張格波

(南京市江寧高級中學(xué) 211100)

人們通過對話實現(xiàn)信息的傳遞、思想的交流和情感的表達(dá)．就這個角度而言，我們可以認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是老師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的深度對話．通過深度對話，可以讓學(xué)生經(jīng)歷表達(dá)一步步完善的過程；通過深度對話，可以讓學(xué)生的思考層層深入，逐步抓住本質(zhì)；通過深度對話，可以讓數(shù)學(xué)課堂充分發(fā)揮出自己的教育價值．本文試借助于蘇教版《函數(shù)周期性》的教學(xué)過程，闡述筆者的理解．

1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是深度對話

事實上，由于各個學(xué)生的生活經(jīng)歷、體驗都不相同，關(guān)于周期現(xiàn)象的前概念也不相同，因此即使面對相同的情景，他們說出的理解也不相同．這樣恰好為多角度地理解周期現(xiàn)象提供了可能，教師通過不斷的追問：還可以怎么看？使得學(xué)生不斷轉(zhuǎn)換思路，在不斷的對話中，學(xué)生對周期現(xiàn)象的理解走向了深入，逐步完成對函數(shù)周期性概念的建構(gòu)．以下是對話的片段．

1.1 還可以怎么看？——引領(lǐng)對話走向深入

教學(xué)環(huán)節(jié)1：展現(xiàn)周期現(xiàn)象與周期函數(shù)圖像

1)周期現(xiàn)象很多：時針、天干、地支、屬相、寒來暑往、潮起潮落等．山海關(guān)城門對聯(lián)刻畫的也是這種現(xiàn)象：海水朝 朝朝朝 朝朝朝落；浮云長 長長長 長長長消．

2)函數(shù)作為對實際生活的一種數(shù)學(xué)表達(dá)，也具有周期性，比如正余弦函數(shù)．

3)問題：這些現(xiàn)象有何共同的特點？

學(xué)生1：很多出現(xiàn)了重復(fù)．

師：什么意思？

學(xué)生1：有些現(xiàn)象一段一段地出現(xiàn)了重復(fù)．

師：什么是一段一段地出現(xiàn)重復(fù)？

學(xué)生1：……

師：還可以怎么看？

學(xué)生2：周而復(fù)始．

師：好，一句話高度概括，簡潔明了，抓住了關(guān)鍵．

師追問：周而復(fù)始中的關(guān)鍵詞是什么？

學(xué)生2：周，就是間隔；復(fù)，就是重復(fù)，再次出現(xiàn)．

師追問：很好，能否說得更加具體呢？比如周是一個間隔，它具有何種特征？

學(xué)生3：它是固定的，不變的．

師：什么意思？相對誰不變？

學(xué)生3：相對于整個變化過程是不變的，也就是說它是一個常數(shù)，常量．

師追問：很好，周是一個常量，常數(shù)．還能認(rèn)識到其它特征吧？

學(xué)生4：它不能等于零，等于零沒有意義．

師追問：大家的認(rèn)識越來越深入，還可以認(rèn)識到什么？

學(xué)生4：周的整數(shù)倍還是周，比如海水漲潮，一天是周期，一月也是周期，整數(shù)倍都是周期．

師：他的結(jié)論正確嗎？大家都是這樣認(rèn)識的？

學(xué)生(眾)：是的．

師：看另一關(guān)鍵詞：復(fù)，還可以進(jìn)一步地理解吧？比如，是什么在重復(fù)？是怎樣重復(fù)的？

學(xué)生5：是某種現(xiàn)象，全部重復(fù)出現(xiàn)．

師追問：進(jìn)一步解釋清楚，對函數(shù)來說：1)你這里“全部”什么意思？2)是什么在重復(fù)？

學(xué)生5：所有函數(shù)值都重復(fù)．就是說，所有函數(shù)值每間隔一個周期后，就重復(fù)一次．

師：好，我們將剛才的結(jié)論匯總一下，填寫在這張表中再來體會一下．

周期現(xiàn)象關(guān)于周的認(rèn)識關(guān)于復(fù)的認(rèn)識周是什么?誰在重復(fù)?怎樣重復(fù)?潮起潮落寒來暑往正弦函數(shù)余弦函數(shù)

評析在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過展現(xiàn)生活中的周期現(xiàn)象與熟悉的周期函數(shù)圖像，激活學(xué)生原有的生活經(jīng)驗與前概念；通過在師生之間、生生之間的對話讓學(xué)生形成了整體的、模糊的、粗略的認(rèn)識——周而復(fù)始．在這個過程中間，我們發(fā)現(xiàn)口頭語言其實是學(xué)生數(shù)學(xué)思維外顯的載體．讓學(xué)生“對話”，就是讓學(xué)生通過語言表達(dá)他們的思維．

1.2 這可以作為一般性的判斷依據(jù)嗎？——在質(zhì)疑中，抓住本質(zhì)

學(xué)生6：雖然我們畫不出它的圖像，但我們還是可以判斷出它是周期函數(shù)．

師：為什么呢？

師：這能作為一般性的判斷依據(jù)嗎？外函數(shù)是周期函數(shù)的時候，原函數(shù)就是周期函數(shù)？

學(xué)生：……

師：前面的經(jīng)驗是什么？這個函數(shù)有“周而復(fù)始”的現(xiàn)象嗎？

師：你怎么就看出來函數(shù)值相等的？

學(xué)生7：計算后發(fā)現(xiàn)的．

師：我想問的是，你怎么想到去看函數(shù)值是否相等的？

師追問其他人：他的判斷方法能作為一般性的判斷依據(jù)嗎？

學(xué)生8：不行，他列舉的只是一些特例，不能說明所有都有這種特征．

學(xué)生7：我找不到反例．

師：找不到反例，說明這個函數(shù)可能真的是周期函數(shù)，但如何進(jìn)行一般性的說明呢？

學(xué)生7：……

學(xué)生9：我想起來了，這個函數(shù)是周期函數(shù)，周期就是2π．

師：怎么說？

日語形容詞“旨い”可表示多個義項，如①表示美味，香甜，好吃，飲食物的味道好；②好，巧，善于，順利。對自己有利，自己所期望的狀態(tài)；③用于慣用句“旨い汁を吸う”中表示揩油，占便宜，不勞而獲，自己不付出辛苦而得到利益等。④用于慣用句“旨い話し”中表示有利可圖的事情，條件合適和非常方便的事。對于日語形容詞的多個義項現(xiàn)象，學(xué)者們進(jìn)行過較充分的研究。例如，武藤(2001)從認(rèn)知語言學(xué)視角出發(fā)，分析了形容詞“甘い”的語義拓展方式，指出其各個義項并非彼此孤立存在而是相互關(guān)聯(lián)，拓展義基本上都是通過隱喻或轉(zhuǎn)喻等認(rèn)知機(jī)制對原型義進(jìn)行的拓展。本文將以“旨い”的多個義項為基礎(chǔ)，通過考察其后續(xù)名詞的詞性來進(jìn)行分析。

師：沒有反例？每個人都這樣認(rèn)為的？

學(xué)生10：沒有反例，上述等式中的自變量可以是任意的，即它是一個恒等式．

學(xué)生11：周期還可以改為π．因為

師：其他人的認(rèn)識呢？有不同意見嗎？

學(xué)生：……

師：受此啟發(fā)，回頭看，能否從恒等式的角度來說明y=sinx，(x∈R)是周期函數(shù)呢？

學(xué)生12：能，因為sin(x+2π)=sinx，所以y=sinx，(x∈R)是周期函數(shù)，周期是2π．

師(追問)：那函數(shù)y=cosx，(x≠π)是周期函數(shù)嗎？

學(xué)生12：是，因為cos(x+2π)=cosx，所以y=cosx是周期函數(shù)，周期也是2π．

師(追問)：其他人的認(rèn)識呢？有不同意見嗎？

學(xué)生13：不對，它不是周期函數(shù)．因為cos(-π)=cosπ，但x≠π，也就是說有一個點無法被重復(fù)，因此它不應(yīng)該是周期函數(shù)．

師(追問)：那將函數(shù)y=cosx，(x≠π)的定義域怎樣修改，又變成了周期函數(shù)呢？

學(xué)生(眾)：去掉限制，定義域改為R．

師(追問)：還可以怎樣呢？

學(xué)生：……

學(xué)生14：把那一串都去掉，改為y=cosx，(x≠kπ，k∈Z)．

師(追問)：為什么呢？

學(xué)生14：這樣就沒有反例，也就是說cos(x+2π)=cosx，對定義域任意自變量恒成立．

師(總結(jié))：所以說，周而復(fù)始，是指所有函數(shù)值都要重復(fù)，就是等式要恒成立．

評析在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過讓學(xué)生判斷一個暫時畫不出圖像的函數(shù)是否是周期函數(shù)，逼著學(xué)生從抽象的解析式這個角度來研究周期性．這樣，學(xué)生就必須要想辦法實現(xiàn)用符號化的代數(shù)恒等式來刻畫“周而復(fù)始”．在學(xué)生尋找辦法的過程中，教師反復(fù)用“這能作為一般性的依據(jù)嗎？”、“其他人的認(rèn)識呢？有不同意見嗎？”、“為什么？”引導(dǎo)發(fā)言者表述自己的思維過程，同時也引導(dǎo)其他學(xué)生去理解、去質(zhì)疑別人的表述，從而使得所有學(xué)生深入理解．因此，“對話”不僅僅意味著讓學(xué)生講出不同的想法給他人聽，更重要的是要在理解他人的想法中做出比較和判斷．實際上學(xué)習(xí)就是在一個群體中互動的體驗過程，就是一個具有“社會協(xié)商”性質(zhì)的主動建構(gòu)過程[1]．

1.3 我們都知道了什么？——在概括中建立概念，形成理性思維意識

師：從上述過程來看，關(guān)于周期函數(shù)，我們都知道了什么？

學(xué)生11：就是周而復(fù)始，其中“周”是一個常數(shù)，不能為零，它的整數(shù)倍也是周期；“復(fù)”就是函數(shù)值出現(xiàn)重復(fù)，就是自變量增加周期后，函數(shù)值不變．

師：還有補(bǔ)充的嗎？

學(xué)生12：要全部重復(fù)，即自變量要能取遍定義域內(nèi)的每一個值．

師：很好，那么一般地，函數(shù)y=f(x)要滿足什么條件才能是周期函數(shù)呢？

學(xué)生13：滿足f(x+T)=f(x)恒成立，其中T是一個非零常數(shù)即可．

師：很好，在尋找周期函數(shù)的本質(zhì)特征的過程中，你有什么收獲？

學(xué)生14：透過現(xiàn)象抓本質(zhì)．

師：具體一點呢？

學(xué)生14：就是要看出“周而復(fù)始”就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．

師：還有呢？

學(xué)生14：判斷時，必須要有一個一般性的依據(jù)，要以理說話．

評析經(jīng)過前兩個階段的對話、討論，學(xué)生對于函數(shù)周期性已經(jīng)積累了一定的認(rèn)識，初步完成了對本質(zhì)的抽象．因此，本教學(xué)環(huán)節(jié)主要就是讓學(xué)生將周期函數(shù)的各個方面性質(zhì)聯(lián)合起來考察，也就是進(jìn)行概括．教師通過“我們都知道了什么？”、“還有補(bǔ)充嗎?”來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行概括．事實上，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生不僅完成了對知識的概括，還談到了對整個思維過程的體驗——要以理說話，這就是理性思維意識．

2 深度對話就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對話

從上述過程我們可以看出，通過對話，學(xué)生的表達(dá)一步步走向完善；通過對話，學(xué)生的思考層層深入，逐步抓住本質(zhì)．因此，數(shù)學(xué)課堂上的對話就不僅僅表現(xiàn)為學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間的語言交流，更是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種對話[1]．換句話說，就是因為對話走向了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們才稱之為深度對話．

我們知道，周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．要形成這種認(rèn)識，學(xué)生必須要經(jīng)歷兩次抽象．第一次是形成對周期函數(shù)的初步抽象——周而復(fù)始．第二次抽象，就是建立形式化、符號化的數(shù)學(xué)表征——等式恒成立．在第二階段，學(xué)生需要突破三個思維上的關(guān)鍵點，第一個就是為什么要進(jìn)一步形式化．作為教師，我們知道只有達(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行推理論證．但是怎樣才能讓學(xué)生也體會到呢？第二個關(guān)鍵點是要將生活中的“重復(fù)出現(xiàn)”改用數(shù)學(xué)中的等式來表達(dá)．第三個關(guān)鍵點就是學(xué)生要認(rèn)識到等式是恒成立的，定義域中的每一個自變量都要滿足這個等量關(guān)系．

這兩次抽象，是一個認(rèn)識上的飛躍，如果讓學(xué)生獨立地、完全自主地去完成，是困難的．雖然“重復(fù)”本身蘊涵相等的含義，但如果教師不點撥，不讓學(xué)生給予關(guān)注，學(xué)生往往意識不到．于是，對話與交流就為思維的展開提供了基礎(chǔ)．在第一階段抽象中，教師借助于周期現(xiàn)象與周期函數(shù)圖像，讓學(xué)生談自己的認(rèn)識，通過“還可以怎么說？”，讓學(xué)生多角度闡述自己的觀點，在多角度的對話中學(xué)生形成了“周而復(fù)始”的初步印象．通過對“周而復(fù)始”關(guān)鍵詞的辨析，更進(jìn)一步能清楚了細(xì)節(jié)：周是什么；誰重復(fù)，怎樣重復(fù)？雖然都是用自然語言表達(dá)的，但為第二次抽象做好了準(zhǔn)備．

在第二階段，教師通過讓學(xué)生判斷一個暫時畫不出圖像的函數(shù)是否是周期函數(shù)，使他們意識到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)了認(rèn)知上的不平衡，感受到有必要用抽象的解析式來表達(dá)出函數(shù)的“周而復(fù)始”．這時，學(xué)生也不是一下子就成功的，而是在不斷的嘗試與對話中，相互啟發(fā)、質(zhì)疑，才使得學(xué)生逐步意識到為了用解析式來刻畫“重復(fù)”，必須要用數(shù)學(xué)中的等式來表達(dá)“重復(fù)”．學(xué)生先是從外函數(shù)的角度來試探，由于無法深入，教師及時糾正了方向：能否從周而復(fù)始的已知經(jīng)驗來說明？然后，學(xué)生想到了特殊值檢驗函數(shù)值是否相等，這樣，數(shù)學(xué)本質(zhì)出現(xiàn)了．后來再通過反例，教師的追問，這樣大部分學(xué)生才認(rèn)識到這個等式還必須是恒成立的，從而讓學(xué)生不斷地接近于符號化，形式化．顯然，沒有前面的對話，這個學(xué)生不可能直接想到它．這一場對話就是要讓學(xué)生多角度理解自然界中的“周而復(fù)始”與數(shù)學(xué)恒等式之間的關(guān)系，從而實現(xiàn)用“代數(shù)恒等式”來形式化地刻畫“周而復(fù)始”．這場對話就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對話，在此過程中學(xué)生也體驗到了數(shù)學(xué)抽象的意義與價值．

3 深度對話需要教師的引導(dǎo)

學(xué)習(xí)就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)逐步對話的過程，在此過程中，學(xué)生要將模糊的思維理順后再清晰表達(dá)出來，要讓自己的認(rèn)識不斷條理化、清晰化，逐步走向概念的本質(zhì)．那如何組織好數(shù)學(xué)課堂上的對話，以促進(jìn)學(xué)生思維走向深入，逐步接近于數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？結(jié)合本人的教學(xué)實踐，我覺得可以努力做好以下幾點．

3.1 做好深度對話的主持人

第一、通過激勵，形成平等、積極的對話氛圍．1)我們要理解學(xué)習(xí)的心理機(jī)制，給予學(xué)生表達(dá)的機(jī)會．就數(shù)學(xué)概念而言，學(xué)生要面對大量的實例，通過觀察，比較，分析和綜合，抽象與概括等思維過程，才能將感性的認(rèn)識上升為理性，這個過程就包括討論，交流，互動等組織活動．沒有對話，就沒有思想的相互啟發(fā)；沒有社會協(xié)商，就沒有深度理解．2)學(xué)會等待，做好平等中的首席．我們知道問題是有挑戰(zhàn)性的，解決它是需要時間的，給足時間，才能使學(xué)生的發(fā)言是經(jīng)過充分準(zhǔn)備的，主動性才能得到保護(hù)．3)學(xué)會評價，呵護(hù)學(xué)生的自尊．教師對學(xué)生的對話要及時點評，好在什么地方，錯在什么地方，要用簡潔、明了的語言給與評價．同時要學(xué)會救場，為回答不出的學(xué)生提供適度的支持與幫助．

第三、引導(dǎo)歸納、總結(jié)．本節(jié)課中，教師先是通過一張表來讓學(xué)生進(jìn)行知識上的總結(jié)，形成初步的認(rèn)識；后來，又通過提出問題“我們都知道了什么？”讓學(xué)生再次進(jìn)行概括，從而建立了概念．當(dāng)然，我們不能忘記讓學(xué)生對認(rèn)識過程進(jìn)行表達(dá)，只有這樣，才能讓學(xué)生逐步形成理性認(rèn)識方式．

3.2 關(guān)注深度對話的教育價值

從教學(xué)過程可知，師生通過對話，拉長了“抽象”過程，完成了 “社會協(xié)商”，實現(xiàn)了意義建構(gòu)，對話的作用是顯著的．首先在對話的過程中學(xué)生獲得了啟發(fā)：對話就是思想的交換，學(xué)生在理解了別人的交流后，就多了一個理解數(shù)學(xué)的角度．其次，在交流與討論中理會越辯越明：學(xué)生通過質(zhì)疑、對比、推敲是否能推廣到一般，加深了對數(shù)學(xué)概念的理解；同時通過對事物多方面性質(zhì)的概括，抓住了概念的本質(zhì)．

但我們不僅要關(guān)注對話的內(nèi)容，更要關(guān)注深度對話的教育價值．比如，學(xué)生通過對整個思維、對話過程的概括、內(nèi)省，提高了理性思維的意識．再者，在對話過程中學(xué)生也逐步學(xué)會表達(dá)：為了說明自己的想法，為了更好地表達(dá)自己，必須要深思，力爭抓住關(guān)鍵，在表達(dá)過程中，還要注意到語言的邏輯性，縝密性，簡潔性．所有這些，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價值．因此，在引導(dǎo)進(jìn)行總結(jié)、概括時，我們不能僅僅滿足于讓學(xué)生進(jìn)行知識上的總結(jié)與對話，還要對整個思維過程進(jìn)行交流，表達(dá)自己對思維過程的感受、體驗，以形成穩(wěn)定的認(rèn)識方式，建立理性思維意識．

總之，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一場深度對話，就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對話，在對話的過程中學(xué)生建立了對數(shù)學(xué)的深刻理解，發(fā)展了理性思維意識，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價值．