龍艷文

(南京市教學(xué)研究室 210001)

1 問題的提出

一次調(diào)研中，筆者聽了“直線的斜率”一課，下面是概念生成環(huán)節(jié)中教師設(shè)計(jì)的問題串：

問題1在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到樓梯，它的傾斜程度如何刻畫的？

問題2你如何刻畫直線的傾斜程度？

問題3在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如何刻畫直線傾斜程度？

從上述設(shè)計(jì)可以看出，設(shè)置問題串引領(lǐng)課堂教學(xué)已成為教學(xué)的共識(shí)．如果基于概念生成中三個(gè)層面進(jìn)行如下追問：(1)必要性，即要不要的問題．為什么要引入傾斜程度？為什么想到樓梯坡度？為什么要引入坐標(biāo)系？(2)合理性，即好不好的問題．用線段成比例刻畫直線傾斜程度好嗎？用縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之差的比刻畫直線傾斜程度好嗎？(3)嚴(yán)謹(jǐn)性，即對(duì)不對(duì)的問題．用任意兩點(diǎn)就能刻畫傾斜程度嗎？用兩點(diǎn)坐標(biāo)刻畫直線傾斜程度全面嗎？等等，我們可以發(fā)現(xiàn)本節(jié)課問題串雖然建構(gòu)了對(duì)直線斜率認(rèn)識(shí)的清晰流程，關(guān)注了對(duì)每個(gè)問題的解決，但很難解釋上述三個(gè)層面的追問．因?yàn)槊恳粋€(gè)問題都是教師直接拋出，幾個(gè)問題之間銜接顯得生硬，只是讓學(xué)生循著教師提出的問題逐步去解決問題，它忽略了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，忽略了對(duì)概念生成性的理解，忽略了對(duì)數(shù)學(xué)問題研究基本過程的認(rèn)識(shí)．

2 設(shè)計(jì)的改進(jìn)

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)是通過觀察與活動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)行檢驗(yàn)推理、尋找反例、邏輯論證等過程解決問題或完善問題，所以概念教學(xué)不能只滿足于告訴學(xué)生“是什么”或“什么是”，還應(yīng)讓學(xué)生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發(fā)展理論或解決問題中的作用[1]．然而，教材只呈現(xiàn)了概念“是什么”或“什么是”的粗線條結(jié)構(gòu)和最終的結(jié)論，所以教師需要重新對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)，以對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究過程為脈絡(luò)自然地展開概念的生成過程．

那么，如何按數(shù)學(xué)問題研究過程為脈絡(luò)來展開呢？教師可以從概念生成過程中必要性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性這三個(gè)層面的追問對(duì)上述案例的問題串進(jìn)行一些改進(jìn)．

環(huán)節(jié)一概念引入

引言數(shù)學(xué)倡導(dǎo)理性，生活也倡導(dǎo)理性，我們需要決定購買新的物品時(shí)，總是在有意或無意間追問：(1)我需要嗎(必要性)？(2)它有什么用(合理性)？(3)它對(duì)什么無用(嚴(yán)謹(jǐn)性)？同樣，對(duì)于數(shù)學(xué)中一個(gè)新的概念、新的定理、新的公式、新的方法等，我們也需要從必要性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性這三個(gè)層面來追問．

前面我們從宏觀的角度介紹了本章主要通過建立平面直角坐標(biāo)系以代數(shù)的方法研究曲線和方程．那么，我們熟悉哪些曲線？從研究最簡(jiǎn)情況入手的策略，我們首先來研究什么曲線？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】學(xué)生提出熟悉的曲線有直線、圓、橢圓、拋物線等，而其中最簡(jiǎn)形式為直線．

問題1在平面直角坐標(biāo)系中，如何刻畫一條直線？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】通過學(xué)生交流討論，提出一個(gè)點(diǎn)和傾斜程度、一個(gè)點(diǎn)和角度、一個(gè)點(diǎn)和方向、兩個(gè)點(diǎn)等．

問題2既然同一條直線可以用不同的方式確定，從數(shù)學(xué)研究過程來看我們需要研究什么問題？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】從數(shù)學(xué)是研究事物之間關(guān)系和規(guī)律的角度，引導(dǎo)學(xué)生提出研究確定直線的不同方式之間存在什么聯(lián)系，嘗試建立起它們之間定性和定量的關(guān)系．

【三個(gè)層面達(dá)成分析】通過引言切入本節(jié)課研究的整體方向．通過問題1對(duì)如何刻畫直線進(jìn)行開放式討論，突破學(xué)生對(duì)原有直線的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)，為問題2的提出做好鋪墊．通過問題2提出了一個(gè)比較大的研究話題，討論研究的方向，提出了對(duì)直線研究的整體架構(gòu)，從而解釋了引入新概念的必要性．

環(huán)節(jié)二類比坡度

問題1前面我們提出了確定直線可以用傾斜程度，那么，在已有的經(jīng)驗(yàn)中你在哪里見過傾斜程度？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生從確定直線的不同方式中選擇傾斜程度，聯(lián)想先前的經(jīng)驗(yàn)，特別是生活經(jīng)驗(yàn)，提出山坡、樓梯等的坡度問題，從而體驗(yàn)到傾斜程度與生活的直接關(guān)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活．教師可以展示一些相關(guān)的圖片或視頻來增強(qiáng)學(xué)生對(duì)坡度的認(rèn)識(shí)體驗(yàn)．

問題2既然大家都提到了坡度，那現(xiàn)在有如下圖的兩個(gè)山坡，圖1中AB和A′B′哪一個(gè)陡？圖2中AB和A′B′哪一個(gè)段陡？

圖1

圖2

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】對(duì)于圖1學(xué)生可以直觀地判斷，而對(duì)于圖2難以直觀判斷，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生從形顯直觀但難入微的困境，轉(zhuǎn)而嘗試用數(shù)的方法來進(jìn)行定量判斷，如通過長(zhǎng)度比值判斷或角度的判斷等．

問題3類似地，前面提到的樓梯坡度如何刻畫？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】通過對(duì)問題2的分析，如下圖，類似地得到如下定義：

樓梯的坡度

問題4對(duì)于新概念的定義，我們需要考慮其合理性，即它有什么作用或規(guī)律？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)新定義在解決陡峭程度時(shí)的作用，比如測(cè)量樓梯坡度時(shí)不需要測(cè)量整個(gè)樓梯的高度和寬度，只需選取一級(jí)臺(tái)階，即一個(gè)直角三角形．引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如坡度值越大，樓梯越陡．再如樓梯臺(tái)階的級(jí)寬不變，那么每一級(jí)臺(tái)階的高度越大，坡度就越大，樓梯就陡．

問題5對(duì)于概念的定義，你能從嚴(yán)謹(jǐn)性角度提出什么疑問嗎？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能構(gòu)成的直角三角形有無數(shù)個(gè)，需要通過三角形相似論證它們的比值是否相同．

【三個(gè)層面達(dá)成分析】通過問題1對(duì)傾斜程度的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想，從而解釋了引入山坡和樓梯坡度的必要性．通過問題2的認(rèn)知沖突解釋對(duì)坡度進(jìn)行定量分析的必要性．通過問題3、4解釋坡度定義的合理性．通過問題5解釋定義的嚴(yán)謹(jǐn)性．

環(huán)節(jié)三生成概念

問題1類比樓梯的坡度，在平面直角坐標(biāo)系中如何定義直線的傾斜度？

再從代數(shù)研究的角度通過坐標(biāo)表示得到如下定義：

問題2我們對(duì)直線的傾斜程度有了一個(gè)新的名稱和新的定量形式，它有什么合理性？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)由斜率定義只要找到直線上不同兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就能求出直線的斜率．

問題3比較上述兩種定義形式，你能從嚴(yán)謹(jǐn)性角度提出什么疑問嗎？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生回到定義，分析第一種定義形式因線段長(zhǎng)度表示而無法區(qū)分斜率為負(fù)的情形，第二種定義形式卻能很好解決這個(gè)問題，但第二種定義形式因?yàn)閤1≠x2，所以不能表示垂直于x軸的直線，而兩個(gè)定義都需要論證P，Q的任意性．

問題4我們?nèi)绾瓮晟菩甭识x？

【學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生在原有定義增加x1≠x2，補(bǔ)充特殊情形：如果x1=x2，則直線垂直于x軸，此時(shí)直線AB的斜率不存在．

【三個(gè)層面達(dá)成分析】通過問題1體驗(yàn)到引入坐標(biāo)系和用坐標(biāo)表示斜率的必要性．通過對(duì)問題2解釋了定義的合理性，通過問題3、4解釋了定義的嚴(yán)謹(jǐn)性．

附：對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)教材版本選擇的說明

蘇教版教材對(duì)傾斜角和斜率的編排結(jié)構(gòu)與人教版有比較大的差別．蘇教版分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)直線的斜率，第二課時(shí)為直線的傾斜角，而人教版為一個(gè)課時(shí)．蘇教版第一課時(shí)“以直線的傾斜程度如何刻畫”為問題導(dǎo)引，類比樓梯或路面的傾斜程度用坡度刻畫，即以水平線為參照系，再通過建立平面直角坐標(biāo)系得出斜率定義，體現(xiàn)了從生活經(jīng)驗(yàn)逐步過渡到坐標(biāo)化處理，充分讓學(xué)生經(jīng)歷引入坐標(biāo)系的必要性和合理性，讓學(xué)生體驗(yàn)解析幾何用代數(shù)方法處理幾何問題這一核心思想．第二課時(shí)再引入傾斜角定義，再建立斜率和傾斜角之間量化關(guān)系，再次體驗(yàn)解析幾何的核心思想．而人教版以“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置有哪些條件確定”為問題導(dǎo)引，即直接以坐標(biāo)系為參照系，先引入傾斜角定義，再類比坡度，引入斜率定義，再建立斜率和傾斜角之間量化關(guān)系．兩個(gè)版本各有側(cè)重、各有優(yōu)點(diǎn)．考慮授課教師是基于蘇教版教材的思路上課，本文是基于對(duì)本節(jié)授課的改進(jìn)，從而本文的問題設(shè)計(jì)遵循了蘇教版教材思路，而且僅提供了第一課時(shí)直線的斜率的問題設(shè)計(jì)．

3 三個(gè)層面的思考

數(shù)學(xué)概念來源于兩方面：一是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，二是在已有數(shù)學(xué)理論上邏輯建構(gòu)[1]．基于對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象關(guān)系或數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的抽象產(chǎn)生認(rèn)知沖突或需求，它是一種研究過程所遇到的困境，是概念生成的必要性，即要不要的問題．對(duì)必要性的分析是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的過程．為了能解決存在的沖突和需求，引入了新的概念，需要進(jìn)行檢驗(yàn)或論證，是概念生成的合理性，即好不好的問題．對(duì)合理性的分析是學(xué)生解決問題的過程，是學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界的過程．對(duì)新概念的定義進(jìn)行檢驗(yàn)和論證的過程中，需要通過舉反例、推敲表述等，考慮概念生成的嚴(yán)謹(jǐn)性，即對(duì)不對(duì)的問題．對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性分析是學(xué)生完善問題的過程，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的過程．而且，對(duì)新的數(shù)學(xué)概念三個(gè)層面分析不僅是數(shù)學(xué)問題研究的過程，更是一種思維的理性精神，是一種敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、一絲不茍的科學(xué)精神，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

教師對(duì)教學(xué)中問題串的設(shè)計(jì)，不但要關(guān)注知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，更應(yīng)關(guān)注研究問題的一般方法，關(guān)注概念生成過程中學(xué)生的思維方式．所以，教師需要對(duì)概念的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)解構(gòu)，將知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的思維方式結(jié)合起來，以研究問題的一般方法為暗線，從而將研究問題方法內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．對(duì)于新概念的教學(xué)，教師以概念生成的三個(gè)層面為脈絡(luò)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，以必要性為起點(diǎn)，尋找新的知識(shí) “孕育點(diǎn)”或“生長(zhǎng)點(diǎn)”，引入新的概念形式，通過對(duì)其合理性與嚴(yán)謹(jǐn)性的逐步分析，理解概念的內(nèi)涵與外延，形成概念的準(zhǔn)確表述，并將其納入到學(xué)生已有的概念系統(tǒng)．

另外，問題串的設(shè)計(jì)關(guān)鍵是通過問題讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題，分析問題，解決問題，學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)運(yùn)用，學(xué)會(huì)反思[2]．所以，教師對(duì)問題串的設(shè)計(jì)考慮課堂教學(xué)中問題生成的主體是學(xué)生，而不是教師，問題的設(shè)計(jì)要如波利亞所說，讓你的學(xué)生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題[3]．那么，如何引導(dǎo)學(xué)生能從問題中生成問題呢？教師可以根據(jù)概念生成的三個(gè)層面為脈絡(luò)，以學(xué)生自我提問的方式或教師象學(xué)生提問的方式進(jìn)行追問，從已知問題中發(fā)現(xiàn)新的問題，挖掘新的問題，構(gòu)建問題與問題之間的自然銜接，從而實(shí)現(xiàn)以知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．