◎彭嘉駿

高中數(shù)學(xué)集合問(wèn)題的解決分析

◎彭嘉駿

基于高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“集合”知識(shí)的相關(guān)內(nèi)容，本文就學(xué)生在解答集合問(wèn)題過(guò)程中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，并就相關(guān)問(wèn)題的解答方法進(jìn)行闡述。希望能夠?yàn)檎谶M(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生提供一定參考。

就高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行觀察，集合知識(shí)屬于其中較為基礎(chǔ)的知識(shí)類(lèi)型，但是很多學(xué)生因?yàn)樽陨砘A(chǔ)的不牢固，導(dǎo)致其在解答此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中仍然經(jīng)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。因此，探尋問(wèn)題出現(xiàn)的原因，掌握正確的答題方法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)集合知識(shí)時(shí)必須要重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。

沒(méi)有考慮集合所具有的“互異性”

在集合當(dāng)中，任意兩個(gè)元素都不同，也就是說(shuō)在相同集合當(dāng)中不能重復(fù)出現(xiàn)同一元素，一個(gè)元素在集合當(dāng)中只能出現(xiàn)1次，如（x-1）2（x-2）=0的解集不應(yīng)寫(xiě)作{1，1,2}而必須要寫(xiě)作{1,2}。

例 如： 已 知 1∈ {a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，試求出實(shí)數(shù)a的值是多少？

分析：在這道問(wèn)題當(dāng)中，學(xué)生必須要使用討論思想，分別構(gòu)建一元一次方程和一元二次方程來(lái)求出a的值。但是在討論的過(guò)程中，學(xué)生往往非常容易忽視集合元素所具有的“互異性”。

解答：①如果a+2=1，那么a=-1，但是此時(shí)a2+3a+3=1，不滿足要求。②如果（a+1）2=1.那么a=0或a=-2，其中在a=0時(shí)a+2=2，a2+3a+3=3滿足要求，在a=-2時(shí)，a2+3a+3=1,不滿足要求。③如果a2+3a+3=1，于是有a=-1或a=-2，在a=-1時(shí)，a+2=1不滿足要求；在a=-2時(shí)，（a+1）2=1，不滿足要求，綜合以上條件，可以推出a=0。

沒(méi)有考慮0，{0}，，{}之間的關(guān)聯(lián)

例如：在以下關(guān)系當(dāng)中，表達(dá)正確的有① 0 {0}；② 0 ∈ {0}；③∈{}；④ a ∈ {a}； ⑤={0}； ⑥ {0}∈；⑦∈{0}；⑧{0}。

解答：想要解答該問(wèn)題，只需要∈、≠、

沒(méi)有考慮空集的特殊性質(zhì)

在集合知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，空集屬于一種十分特殊并且十分重要的特殊集合。在空集當(dāng)中，不含有任何元素，其是所有集合的子集，是全部非空集合的真子集。很明顯，所有集合和空集的交集都是空集，和全部集合的并集等于該集合，在問(wèn)題當(dāng)中隱藏有空集和集合之間的關(guān)系時(shí)，學(xué)生很容易忽視它們的特殊性，由此導(dǎo)致學(xué)生在解答問(wèn)題的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，一定要對(duì)這些問(wèn)題加強(qiáng)重視，考慮到這一情況。

例 如：A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=|}，如果A，求實(shí)數(shù)的值。

解答：在解答這道問(wèn)題的過(guò)程中，有很多同學(xué)往往只求出了a=1/3和a=1/5這兩個(gè)答案，但是沒(méi)有空集這一情況進(jìn)行考慮，導(dǎo)致問(wèn)題解答時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。在這種意識(shí)上出現(xiàn)錯(cuò)誤并導(dǎo)致問(wèn)題回答錯(cuò)誤失分往往是非常可惜的。

沒(méi)有考慮數(shù)集與點(diǎn)集之間的差異

使用數(shù)字作為元素的集合被稱為數(shù)集，使用點(diǎn)作為元素的集合被稱為點(diǎn)集，在解答此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)防止出現(xiàn)以下的錯(cuò)誤。第一是書(shū)寫(xiě)上的錯(cuò)誤，如錯(cuò)誤地將點(diǎn)集{（2,3）}寫(xiě)作{2，3}或{x=2,y=3}。第二是思想上的錯(cuò)誤，如錯(cuò)誤地認(rèn)為{y|y=x2+1，x∈R}等同于{（x，y）|y=x2+1,x∈R}或者{x|y=x2+1，x∈R}?？傮w來(lái)講，學(xué)生在解答此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因都是自己基礎(chǔ)掌握不牢固導(dǎo)致的。所以防止此類(lèi)錯(cuò)誤出現(xiàn)的辦法，就是強(qiáng)化自身對(duì)概念的理解，只有這樣，才能有效避免自己在高考中出現(xiàn)此類(lèi)錯(cuò)誤。

此外，還有的學(xué)生沒(méi)有考慮到求補(bǔ)集的前提條件。例如：全集U為函數(shù)y=的定義域，A={x|x≥10}，試求出CuA。解答：學(xué)生在解答該問(wèn)題的過(guò)程中，常常沒(méi)有考慮到全集U，或者把全集默認(rèn)為是所有實(shí)數(shù)的集合，由此計(jì)算得出CuA={x|x≤10}。因?yàn)閁={x|x≥7|}，因此CuA={x|7＜x＜10}。

實(shí)際上，集合問(wèn)題是在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中最為常見(jiàn)，也是最為基礎(chǔ)的問(wèn)題，高考中針對(duì)集合知識(shí)的考核，往往比較簡(jiǎn)單，但是卻暗含“陷阱”。學(xué)生在學(xué)習(xí)集合知識(shí)的過(guò)程中，必須要對(duì)各種概念、符號(hào)等的含義有深入的掌握。只有這樣，學(xué)生才能保證自己在基礎(chǔ)類(lèi)問(wèn)題回答的過(guò)程中不出現(xiàn)錯(cuò)誤，提升準(zhǔn)確率，讓自己在高考考場(chǎng)占得先機(jī)。

（作者單位：湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)）