雍艷梅

銳角三角函數(shù)中的不確定因素

雍艷梅

數(shù)學(xué)中的分類討論就是根據(jù)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)或者不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果問題不能以同一種方法處理，就需要按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，然后進(jìn)行分類討論，再把這幾條結(jié)論匯總，從而得出問題的答案.

銳角三角函數(shù)的定義揭示了直角三角形中的銳角與邊之間的關(guān)系，在銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些邊、角、點(diǎn)、形等位置不明確的問題.這個(gè)時(shí)候就需要我們審清題意，分清情況，畫出圖形，分類型討論，探索解決問題.應(yīng)用分類討論思想解決問題的關(guān)鍵是弄清何時(shí)分類、為何分類、如何分類.下面結(jié)合幾個(gè)問題，和同學(xué)們一起體會(huì)分類討論思想在解決三角函數(shù)問題中的應(yīng)用.

一、由邊的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，兩邊長分別為3和4，求sinA的值.

解：（1）若3和4為直角邊長度：

①如圖 1，當(dāng) BC=4，AC=3時(shí)，AB=5，則sinA的值為；

②如圖 2，當(dāng) BC=3，AC=4時(shí)，AB=5，則sinA的值為.

圖1

圖2

（2）若3和4分別是直角邊和斜邊的長度：

④如圖4，當(dāng)AB=4，AC=3時(shí)，BC=7 ，則sinA的值為

圖3

圖4

【啟示】當(dāng)我們求銳角三角函數(shù)值的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)直角三角形中斜邊和角的對(duì)邊的位置未確定，這時(shí)需要分類討論.

二、由角的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例2 已知，在△ABC中，AB=5，BC=4，S△ABC=8，求tanC.

【分析】為了求tanC，根據(jù)正切的定義，需要構(gòu)造直角三角形，故作高AD.可由BC=4，S△ABC=8，三角形的面積公式求出AD=4.再利用勾股定理求出BD的長，由于有∠B是銳角和∠B是鈍角兩種情況，因此本題需要根據(jù)角的不同位置，分類畫出圖形，分別求出CD的長，然后根據(jù)求出tanC的值.

解：（1）若∠ABC是銳角，作高AD，如圖5，

圖5

（2）若∠ABC是鈍角，如圖6，

圖6

【啟示】當(dāng)我們遇到角的位置不確定時(shí)，常常需要分類討論.根據(jù)角進(jìn)行分類討論，可分為角是銳角和鈍角兩種情況.

三、由點(diǎn)的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

【分析】認(rèn)真審題可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，依據(jù)題意畫出兩種情況下的圖形，再將∠BCD構(gòu)造在直角三角形中，依據(jù)銳角三角函數(shù)定義解決問題.

解：（1）如圖7，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)E，

圖7

（2）如圖8，當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，作BE⊥CD垂足為E，

圖8

【啟示】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)，需要分類討論.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在線段上和在線段的延長線上分別畫出圖形，再構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解決問題.

四、由形的位置不確定產(chǎn)生的分類討論

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且tan∠ABO=3，求A點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】本題考查了三角函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，由于一次函數(shù)y=kx+b與x軸交點(diǎn)A的位置不確定，從而導(dǎo)致Rt△ABO圖像位置不確定.因此應(yīng)按形的位置分類討論，即分△ABO在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況.分別畫出圖形，再依據(jù)條件tan∠ABO=3，構(gòu)造直角三角形解決問題.

解：（1）當(dāng)k＞0時(shí)，△ABO位置如圖9所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖9

（2）當(dāng)k＜0時(shí)，△ABO的位置如圖10所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖10

解得AC=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

綜上，A的坐標(biāo)為（-2，0）或（4，0）.

【啟示】當(dāng)角所在的三角形位置不確定時(shí)，需要分類討論，考慮k＞0和k＜0兩種情況，通常作x軸或y軸的垂線來構(gòu)造直角三角形，從而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為線段的長，再綜合利用知識(shí)，解決問題.

分類討論，既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，使知識(shí)條理化，訓(xùn)練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.所以它既是思想又是方法，同時(shí)也是一種思維習(xí)慣.在應(yīng)用分類討論思想解決問題時(shí)，一定要明確何時(shí)、何類、為何分類，這樣才能不重不漏，使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的完美解答.

小試牛刀

1.已知：在等邊△ABC中，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且PC∶BC=1∶4，則tan∠APB=________.

2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點(diǎn)P在邊AB上，若△APC為以AC為腰的等腰三角形，則tan∠BCP=_____ .

（關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“2017年12月數(shù)學(xué)”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)）