2017年5月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2361若x,y,z是正實數(shù)，求證：

(1)

其中“∑”表示輪換對稱和.

(四川成都金牛西林巷18號華鑫園A601 宿曉陽 610031)

證明設(shè)y2+z2=a,z2+x2=b,x2+y2=c.則a,b,c為三角形的三邊.

于是(1)式等價于下列涉及三角形三邊的不等式

(2)

由柯西不等式，有

(3)

又由b2≥b2-(c-a)2,知

三式相加，得

(4)

(3)+2×(4)并開方，即得(2)式.故(1)式成立.

2362在△ABC中，a,b,c為其三邊長，ra,rb,rc與ha,hb,hc是其對應(yīng)三邊上的旁切圓半徑與高，則有

(hb+hc)(hc+ha)(ha+hb)

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

證明記△ABC的面積為S，注意到

應(yīng)用正弦定理，以及三角恒等變形，得

三式疊乘，立即獲得

(hb+hc)(hc+ha)(ha+hb)

2363在△ABC中，AD、BE、CF相交于一點O，點D、E、F分別在△ABC三邊BC、CA、AB上，則有

min(AD,BE,CF) ≤OD+OE+OF

≤max(AD,BE,CF).

(西安衛(wèi)星測控中心 趙曉輝 714000)

證明不妨設(shè)AD≤BE≤CF，過O作直線MN平行于BC，交AB于M，交CA于N，則有

由此可得

即

OE+OF≥OA.

從而

OD+OE+OF≥OA+OD=AD.

類似可證

OE+OD≤OC,

得到

OD+OE+OF≤OC+OF=CF.

特別地，若AD=BE=CF，

則有OD+OE+OF=AD.

2364給定m≥3且m∈N，設(shè)a1,a2,…,am>0，n≥m且n∈N，求證：

(湖南師大附中數(shù)學(xué)教研組 張湘君 410006)

由冪平均不等式知

于是只需證明

考慮到bi>0,i=1,2,…,m，

f″(t)=met(1+et)-m-2(met-1).

下面分兩種情況討論：

于是只需證明

所以g(x)在x≥3時單調(diào)遞減，

f″(t)≥0，則f(t)是下凸函數(shù)，

由琴生不等式得

2365已知如圖，在△ABC中，點P、Q分別在CB、BC的延長線上，AE垂直于∠ACQ的平分線于點E，BD1、BD2在∠ABP的內(nèi)部，且∠ABD1=∠PBD2，AD1⊥BD1，AD2⊥BD2，直線D1E、D2E分別與直線PQ交于點H、G．

求證：△EGH為等腰三角形．

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

證明如圖，過點D1、D2作直線與PQ交于點F，

因為 ∠AD1B=∠AD2B=90°，

所以A、D1、D2、B四點共圓，

且這個圓是以AB為直徑.

設(shè)圓心為O，則O為AB的中點，

所以 ∠BD2F=∠BAD1．

因為∠BAD1+∠ABD1=90°，

又∠ABD1=∠FBD2，

所以∠BD2F+∠FBD2=90°，

所以∠BFD2=90°，即D1D2⊥BC．

延長AE交PQ于R點，

因為CE平分∠ACQ，AE⊥EC，

所以易得△ACE≌△RCE，

所以AE=ER，即點E是AR的中點．

連結(jié)EO并延長交D1D2于M，

因為OE是△ABR的中位線，

所以EO∥PQ，所以EO⊥D1D2，

由圓中的垂徑定理可得M是D1D2的中點，

所以易得Rt△EMD1≌Rt△EMD2，

所以∠D1EM=∠D2EM．

又∠D1EM=∠EHG，∠MED2=∠EGH，

所以∠EGH=∠EHG，

所以△EGH為等腰三角形．

2017年6月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2366如圖，G為△ABC的重心，D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點，延長AD,BE,CF交△ABC的外接圓于點L,M,N，求證:

S△LMN≥S△ABC.

(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué) 劉才華 271400)

2367設(shè)a,b,c為正實數(shù)，且abc=1，求證：

(安徽省岳西中學(xué) 儲百六 246600)

2368如圖，在△ABC中,點E，F(xiàn)，D分別在AC，AB，BC上且DE∥AB,DF∥AC,EN⊥AB,FL⊥AC,N、L分別為垂足，EN與FL交于H,求證：

AN2+AL2+BC2=BN2+CL2.

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 335000，溫州私立第一實驗學(xué)校 劉沙西 325000)

2369設(shè)點I,H分別為銳角△ABC的內(nèi)心和垂心,則有

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

2370如圖所示，從海岸上的P地瞭望某海島周邊的4座海洋科研觀察站A，B，C，D，發(fā)現(xiàn)P，A，B與P，C，D分別處在同一視線上，又測得P地到海島中心O地的距離為d千米，各觀察站到O地的距離均為r千米.從P地到O地已建成直線通達的物流干線，現(xiàn)擬在海島內(nèi)的既有干線上設(shè)立中轉(zhuǎn)站M，新建4條由M分別直線通達各觀察站的物流支線，試確定中轉(zhuǎn)站的選址，使得新建支線的總長度最短.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)