◎羅遠(yuǎn)峰

中學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)探析

開(kāi)放題的產(chǎn)生

◎羅遠(yuǎn)峰

1971年，在日本以島田茂為首的一些學(xué)者提出了數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概念，開(kāi)始注意到開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值，它能豐富并改善教學(xué)。1980年美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)提出“問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”，并借助于問(wèn)題解決這一教學(xué)模式成功介入到數(shù)學(xué)開(kāi)放題中來(lái)。開(kāi)放題做為問(wèn)題解決的產(chǎn)物，在美國(guó)中小學(xué)已普遍出現(xiàn)并使用。在國(guó)內(nèi)，90年代，開(kāi)放題在數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)并進(jìn)行試驗(yàn)教學(xué)。1998年，數(shù)學(xué)開(kāi)放式題首次出現(xiàn)在全國(guó)高考試卷中[殷容儀. 高中數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)過(guò)程中若干問(wèn)題的研究[C],華東師范大學(xué)，2004(10).56-60]。一般地說(shuō)來(lái)，問(wèn)題性習(xí)題和探索性習(xí)題可統(tǒng)稱(chēng)為開(kāi)放型題。

怎樣進(jìn)行開(kāi)放題教學(xué)

一位好的教師不是在教數(shù)學(xué)，而是能激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)數(shù)學(xué).一種好的教學(xué)也并非是把數(shù)學(xué)內(nèi)容解釋清楚，闡述明白就足夠了。教師必須要讓學(xué)生自己研究數(shù)學(xué)，或者和學(xué)生們一起做數(shù)學(xué)；教師應(yīng)積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題解決的情景，讓學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、作出猜想、發(fā)現(xiàn)模式、得出結(jié)論并證明、推廣等等。只有當(dāng)學(xué)生通過(guò)自己的思考建構(gòu)起自己的數(shù)學(xué)理解力時(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

在七年級(jí)進(jìn)行開(kāi)放題教學(xué)時(shí)，可以先讓每個(gè)學(xué)生都盡早地接觸一些很簡(jiǎn)單的開(kāi)放題，以讓他們有一個(gè)粗淺的感性的認(rèn)識(shí).如浙教版七年級(jí)教材上冊(cè)中的一些題目：提供一個(gè)能用算式（1-43%-37%）×2500解決的實(shí)際問(wèn)題情境，算出結(jié)果，并說(shuō)明計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義。在第五章一元一次方程中有：給出兩個(gè)不同的方程，使它們的解都是；編一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，要求所列的方程為15x+45y=180等。而后的學(xué)習(xí)對(duì)所給的開(kāi)放題稍加難度和設(shè)有梯度，可增加一些開(kāi)放題的類(lèi)型。如用24根同樣的火柴棒搭成5種不同的三角形，各邊長(zhǎng)分別是多少？通過(guò)小組合作交流寫(xiě)出所有的情況（共有12種），并將這些三角形進(jìn)行分類(lèi)（可按最大邊、最大角或三邊的關(guān)系等多種角度來(lái)分）。告訴學(xué)生這是一道結(jié)論開(kāi)放題.又如已知：如圖Rt△ABC中，∠C=90°，沿B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合， ，求證： BD=AD（請(qǐng)?jiān)跈M線上添加一個(gè)條件，方法盡可能的多）。[戴再平. 初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題集[M]，上海教育出版社，上海, 2000年5月第一版,82-85]

告訴學(xué)生本例是一個(gè)條件開(kāi)放題，可填的條件有13種以上……通過(guò)一道道一類(lèi)類(lèi)開(kāi)放題的研究，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力、分析和解決問(wèn)題的能力。

在浙教版第六章的“因式分解”一章中，最主要的是學(xué)習(xí)因式分解的兩種常用方法，即提取公因式法和運(yùn)用公式法(平方差公式，完全平方公式)；在上完這章后，便可設(shè)計(jì)下面這道開(kāi)放題：先在下面橫線上分別填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，然后把所得的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解(要求所填類(lèi)型盡可能豐富，填后所用的方法也盡可能多樣)：

_______a +_______b =_______

本問(wèn)題中的橫線上可填的數(shù)或式顯然有無(wú)數(shù)多種，如從提取公因式法考慮：（1）只填數(shù)，如2和2，2和4等；（2）只填字母，如m和m， m2和m3等；（3）數(shù)與字母結(jié)合，如2m和4m，－3x2和6xy2等；（4）填多項(xiàng)式，如－5（x+y）2和15（x+y）3等.從運(yùn)用公式法考慮：（1）填a和－b或9a和－4b等運(yùn)用平方差公式分解；（2）填a和±（2a+b）等運(yùn)用完全平方公式分解。

到了高中，學(xué)生對(duì)開(kāi)放題的基本知識(shí)和各種類(lèi)型已經(jīng)比較了解，教師要在此基礎(chǔ)上對(duì)各種類(lèi)型的開(kāi)放題解答方法進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié)，以達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通之效，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行開(kāi)放題的題組訓(xùn)練。

例如： (《高中平面解析幾何》習(xí)題四第11題)求經(jīng)過(guò)兩條曲線x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點(diǎn)的直線方程。

解法開(kāi)放：通常是先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再由交點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程。如果對(duì)由目標(biāo)分解出的兩個(gè)要素進(jìn)行適當(dāng)解釋?zhuān)哼^(guò)交點(diǎn)——由兩曲線方程組成的方程組的解是所求方程的解，直線——所求的方程為一元二次方程，那么，只要由第一條曲線方程乘以3與第二條曲線方程相減便可得到所求的直線方程7x-4y=0；如果從“直線”入手，再考慮“過(guò)交點(diǎn)”，則可引入直線方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。

在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生自己去慢慢感受開(kāi)放題的特點(diǎn)，如有條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型、綜合開(kāi)放型、動(dòng)手操作類(lèi)開(kāi)放探究性試題等等，逐步體驗(yàn)做開(kāi)放題的樂(lè)趣，在多次體驗(yàn)的基礎(chǔ)上也訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性、深刻性、和發(fā)散性。

開(kāi)放題具體教學(xué)操作，可據(jù)老師和學(xué)生的不同情況，選用下列形式中的一種或幾種：

形式一：教師給出問(wèn)題后，由每個(gè)學(xué)生獨(dú)立思考各種方法，體現(xiàn)動(dòng)手實(shí)踐，自主探索的學(xué)習(xí)方式。

形式二：教師給出問(wèn)題后，由學(xué)生邊思考邊發(fā)言，使課堂上多種教學(xué)活動(dòng)如觀察，猜測(cè)，驗(yàn)證，推理，交流等得到全方位的訓(xùn)練. 在過(guò)程中，當(dāng)某個(gè)學(xué)生回答出某種方法后，教師可讓他自己講出其中的道理，也可由其他同學(xué)簡(jiǎn)要地說(shuō)出該畫(huà)法的道理。

形式三：教師給出問(wèn)題后，可對(duì)全班同學(xué)進(jìn)行分組，采用“合作學(xué)習(xí)”的模式。先在小組內(nèi)進(jìn)行合作，探討，交流，然后在班里進(jìn)行以小組為單位的交流或開(kāi)展組與組之間的比賽。

形式四：在前面某些活動(dòng)的基礎(chǔ)上，由每班的數(shù)學(xué)科代表組織各小組長(zhǎng)整理出所有的方法，并可撰寫(xiě)成小論文，進(jìn)行班與班之間的評(píng)比，或向校報(bào)、?？蚱渌胤酵陡濉?/p>

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的基本類(lèi)型

1.題型結(jié)構(gòu)開(kāi)放型，如：條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型、綜合開(kāi)放型等。

2.規(guī)律發(fā)現(xiàn)類(lèi)開(kāi)放探究性試題

3.學(xué)習(xí)遷移類(lèi)開(kāi)放探究型

4.動(dòng)手操作類(lèi)開(kāi)放探究型

5.“問(wèn)題——任務(wù)”類(lèi)開(kāi)放探究型

6.圖形構(gòu)造類(lèi)開(kāi)放探究型

7.新定義類(lèi)開(kāi)放探究型

8.課題學(xué)習(xí)類(lèi)開(kāi)放探究型等等。

開(kāi)放題教學(xué)還應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)

讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為一種數(shù)學(xué)思維活動(dòng)來(lái)進(jìn)行，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出過(guò)程、解決方法的探索過(guò)程、問(wèn)題結(jié)論的深化過(guò)程、方法能力的遷移過(guò)程，要把培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)作為基本目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和創(chuàng)新思維能力。

重視問(wèn)題變式訓(xùn)練。在問(wèn)題變式教學(xué)中，教師或通過(guò)對(duì)命題結(jié)論的改變，引出新命題；或通過(guò)對(duì)命題條件的改變，引出新命題；或通過(guò)特殊到一般聯(lián)想，引出新命題；有時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：這一問(wèn)題有哪些特例，還能否推廣，它的反面情形如何，逆向思考結(jié)果怎樣，與其相關(guān)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)情形如何。這樣的變式訓(xùn)練不但有利于學(xué)生更好地?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，而且也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑，從而可以有效地提高解決開(kāi)放探究性問(wèn)題的能力。

重視數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)的教學(xué)。數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)是新課程、新教材的特點(diǎn)和亮點(diǎn)之一，加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)的教學(xué)是提高學(xué)生解決開(kāi)放探究性問(wèn)題能力的一條行之有效的途徑，這些內(nèi)容的教學(xué)也為教師有效地滲透探究方法提供了一個(gè)很好的平臺(tái)，使學(xué)生學(xué)會(huì)有效地觀察、歸納、類(lèi)比、猜想等。

重視數(shù)學(xué)思想方法的有效落實(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它源于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展歷程，發(fā)展于數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐中，它是數(shù)學(xué)文化的核心，是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的橋梁，普遍指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。因此教師在平時(shí)教學(xué)及復(fù)習(xí)中，應(yīng)先對(duì)教材深鉆細(xì)研，深入挖掘知識(shí)體系中所蘊(yùn)含的思想方法，編選習(xí)題時(shí)應(yīng)返璞歸真，突現(xiàn)思想方法立意。

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)，與傳統(tǒng)的教學(xué)比較，是一個(gè)嶄新的教學(xué)模式，這個(gè)教學(xué)模式能夠充分發(fā)揮學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)思維，拓寬學(xué)生的思路，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，在此過(guò)程中，老師要把握好教學(xué)尺度，恰到好處地對(duì)學(xué)生進(jìn)行提示和指導(dǎo)。

遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院）