王弟成

(連云港市教育局教研室 222006)

近期我市舉行市級優(yōu)秀課評選，選擇的課題是蘇教版教材必修2第二章《解析幾何初步》中的“2.1.6點到直線的距離”.教材對內(nèi)容的處理分兩部分，一是先研究具體情況，即求點D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離；二是再研究一般情況，即求平面上任一點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離.對于解決問題的方法也介紹兩種方法，一是直接求解，化點到線的距離為點到點的距離，即求點出點P到直線l的垂足距離；二是間接求解，將點到線的距離轉(zhuǎn)化為直角三角形的高，借助三角形面積求解.在介紹直接法求解后，教材指出“這一方法運算量較大，下面我們通過構(gòu)造三角形，利用面積關(guān)系求出點D到直線AB的距離.”接著介紹面積法求解.對于一般情況教材沒有采用直接法，而是直接采用面積法求解，其目的主要是簡化計算.課堂教學中各位選手，也主要是就兩個方面、兩種方法進行教學.在具體問題求解中學生采用的方法比較多，如直接求交點方法，面積法，解三角形方法，函數(shù)最值法等.但對一般情況只介紹面積法求解.聽課中總有一種感覺教師在介紹求解方法時，是為介紹方法而介紹方法，真的是“介紹”，顯得較為生硬.今天站在培養(yǎng)學生數(shù)學“素養(yǎng)”的角度如何上這節(jié)課呢？筆者對此有一點想法，提出來與大家交流.

1 數(shù)學教學要教給學生研究問題的一般方法，讓學生學會解決問題

對于求點到直線的距離筆者理解，有兩種思路，一是由一般到特殊，二是由特殊到一般.對于一般到特殊，可以直接提出幾何問題研究中除涉及兩點之間的距離，還涉及到點到線的距離、線到線的距離，如求多邊形面積等.如何求平面上一點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離？教師直接將問題拋給學生，讓學生思考如何解決？引導學生先從考慮特殊情況研究起，即當直線l平行于坐標軸的兩種情況，再研究一般情況，即直線不平行于坐標軸的情況.對于從特殊到一般，與上面正好相反.特殊的線能解決，特殊的點(如原點)也能解決，一般情況如何解決？對于特殊情況點到直線的距離可以化為點到點的距離，先求出l的垂線，再聯(lián)立方程求垂足，再求兩點間的距離，每次都這樣操作，“繁”，自然考慮是否有公式？能推導出公式嗎？正像配方法可以求解一元二次方程一樣，但還要尋求更直接求解公式一樣.我想在這節(jié)課的教學中理應有這樣的設(shè)計思考，立足學生數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)，教給學生研究問題的方法，而不僅僅是求得一個公式，應用公式.這樣的設(shè)計或明或暗都要讓學生感受到，不僅是推導公式，而是在研究問題，學會研究問題.

2 解析幾何的學習必須提高學生的運算能力，讓學生不懼怕運算

大家知道，自新課程改革以來，學生的運算能力直線下降，主要原因是初中學習側(cè)重平面幾何，學生推理能力得到提高，而對于代數(shù)內(nèi)容要求相對較低，運算自然跟不上.新的課程標準又將“運算能力”作為學生核心素養(yǎng)提出來.所以在必修2的《解析幾何初步》的學習中除學習解析幾何思想、方法外，提高學生的運算能力也是要重點培養(yǎng)的.教材在求D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離時，分四步介紹，第一步求斜率；第二步求垂線；第三步求交點；第四步求距離.思路清楚，步驟明確，學生自己也可以解決.但教材提出“這一方法運算量較大”，筆者覺得不太合適，編者可能考慮后面一般情況，這樣解決“運算量較大”，但對于具體問題這四步解決“運算量并不大”，相反是學生基本運算，做好這樣的運算就是學生的“童子功”，因為這樣的運算比起直線與圓位置關(guān)系，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的運算量太“小兒科”了.

直接求解困難在哪兒？我們梳理一下過程：

設(shè)點P(x0,y0)，直線l:

Ax+By+C=0(A≠0,B≠0).

①

過點P且與直線l垂直的方程為

即Bx-Ay-Bx0+Ay0=0，

②

所以

d2=(x-x0)2+(y-y0)2

上面直接法的運算思想是每一步都求出來，先求出交點坐標

再將交點坐標代入兩點間距離公式

計算.由于繁，自然思考，能不能交換計算順序，先作差運算？借此機會介紹設(shè)而不求思想方法，設(shè)而不求方法是解析最重要的方法之一，此處正是滲透設(shè)而不求方法的好時機.

設(shè)P(x0,y0)，垂足(m,n)在直線l:Ax+By+C=0上，

由Am+Bn+C=0得

A(m-x0)+B(n-y0)=-Ax0-By0-C，

又d2=(m-x0)2+(n-y0)2，

求解后引導學生反思，最終的求解目標是求兩點間距離，而不是求交點坐標，即求距離可以求交點的坐標，不求也可以，關(guān)鍵是求m-x0，n-y0，不求x0,y0也能求出(m-x0)2+(n-y0)2的值.后面會遇到此類問題，“過點P(3,0)作直線l，使它被兩條相交直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被P點平分.”可以先設(shè)出直線l方程，與兩條直線求出交點坐標，再利用中點關(guān)系，求出直線l的斜率.也可以先利用中點關(guān)系設(shè)出點的坐標，再利用點在直線上求出點的坐標，運算量相對較小.

3 求解方法的獲得是不同認識的結(jié)果，培養(yǎng)學生從不同角度認識問題，培養(yǎng)思維的深刻性

求解點到直線的距離就是求點到垂足的距離，這是直接認識與理解.間接的認識與理解是此距離還有“什么身份”，有什么樣的“身份”，就有什么樣的認識方法.如果構(gòu)造三角形，點到直線的距離就是“三角形的高”，因此可以通過面積法求高的值.如果單從直角三角形認識，其是直角三角形的直角邊，可以通過解三角形求解.點到直線的距離還是點到直線上任一點距離中的最小值，因此可以通過尋求點與點的最小值求解，即用函數(shù)思想求解.不同的認識與理解，會形成不同的求解方法.這就如同找人，不同的身份與關(guān)系，會有不同的找法.對于求解解析幾何題，這種認識與理解非常重要，很多問題的解決，不是直接求解，而是通過尋找“另一個身份”尋求突破，換一個角度再認識問題.

3.1 運用面積法求解

如圖1，一般地，對于直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)外一點P(x0,y0)，

圖1

過點P作PQ⊥l，垂足為Q.

過點P分別作x軸、y軸的平行線，

交l于點M(x1,y0)，N(x0,y2).

由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0，

PQ是Rt△PMN斜邊上的高，

由三角形面積公式可知

教學中為了讓學生自己想到將距離化為三角形的高求解，可以先讓學生求原點到直線l的距離，學生最容易想到面積法，再將原點變?yōu)橐话愕狞c，學生自然想到構(gòu)造直角三角形用面積法求解.求解后啟發(fā)學生總結(jié)，解決解析幾何問題，也要注意平面幾何方法的運用，可以簡化計算，如直角形三角形中斜邊上的中線等于斜邊一半，直接應用省去很多計算過程.

3.2 運用函數(shù)思想求解.

設(shè)P(x0,y0)，點(m,n)是直線l:Ax+By+C=0上任一點，

則Am+Bn+C=0，即Bn=-Am-C.

所以d2=(m-x0)2+(n-y0)2

B2d2最小值=

所以

上述的求解過程，對學生來講有一定的難度，字母多，書寫長，運算量大，同時對(a+b+c)2展開式結(jié)構(gòu)要熟悉.但整個求解過程是形式化過程，求B2d2最小值只是為了不出現(xiàn)分式運算，減少書寫過程.教學中可以是老師與學生一起運算，讓學生看到這樣的運算并不可怕，從心理上不懼怕解析幾何運算，如果在此回避運算，會讓學生形成畏懼心理，不利于后面解析幾何的學習.

3.3 解三角形方法求解.

如圖2，在△PQM中，PQ是其一條直角邊，所以可通過解直角三角形求解.

圖2

在直角三角形△PQM中得

又PQ=PMsinα

學生雖然沒有學習高中的解三角形知識，但初中基礎(chǔ)是能理解此種解法的.

就一節(jié)課而言，這樣的教學可能“偏離”中心，不如教師直接講解用面積法推導出公式，然后用公式求點到直線的距離，再通過解決其它幾何問題培養(yǎng)學生能力來得實用.但若從學生素養(yǎng)培養(yǎng)與學生長遠可持續(xù)發(fā)展角度看，教學倒不如，深入挖掘公式的推導過程價值，落點知識，著眼能力，生長智慧，立足學生數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)，培養(yǎng)學生從不同角度認識與理解問題的深刻性.理解方法的產(chǎn)生源于認識與理解的不同，而不是就方法談方法、講方法.這樣教學可能一節(jié)課完不成，但這樣的推導過程比公式結(jié)果更有價值，更有利于學生發(fā)展，教學的意義正在于此.結(jié)果誠可貴，過程價更高.