張玉珍 蘇洪雨

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

波利亞有一句廣為流傳的名言，“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”[1].解題能力的提升不僅在于做題的數(shù)量，更在于解題的質(zhì)量.正如波利亞的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程[2].而對于解題教學(xué)，教師要做的不僅是教會學(xué)生解這一道題，而是要探究問題的根本，挖掘問題的本質(zhì)，幫助并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟其本質(zhì)并掌握解決這一類問題的思想方法，從而使學(xué)生達到舉一反三的效果.

說題是近幾年來素質(zhì)教育改革與實踐中涌現(xiàn)出來的一種新型教學(xué)研討形式，成為教育工作者們研究解題教學(xué)、提升教學(xué)效率的一個重要平臺.教師說題活動是指教師在精心做題的基礎(chǔ)上，闡述對題目的理解和分析、解答時所采用的思維方式、解題策略及依據(jù)、變式拓展進而總結(jié)出解題規(guī)律的一種教研模式.因此，題目如何設(shè)計、教師如何教以及學(xué)生如何學(xué)這三大方面是說題的立足點，應(yīng)該給予高度重視.以下筆者就一道高中數(shù)學(xué)解析幾何題進行說題設(shè)計的探究.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程；

(2)求m的取值范圍；

(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

2 說題設(shè)計

2.1 審題分析

2.1.1 題目背景

這是一道源于高三復(fù)習(xí)的解析幾何題，其主要題干來源于人教版普通高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”.主要考查了學(xué)生解析幾何的綜合能力，難度中等，要求學(xué)生根據(jù)題目給出的條件，發(fā)現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，綜合運用平面幾何和解析幾何的知識，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行準(zhǔn)確運算求解.

該題所涉及的知識點主要包括：(1)坐標(biāo)的伸縮變換；(2)橢圓的方程；(3)直線與橢圓的位置關(guān)系；(4)一元二次方程的判別式；(5)韋達定理；(6)等腰三角形的判定方法：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線相互重合的三角形是等腰三角形；(7)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系.本題的重點是平面幾何知識與解析幾何知識的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，難點是如何選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法去判定等腰三角形，優(yōu)化計算.本題主要考查的思想是方程、轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想.

2.1.2 條件分析

本題給出的題干條件主要有以下五個：(1)圓的方程；(2)圓的坐標(biāo)伸縮變換得到曲線C；(3)曲線C過點M(2，1)；(4)直線l平行于OM，截距為m(m≠0)；(5)直線l與曲線C交于A、B兩點.根據(jù)這些條件，引導(dǎo)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖(如圖1)進行大膽地聯(lián)想，并進行初步分析，把相關(guān)的知識點聯(lián)系起來，看看能得到什么結(jié)論.有時候直接從條件出發(fā)去尋求最終結(jié)論的過程中會遇到困難，止步不前，這時我們不妨換個方向思考，把結(jié)論當(dāng)作條件，也進行大膽地聯(lián)想，逐步分析獲得相關(guān)結(jié)論.這時候，從題干條件出發(fā)得到的結(jié)論將會與從結(jié)論出發(fā)得到的相關(guān)結(jié)論交匯，從而有理有據(jù)地獲得解決問題的思路，而不是憑感覺去嘗試各種可能.引導(dǎo)學(xué)生在分析題目的時候利用思維導(dǎo)圖進行充分聯(lián)想，并進行雙向思考與分析，既可以提高學(xué)生解決問題的能力，同時可以培養(yǎng)學(xué)生的正向思考和逆向思考能力，促進學(xué)生思維的發(fā)展.

圖1

2.1.3 題目價值

解析幾何的解答題一直以來都是各地數(shù)學(xué)高考試題中占有很大分量的題目，不僅涉及的綜合內(nèi)容多、運算量大，而且承載著方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查任務(wù).在解決本題后，將促進學(xué)生掌握相關(guān)知識，提高學(xué)生對平面幾何知識和解析幾何知識的認(rèn)識和兩者之間相互轉(zhuǎn)化的能力.經(jīng)歷問題的解決過程，發(fā)展學(xué)生運用思維導(dǎo)圖分析問題、挖掘信息、尋求解題策略的能力.同時通過對題目進行變式與拓展，挖掘問題的本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生能夠“解一道，會一片”，改善學(xué)生解題的質(zhì)量，提高學(xué)生對求解解析幾何解答題的自信心和能力.

2.2 解題過程分析

2.2.1 解題思路的形成

第(3)小問是本題的難點.要求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形，首先想到的是把這個等腰三角形的三個頂點的坐標(biāo)求出來(要先求出A、B兩點的坐標(biāo)，結(jié)合M(2，1)列出直線MA、MB的方程，再求出這兩直線與x軸的兩交點E、F，加上點M即為三角形的三個頂點)，然后根據(jù)兩點之間的距離公式求出三邊的邊長，進而通過證明有兩邊相等來證明等腰三角形；或者通過證明“三線合一”、“兩角相等”來證明.但這種解題思路(簡稱為思路一)計算復(fù)雜，運算量大，很容易出錯.學(xué)生在求解過程中可能因為計算量過大而選擇放棄，或者因為計算錯誤而打擊學(xué)生的信心.

由圖1我們可以看到，從等腰三角形的“兩底角相等”(如圖2，通過作圖，我們可以發(fā)現(xiàn)該等腰三角形的底邊位于x軸上，即M為頂點，兩個底角的端點也位于x軸上)到“直線MA、MB的傾斜角互補”再到“直線MA、MB的斜率和為0”，這三者之間是互相推導(dǎo)的關(guān)系.而要證“直線MA、MB的斜率和為0”，只要利用第(2)小問推導(dǎo)出的一元二次方程，從中得出關(guān)于A、B坐標(biāo)的韋達定理代入直線MA、MB的斜率相加的式子中，化簡即可得到斜率和為0，從而命題得證.這種將平面幾何的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解析幾何關(guān)系的解題思路(簡稱為思路二)大大減少了計算的復(fù)雜程度，優(yōu)化了證明過程，而且準(zhǔn)確率也會大大提高，有利于提高學(xué)生解決解析幾何問題的信心和能力.

圖2

通過對比我們可以發(fā)現(xiàn)，解題思路有優(yōu)劣之分，好的解題思路可以獲得事半功倍的效果.在教學(xué)過程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和聯(lián)想能力，鼓勵學(xué)生多角度思考問題，不僅要學(xué)會解題，掌握解題的通法，還要學(xué)會一題多解，提高解題的效率和質(zhì)量.

2.2.2 解答呈現(xiàn)

經(jīng)過剛才的解題思路分析，(1)(2)小問的解答采取常用的解題思路，而第三問的解答采用更為簡潔的“思路二”，由此得到以下的解題過程流程圖(見圖3)，詳細(xì)解答略.

圖3

2.3 變式與拓展

從剛才的解答中，我們可以發(fā)現(xiàn)一個重要的結(jié)論：

為什么會有這樣一個結(jié)論呢？命題者是怎樣命制這道題目的？這道題目又可以變成什么樣子？只有弄清楚題目是怎么來的，即找到題目的原型，才能真正掌握問題的本質(zhì)，明白出題者的意圖.弄明白題目往哪里去，實現(xiàn)一題變多題，發(fā)現(xiàn)題目背后隱藏的規(guī)律，才能達到觸類旁通的效果.

2.3.1 題目的來源

圖4

觀察結(jié)論1與猜想1，我們可以看到，其實兩者都是關(guān)于橢圓上的三個點之間關(guān)系的有關(guān)定值的問題.結(jié)論1與猜想1都是建立在具體的橢圓、橢圓上具體的定點的背景下，如果是在任意的橢圓、橢圓上任意的定點的背景下，還會有類似的結(jié)論嗎？因為不知道直線l的斜率，所以暫時無法類比結(jié)論1提出結(jié)論2.但是我們可以逆向推理來求解直線的斜率，提出猜想：

圖5

綜合猜想2和結(jié)論2，可以得到關(guān)于一般的橢圓及其上的三個點的定值問題的結(jié)論：

結(jié)論3就是本題的本質(zhì).若學(xué)生掌握了這個本質(zhì)，對這個本質(zhì)有了較深的認(rèn)識，那么以后遇到這類題型時就可以手到拈來，能夠快速地找到解題的方向，提高解題效率.同時讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個猜想與證明的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力和大膽猜想、小心求證的科學(xué)態(tài)度.

2.3.2 題目的變式

希望通過解題訓(xùn)練來有效提升解題水平的一個重要實踐是會對題目進行變式，一題變多題，并且能夠解答之.根據(jù)上面的分析，可以從第(3)小問中得到的結(jié)論1出發(fā)，把命題的正逆向及命題的抽象水平作為切入點對本題進行一系列變式，如：

當(dāng)然，我們還可以通過改變題目的大背景——橢圓來進行變式，可以把橢圓換成另外三種圓錐曲線：圓、雙曲線和拋物線，如：

圖6

在教學(xué)過程中，注重進行變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在變式練習(xí)中領(lǐng)悟解決這些問題的思想方法，那么學(xué)生將來面對這一類圓錐曲線的定值問題時將會更加游刃有余，提高學(xué)生對解析幾何題的自信心.

3 總結(jié)

說題作為一種新的教學(xué)研討活動，是促進教師專業(yè)成長和學(xué)生學(xué)習(xí)的有效途徑.通過說題活動，促進教師對試題進行深入研究，透析題目背景，把握命題趨勢與方向；挖掘問題本質(zhì)，分析試題能力要求，改變教學(xué)思路，提高課堂教學(xué)的針對性和有效性，從而在推動教師能力提升的同時提高數(shù)學(xué)學(xué)科的教育教學(xué)水平.雖然形式上教師說題主要是說給同行或者研究人員聽的，但最終要落實到教學(xué)上.因此，教師在進行說題設(shè)計的時候，要立足于教師教和學(xué)生學(xué)的角度，分析學(xué)生可能的思維，發(fā)現(xiàn)他們的思維障礙以及思維誤區(qū)，并進行適當(dāng)引導(dǎo).教師可以借助相關(guān)的計算機技術(shù)(如思維導(dǎo)圖、幾何畫板等)引導(dǎo)學(xué)生逐步加深對題目的認(rèn)識，掌握問題的本質(zhì)，以達到以一當(dāng)十的效果.