王 文

一個(gè)模型的運(yùn)用

王 文

從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立數(shù)學(xué)模型，再求出模型的解，即得到現(xiàn)實(shí)生活或具體情境的解，這就是數(shù)學(xué)建模的過程.學(xué)會(huì)構(gòu)建、提煉數(shù)學(xué)模型，有利于形成模型思想，提高我們的解題能力，更有助于增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提升應(yīng)用意識(shí).下面我們來看一個(gè)模型的提煉與應(yīng)用.

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第150頁的第12題：

甲、乙、丙3名學(xué)生各自隨機(jī)選擇到A、B 2個(gè)書店購(gòu)書.

（1）求甲、乙2名學(xué)生在不同書店購(gòu)書的概率；

（2）求甲、乙、丙3名學(xué)生在同一書店購(gòu)書的概率.

【解析】因?yàn)槊棵麑W(xué)生可以到A、B兩個(gè)書店購(gòu)書，有兩種等可能的情形，要求解的是甲、乙、丙3名學(xué)生的購(gòu)書情形，說明事情需要經(jīng)過3個(gè)步驟才能完成，因此必須通過樹狀圖列舉出所有可能的情形（如圖1），再根據(jù)樹狀圖來求相應(yīng)情形下的概率.

圖1

（1）從樹狀圖中發(fā)現(xiàn)：所有等可能的情況有8種，其中甲、乙2名學(xué)生在不同書店購(gòu)書共有（ABA），（ABB），（BAA），（BAB）這4種等可能情況，所以P（甲、乙2名學(xué)生在不同書店購(gòu)書）=

（2）從樹狀圖中發(fā)現(xiàn)：所有等可能的情況有8種，其中甲、乙、丙3名學(xué)生在同一書店購(gòu)書共有（AAA），（BBB）這2種等可能情況，所以P（甲、乙、丙3名學(xué)生在同一書店購(gòu)書）=

【反思】解決本題后，我們有這樣一種感覺：這類問題與我們前面探究過的“拋擲三枚相同的硬幣1次或拋擲一枚均勻的硬幣3次，出現(xiàn)向上圖案都相同的概率是多少”的解題模型完全相同.我們不妨回顧一下，將兩種情況下的樹狀圖（圖1和圖2）做一個(gè)對(duì)比，由此你可以發(fā)現(xiàn)解決這類問題的模型是相同的.

圖2

【建模】如果一個(gè)事件一次只會(huì)出現(xiàn)2種等可能的結(jié)果，而且完成整個(gè)事件需要3步，則這樣的計(jì)算概率問題都可以運(yùn)用“拋擲三枚相同的硬幣1次或拋擲一枚均勻的硬幣3次，出現(xiàn)向上圖案都相同的概率是多少”模型來求解，我們不妨稱之為“拋硬幣模型”.

【應(yīng)用】例1 一家醫(yī)院某天出生了3個(gè)嬰兒，假設(shè)生男生女的機(jī)會(huì)相同，那么這3個(gè)嬰兒中，出現(xiàn)1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的概率是多少？

【解析】我們知道，一個(gè)嬰兒的性別只有男、女兩種情形，相當(dāng)于硬幣的正、反面，出生了3個(gè)嬰兒相當(dāng)于拋擲3次硬幣，求3個(gè)嬰兒中出現(xiàn)1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的概率就相當(dāng)于求硬幣出現(xiàn)一正兩反的概率，根據(jù)上述“拋硬幣模型”，所有可能的情形有8種，其中1男2女的情況有3種，由此可知P（3個(gè)嬰兒中，出現(xiàn)1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰）=

例2 交通信號(hào)燈俗稱“紅綠燈”，至今已有一百多年的歷史了.“紅燈停，綠燈行”是我們?nèi)粘Ｉ钪斜仨氉袷氐慕煌ㄒ?guī)則，這樣才能保障交通的順暢和行人的安全.小剛每天騎自行車上學(xué)都要經(jīng)過三個(gè)安裝有紅燈和綠燈的路口，假如每個(gè)路口紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，那么，小剛從家隨時(shí)出發(fā)去學(xué)校，他不遇到紅燈的概率是多少？他至少遇到一次紅燈的概率是多少？

【解析】本題中，每過一個(gè)路口，只有兩種可能性——遇到紅燈或綠燈，且每個(gè)路口紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，即是等可能事件，又小剛每天騎自行車上學(xué)都要經(jīng)過三個(gè)安裝有紅燈和綠燈的路口，因此本題與“拋硬幣模型”完全相同，所有可能的情形有8種，其中不遇到紅燈的概率就相當(dāng)于同時(shí)拋出3枚硬幣時(shí)三個(gè)反面都朝上的概率，即P（不遇到紅燈）=，則P（至少遇到一次紅燈）=-

例3 甲、乙、丙三位同學(xué)打乒乓球，想通過“手心手背”游戲來決定其中哪兩個(gè)人先打，規(guī)則如下：三個(gè)人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背，若只有兩個(gè)人手勢(shì)相同（都是手心或都是手背），則這兩人先打，若三人手勢(shì)相同，則重新決定.那么通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是_______.

【解析】本題中，每次出示的手勢(shì)只有兩種等可能情況——手心或手背，三個(gè)人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背相當(dāng)于拋擲3次硬幣隨機(jī)出現(xiàn)正面與反面，因此本題與“拋硬幣模型”完全相同，所有可能的情形有8種，通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的可能情況有4種，所以P（通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球）=

由此可見，通過對(duì)問題的轉(zhuǎn)化，我們可以將許多看上去不一樣的問題歸結(jié)為用同一個(gè)模型來解決的問題，讓我們感受到模型思想的魅力.因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要重視對(duì)模型的提煉，尋找更多的數(shù)學(xué)模型，用以解決生活中的實(shí)際問題，不斷提高自己構(gòu)建模型、運(yùn)用模型的能力.

運(yùn)用上述模型解下列問題：

在某電視臺(tái)的一檔選秀節(jié)目中，有三位評(píng)委，每位評(píng)委在選手完成才藝表演后，出示“通過”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的評(píng)定結(jié)果.節(jié)目組規(guī)定：每位選手至少獲得兩位評(píng)委的“通過”才能晉級(jí).

（1）請(qǐng)用樹形圖列舉出選手A獲得三位評(píng)委評(píng)定的各種可能的結(jié)果；

（2）求選手A晉級(jí)的概率.

提示：評(píng)委出示的結(jié)果只有兩種等可能的情形——通過或淘汰，確定選手是否晉級(jí)必須三位評(píng)委給出結(jié)果后才能確定，這與“拋硬幣模型”完全相同.

江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué)）