較慢的速度對(duì)各個(gè)課題進(jìn)行“縮水”的教育方式，過(guò)分簡(jiǎn)化知識(shí)點(diǎn)而損失了它的本質(zhì).這從理論和實(shí)踐的觀點(diǎn)上看都是欠佳的“數(shù)學(xué)工程”.針對(duì)這種問(wèn)題，我們給出一種完全不同的“數(shù)學(xué)工程”方案，參見(jiàn)Milgram-Wu，2005.

(b)中學(xué)初等代數(shù)的講授.在教學(xué)中，通常會(huì)運(yùn)用符號(hào)，使得關(guān)于“等號(hào)巧妙性”的研究文獻(xiàn)論述冗繁復(fù)雜，并且會(huì)引入變量作為初中數(shù)學(xué)的核心概念.從這兩種方式明顯可以看出，當(dāng)前我們教給學(xué)生的代數(shù)，還沒(méi)有量身改造為適合學(xué)生需求的數(shù)學(xué).關(guān)于這兩個(gè)問(wèn)題以及推薦的解決方案，詳見(jiàn)Wu，2005d的前言、第1、2部分；Wu，2016.

(c)在國(guó)家或州的層次制定數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn).這是一個(gè)所謂“實(shí)際最優(yōu)化問(wèn)題”的例子.它將數(shù)學(xué)量身打造，從而滿足不同客戶的多種多樣的、偶爾還有沖突的需求.參考Klein，2005.

數(shù)學(xué)教育作為數(shù)學(xué)工程的概念也闡明了Lee Shulman(1986)的關(guān)于“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”的概念.這就是教師為了提高教學(xué)效率所應(yīng)當(dāng)掌握必需的教學(xué)知識(shí).如何精確描述這些知識(shí)，引發(fā)了許多人的興趣.至少在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，到目前為止這個(gè)目標(biāo)已被證明是難以實(shí)現(xiàn)的(參考Hill-Rowan-Ball，2004)，但是Shulman的直覺(jué)和極具吸引力的設(shè)想使高效教學(xué)所必備的要素更加具體化.站在數(shù)學(xué)工程的視角，教師的一項(xiàng)主要職責(zé)是將他們的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生所處的每個(gè)情境的需要相匹配.這項(xiàng)特殊的“工程”知識(shí)是學(xué)科教學(xué)知識(shí)的本質(zhì).盡管這個(gè)處理學(xué)科教學(xué)知識(shí)的觀點(diǎn)對(duì)它的概念沒(méi)有添加任何新的東西，但這個(gè)觀點(diǎn)的確提供了理解這類知識(shí)的一種框架.這種框架不同于人們?cè)诮逃懻撝兴ǔＳ龅降?它至少清楚地闡述了有效教學(xué)的三個(gè)部分：扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)；清晰的情境感知(即學(xué)生的知識(shí))；在特定情境下將正確的數(shù)學(xué)知識(shí)與用途相匹配.

在“不犧牲數(shù)學(xué)的完整性”的前提下對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行改造，這樣的想法對(duì)數(shù)學(xué)工程極為重要.很顯然，在工程學(xué)中，為了滿足人類的需求而改造科學(xué)原理時(shí)，無(wú)論這種需求有多重大，我們都不能違背自然.換句話說(shuō)，人們因?yàn)樽鹬乜茖W(xué)的完整性，而不會(huì)嘗試進(jìn)行任何類似于反地心引力儀或永動(dòng)機(jī)的愚蠢設(shè)計(jì).同樣地，在數(shù)學(xué)工程中，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)尊重?cái)?shù)學(xué)的核心地位.再次以講授分?jǐn)?shù)為例.數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)知道，無(wú)論人們嘗試何種方式講授分?jǐn)?shù)，都必須尊重分?jǐn)?shù)的抽象意義本身，盡管這種講授方式從未被明確地使用過(guò).比方說(shuō)，如果教師在講授分?jǐn)?shù)時(shí)說(shuō)道，“學(xué)生必須學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的新規(guī)則，而這些新規(guī)則與學(xué)生熟知的自然數(shù)的規(guī)則是沖突的”，那么他就會(huì)知道自己正在用一種錯(cuò)誤的方式講授分?jǐn)?shù).這是因?yàn)?，無(wú)論人們花費(fèi)多少努力讓孩子直觀地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，都不能歪曲一個(gè)事實(shí)：整數(shù)環(huán)是有理數(shù)環(huán)的一個(gè)子環(huán).在講授分?jǐn)?shù)時(shí)，我們有必要把分?jǐn)?shù)的運(yùn)算看成是自然數(shù)運(yùn)算的自然延伸.但是長(zhǎng)久以來(lái)人們卻忽視了這一必要性.這導(dǎo)致太多的學(xué)生開(kāi)始有這樣的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：繼自然數(shù)之后，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算是一個(gè)全新的開(kāi)始.不幸的是，在課程設(shè)計(jì)中，這樣糟糕的數(shù)學(xué)工程是一種普遍的現(xiàn)象.

將這種數(shù)學(xué)工程的錯(cuò)誤最小化的唯一辦法就是讓數(shù)學(xué)家和教育家緊密地監(jiān)管每個(gè)課程設(shè)計(jì).事實(shí)上，如果我們認(rèn)可將數(shù)學(xué)教育作為數(shù)學(xué)工程的觀念，那么這兩個(gè)學(xué)界必須在數(shù)學(xué)教育的所有階段都共同合作：數(shù)學(xué)中的任何教學(xué)計(jì)劃必須從一個(gè)數(shù)學(xué)意義上正確的概念出發(fā)，并且在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行量身打造之前必須先清楚地理解教育目標(biāo).在這個(gè)過(guò)程中，幾乎沒(méi)有純數(shù)學(xué)或者純教育的東西；幾乎每一步都是二者的結(jié)合.數(shù)學(xué)與教育在數(shù)學(xué)工程里是相互交織的.如果數(shù)學(xué)家們被看成是局外人，那么他們很難為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做出貢獻(xiàn)[注]這里關(guān)于數(shù)學(xué)家只談了一部分.更多關(guān)于數(shù)學(xué)家的內(nèi)容，參見(jiàn)本文結(jié)尾部分..數(shù)學(xué)家們必須在規(guī)劃、實(shí)踐和評(píng)價(jià)每個(gè)教學(xué)計(jì)劃時(shí)都能與教育工作者通力合作并且處于同等的地位.但是這與目前的現(xiàn)實(shí)大相徑庭.

到現(xiàn)在至少有三十年了，美國(guó)數(shù)學(xué)界與中小學(xué)教育界都不相往來(lái).(參考Washington Post，1999).我們可以逐條列舉由這種溝通的隔閡所帶給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的一些危害.但是在這之前，讓我先指出三個(gè)一般性的后果.首先，教育界獨(dú)立于數(shù)學(xué)界，導(dǎo)致關(guān)于教育的論述過(guò)分聚焦于數(shù)學(xué)教育中的純教育方面，而似乎對(duì)數(shù)學(xué)避而不談.結(jié)果就是在教育界中出現(xiàn)了一種微妙的病癥，即“避開(kāi)數(shù)學(xué)綜合癥”，并且這種病癥將在下文討論溝通隔閡帶來(lái)的特定危害時(shí)反復(fù)出現(xiàn).由于數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)工程中處于核心地位，所以毫無(wú)爭(zhēng)議地說(shuō)，在數(shù)學(xué)教育界的所有論述中，我們應(yīng)該盡快根治這種“避開(kāi)數(shù)學(xué)綜合癥”.

一些數(shù)學(xué)家在他們的職業(yè)生涯中，不僅講授數(shù)學(xué)而且還設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程，卻似乎沒(méi)有引起許多教育者的關(guān)注.在數(shù)學(xué)工程中，有一個(gè)巨大的知識(shí)庫(kù)和經(jīng)驗(yàn)庫(kù)可供隨時(shí)使用.然而，每當(dāng)教育者們需要數(shù)學(xué)工程的幫助時(shí)，這兩個(gè)學(xué)界之間的隔閡就使得教育者無(wú)法使用這一人類資源.

最后一個(gè)后果, 從達(dá)爾文的觀點(diǎn)很容易理解.達(dá)爾文認(rèn)為，如果一個(gè)系統(tǒng)是孤立的，并且按照自己的意愿進(jìn)化，那么它必將發(fā)生突變并脫離正軌.于是，當(dāng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)界獨(dú)立起來(lái)，中小學(xué)數(shù)學(xué)也獨(dú)立起來(lái)，那么中小學(xué)數(shù)學(xué)必然會(huì)在很大程度上發(fā)展得不再與數(shù)學(xué)有相似之處.正確的定義將不復(fù)存在，或者即使存在也不會(huì)被人們使用(2005，Wu，2001a，2005a，2005c).數(shù)學(xué)的有機(jī)連貫性也將無(wú)跡可循(Wu，2002)，或者即使刻意強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)聯(lián)系”時(shí)，這種“聯(lián)系”可能也是微不足道或顯而易見(jiàn)的.邏輯推理變成了一種添加劑，而一度被納入初中幾何課程的證明，也不斷遭到削減.到現(xiàn)在，初中幾何課程或中小學(xué)其他課程中幾乎找不到任何證明(Wu，2004).諸如此類的例子還有很多.這樣的發(fā)展變化自然會(huì)在許多方面降低數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量.

兩個(gè)學(xué)界之間缺乏對(duì)話，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育中的許多工程性錯(cuò)誤，其中一項(xiàng)就是不正確的數(shù)學(xué)測(cè)試題以及其他標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試(Milgram，2002).同樣有缺陷的題目也影響到了教師資格證書考試(Askey，2006a，2006b).在評(píng)價(jià)過(guò)程中缺少數(shù)學(xué)的參與，導(dǎo)致了意想不到的結(jié)果，那就是測(cè)試分?jǐn)?shù)經(jīng)常被曲解.學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)低被認(rèn)為是數(shù)學(xué)水平糟糕，但是幾乎沒(méi)有人考慮他們所要關(guān)注的可能不一定是學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)的好壞，而是有缺陷的課程和有缺陷的教學(xué)所造成的不可避免的后果.這種可能性對(duì)于數(shù)學(xué)的“局外人”來(lái)說(shuō)也許不明顯，但對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，不需要任何研究就能證實(shí)，如果教給學(xué)生的是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)到的就是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué).根不正，苗必歪.如果不正確的數(shù)學(xué)隨之體現(xiàn)在學(xué)生的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)中，那么我們?nèi)绾文軈^(qū)分錯(cuò)誤到底是由于學(xué)生受到不正確的數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)致的，還是由于學(xué)生自身理解錯(cuò)誤導(dǎo)致的呢？關(guān)于這一想法在中學(xué)代數(shù)中的更詳細(xì)的研究，參見(jiàn)Wu，2016.很顯然，在學(xué)生評(píng)價(jià)的每個(gè)階段，都需要數(shù)學(xué)家的參與.

數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家之間缺少合作，也影響到了教師培訓(xùn).教師的質(zhì)量問(wèn)題是公認(rèn)的，并且關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的嚴(yán)肅討論已經(jīng)開(kāi)始在數(shù)學(xué)教育界內(nèi)被廣泛進(jìn)行(參考Ma，1999；數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)會(huì)理事會(huì)，2001[注]無(wú)論讀者對(duì)其中的細(xì)節(jié)持有任何保留意見(jiàn)，這卷書能在科學(xué)機(jī)構(gòu)的贊助下獲得出版才是具有重要意義的事.).由于中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師無(wú)法獲得充分的指導(dǎo)，所以他們的數(shù)學(xué)知識(shí)一般都來(lái)源于他們?cè)诖髮W(xué)里所學(xué)的數(shù)學(xué)課程[注]值得注意的是在高校教育中所謂的“二階效應(yīng)”：教師的數(shù)學(xué)知識(shí)也受到他們自身中小學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響，而這些教師的教師們本身都是他們所接受的大學(xué)數(shù)學(xué)課程的產(chǎn)物..一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教師在大學(xué)所學(xué)的必需數(shù)學(xué)課程，數(shù)量和質(zhì)量都不夠水平.而且，講授這些課程的教師，要么是與教師沒(méi)有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)家，不了解中小學(xué)課堂需要什么；要么是非專業(yè)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)教育工作者.如果是前者，這種課程常常與課堂無(wú)關(guān)；如果是后者，這種課程中可能會(huì)出現(xiàn)比較膚淺或錯(cuò)誤的數(shù)學(xué).教師們來(lái)自于這樣的培訓(xùn)環(huán)境，自然會(huì)在數(shù)學(xué)上顯得準(zhǔn)備不足.

在職的教師培訓(xùn)中也存在著類似的缺陷，因此使得教師幾乎沒(méi)有途徑來(lái)獲得他們職業(yè)中所需的數(shù)學(xué)知識(shí).比方說(shuō)，過(guò)去十年出現(xiàn)了一些案例匯編，包括教師提供的課堂實(shí)錄[注]明確指出，我所談到的案例匯編只涉及中小學(xué)數(shù)學(xué)教育方面..其目的是請(qǐng)教師分析這些課堂實(shí)錄，從而提高自身的教學(xué)能力.然而，在太多的案例引用中，編者在評(píng)論時(shí)忽視了一些明顯的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤.這不禁增加了人們的擔(dān)憂：我們正在培養(yǎng)一批精通于給中小學(xué)生講授“錯(cuò)誤數(shù)學(xué)”的教師.在這種情況下，數(shù)學(xué)工程對(duì)尊重?cái)?shù)學(xué)完整性的需要完全被拋之腦后.

在美國(guó)，兩個(gè)學(xué)界缺乏交流導(dǎo)致分裂的極端后果，無(wú)疑是由1989年開(kāi)始的新課程改革造成的沖突.我最后提出這個(gè)爭(zhēng)論，是因?yàn)樗屛覀冎泵鏀?shù)學(xué)家在參與中小學(xué)數(shù)學(xué)教育時(shí)的一些“不起眼的問(wèn)題”.研制新課程之前，20世紀(jì)70年代至90年代之間，主要的出版商們印制的教科書在數(shù)學(xué)整體性上產(chǎn)生了不可扼制的退化.這一情況在上文中已經(jīng)提及.這種退化引發(fā)了美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)率先做出改革.無(wú)論對(duì)錯(cuò)，新課程方案是在美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)改革的旗號(hào)下制定的，一些改革的新課程對(duì)廣大學(xué)校產(chǎn)生了影響，并最終導(dǎo)致眾所周知的“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”(Jackson，1997).人們對(duì)這些新課程不滿的根源是里面有太多的根本性的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤[注]可以肯定的是，這些數(shù)學(xué)錯(cuò)誤大多與上文中的錯(cuò)誤不同，但的確也是錯(cuò)誤.，包括一些錯(cuò)誤被搞科研的數(shù)學(xué)家認(rèn)作是“不理解數(shù)學(xué)的證據(jù)”.后者的例證，如在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，不惜拋棄標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法而去推廣“新算法”的做法[注]1989年NCTM改革倡導(dǎo)，鼓勵(lì)孩子們自己發(fā)明自然數(shù)加、減、乘、除的計(jì)算方法，而不是只教會(huì)他們?nèi)绾问褂脴?biāo)準(zhǔn)的計(jì)算方法..盡管這種做法一部分是出于對(duì)“強(qiáng)加給學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)算法而不作出任何解釋”的過(guò)激反應(yīng)，但它也反映出人們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)課上進(jìn)行算法的推理性教學(xué)的重要性.

事實(shí)上，一些數(shù)學(xué)家參與了某些改革課程方案的制定.前面提到的“不起眼的問(wèn)題”正源于此.第一件值得注意的事情是，在數(shù)學(xué)界與教育界之間基本無(wú)交流的情況下，這些數(shù)學(xué)家是罕見(jiàn)的例外.數(shù)學(xué)界與教育界確實(shí)是沒(méi)有任何的交流.同時(shí)，這些例外的數(shù)學(xué)家似乎指出了一個(gè)明顯的沖突：本文提倡的是要獲得好的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)家與教育工作者必須處于同等的地位通力合作，但現(xiàn)在有缺陷的新課程已經(jīng)有了數(shù)學(xué)家的參與.如何調(diào)和這個(gè)沖突？答案是———根本沒(méi)有沖突.數(shù)學(xué)家的參與是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育有望成功的先決條件,但并不保證一定就能成功.這里容易讓大家回想起八年前經(jīng)常出現(xiàn)的類似爭(zhēng)論，當(dāng)時(shí)，有一些數(shù)學(xué)家首次公開(kāi)提出數(shù)學(xué)教師必須有扎實(shí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí).那時(shí)最普遍的反對(duì)意見(jiàn)是“了解數(shù)學(xué)還不夠(成為一名好教師)”.這也造成了人們普遍的混淆，誤將必要條件理解成了充分條件[注]需要指出，有人故意利用這樣的混淆，拒絕承認(rèn)數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)對(duì)教師得重要性，或者拒不承認(rèn)數(shù)學(xué)家參與到數(shù)學(xué)教育中對(duì)教育的成功至關(guān)重要性..對(duì)于數(shù)學(xué)教育這樣復(fù)雜的問(wèn)題，不存在任何速戰(zhàn)速?zèng)Q的辦法.讓數(shù)學(xué)家全面參與進(jìn)來(lái)只是一個(gè)開(kāi)始；數(shù)學(xué)家的選擇和一起付出的努力，仍然是對(duì)成功或失敗起決定性作用的.

現(xiàn)在是時(shí)候回應(yīng)文章的開(kāi)頭關(guān)于數(shù)學(xué)教育的權(quán)力結(jié)構(gòu)的論述了.到目前為止，一直是教育家在做著決策.從這個(gè)事實(shí)作為起點(diǎn)，我要詳細(xì)敘述一下為教育工作選擇正確的數(shù)學(xué)家的困難.數(shù)學(xué)家們有各不相同的背景和經(jīng)驗(yàn)，而通常也對(duì)教育有各種不同的見(jiàn)解.重要的是，教育家們?cè)谧鲞x擇的決定時(shí)，必須認(rèn)真考慮這些不同的見(jiàn)解.在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，近來(lái)發(fā)生了一些不愉快的事情，正是由于人們根據(jù)某些特定的信念去選擇數(shù)學(xué)家而導(dǎo)致的.此外，一些對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)家是否熟悉中小學(xué)數(shù)學(xué)，教育家也必須自己作出判斷.在對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)家中，有一些人具備極強(qiáng)的判斷能力和領(lǐng)導(dǎo)潛質(zhì)，但有些人并不具備.教育家們必須在每一步都做出選擇.如果說(shuō)有什么運(yùn)算法則可以幫助他們做出正確的選擇，本人尚未可知.

每一個(gè)數(shù)學(xué)家都可能為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做貢獻(xiàn)：即使是偶然瞟一眼教科書檢查一下數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，都會(huì)非常有用.然而，如果數(shù)學(xué)家們希望參與到嚴(yán)肅的中小學(xué)教育工作中，他們必須具備什么條件？我認(rèn)為，最重要的是要意識(shí)到中小學(xué)數(shù)學(xué)不是數(shù)學(xué)的一個(gè)子集，而且在做數(shù)學(xué)工程的過(guò)程中，能夠?qū)⒅行W(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)本身區(qū)別開(kāi)來(lái).特別是，數(shù)學(xué)家在大學(xué)中所講授的許多數(shù)學(xué)不能直接帶入中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上(Wu，1997；Kilpatrick等，2001，第10章，pp375-376)，因?yàn)樗仨毷紫韧ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)工程的改造，使得它適用于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂.請(qǐng)?jiān)试S我再次使用分?jǐn)?shù)的例子.那些有志于為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，在了解了 “整數(shù)序偶的等價(jià)類”對(duì)于十二歲左右的孩子來(lái)說(shuō)難以理解之后，可能也會(huì)理解為什么盡管是這個(gè)年齡的孩子，也需要分?jǐn)?shù)的定義.這個(gè)定義當(dāng)然是越接近于“整體的一部分”越好.他們也會(huì)了解，對(duì)于這個(gè)年齡的學(xué)生，什么類型的數(shù)學(xué)推理是合適的，因?yàn)闅w根到底，只有他們才能保障中小學(xué)數(shù)學(xué)課程里面保留有數(shù)學(xué)推理.

數(shù)學(xué)家可能會(huì)認(rèn)為中小學(xué)數(shù)學(xué)從學(xué)習(xí)技能的意義上講過(guò)于簡(jiǎn)單，但是他們必須注意到中小學(xué)數(shù)學(xué)概念上的復(fù)雜性(Jensen，2003；Wu，2001b，2001c，2005d).最重要的是，數(shù)學(xué)家必須了解，中小學(xué)數(shù)學(xué)從教學(xué)法角度來(lái)看是不簡(jiǎn)單的：無(wú)論多么簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)材料，能把它們加入到正確的數(shù)學(xué)知識(shí)框架中，進(jìn)而有益于學(xué)生吸收的行為都絕不是微不足道的.想要為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育做出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家必須意識(shí)到，數(shù)學(xué)教育一定要滿足數(shù)學(xué)的最基本要求——思想發(fā)展的有序性和邏輯性，學(xué)科的內(nèi)部連貫性，以及出示概念時(shí)的明確性和精確性.任務(wù)是艱巨的.如果數(shù)學(xué)家們希望與教育家以平等的合作關(guān)系加入到中小學(xué)數(shù)學(xué)教育來(lái)，那么他們有責(zé)任通過(guò)獲取數(shù)學(xué)工程中的這類知識(shí)來(lái)完成這一使命.

“數(shù)學(xué)教育作為數(shù)學(xué)工程”的概念不建議創(chuàng)造任何新工具來(lái)解決持續(xù)出現(xiàn)的教育問(wèn)題.它所做的是為數(shù)學(xué)教育提供一個(gè)有用的知識(shí)框架作為準(zhǔn)則.數(shù)學(xué)教育作為一門學(xué)科，它也澄清數(shù)學(xué)與教育的關(guān)系，包括數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)教育中的作用.例如，它可能更好地解釋為什么20世紀(jì)60年代的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”成為了一場(chǎng)災(zāi)難.更重要的是，這一概念點(diǎn)破了為什么把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“局外人”是一種自我毀滅的行為.如果我們的孩子要受到更好的教育，我們就必須建造一座橋梁來(lái)跨越數(shù)學(xué)家與教育者之間的鴻溝.據(jù)我保守地樂(lè)觀估計(jì)[注]做出這一估計(jì)的時(shí)間是2006年1月.，有足夠多的人想重建這座橋梁(參考Ball 等，2005)，更多地是因?yàn)橛雄E象表明，美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)的領(lǐng)導(dǎo)層也在朝著同樣的方向努力.我希望在未來(lái)，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)家與教育家共同努力的產(chǎn)物.

致謝

首先，我要感謝我的同事Norman E. Phillips 為我提供了一個(gè)關(guān)于化學(xué)的重要信息，才使得這篇文章誕生.Tony Gardiner 建議我重新整理早期草擬的一份稿子，Helen Siedel對(duì)那份稿子給出極具洞察力的評(píng)論，給這篇文章留下不可磨滅的印記.Tom Parker，Ralph Raim和Patsy Wang-Iverson 幫我做了非常細(xì)致的校對(duì).David Klein 也做了校對(duì)，并使我留意到一個(gè)參考文獻(xiàn).此外，e-list mathed的以下成員為也為本文提供了修改建議：R. A. Askey, R. Bisk, E. Dubinsky, U. Dudley, T. Foregger, T. Fortmann, K. Hoechsmann, R. Howe, W. McCallum, J. Roitman, M. Saul, D.singer, A. Toom. Cathy Seeley 和 Skip Fennel 也給出了類似的改進(jìn)建議.

很高興向他們所有人表示感謝.