楊小麗

(北京教育學院數(shù)學系 100120)

對于同一個教學內(nèi)容，現(xiàn)如今有著很多種不同的設計方案，而且每種設計方案看起來似乎都很好，那老師們備課的時候，如何對已有的各種方案進行選擇呢？或者如何設計出更適合學生的有效的數(shù)學活動呢？下面以“平行四邊形的判定”為例，加以闡述.

1 已有的數(shù)學活動設計方案

對于“平行四邊形的判定”，通過查閱各版本教材和文獻、以及筆者的課堂觀察，發(fā)現(xiàn)有以下幾種比較有代表性的數(shù)學活動設計方案.

方案一逐個研究三個判定定理

問題1：取四根細木條，其中兩根長度相等，另兩根長度也相等，能否在平面內(nèi)將這四根細木條首尾順次相接搭成一個四邊形？說說你的理由，并與同伴交流.

由上述問題得到猜想：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理1.

問題2：取兩根長度相等的細木條，你能將它們擺放在一張紙上，使得這兩根細木條的四個端點恰好是一個平行四邊形的四個頂點嗎？

由上述問題得到猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理2.

接著應用定理解決有關(guān)證明問題.

問題3：如圖1，將兩根木條AC，BD的中點重疊，并用釘子固定，四邊形ABCD看起來是平行四邊形.

圖1

由上述問題得到猜想：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明后得到判定定理3.

接著應用定理解決有關(guān)證明問題.

方案二讓學生畫平行四邊形，敘述畫法，思考所畫的四邊形是否平行四邊形

問題1：請同學們畫一個平行四邊形.

問題2：你是怎么畫的？

問題3：怎么判斷你畫的四邊形是平行四邊形呢？

通過證明得到平行四邊形的判定定理.

方案三從性質(zhì)定理出發(fā)、構(gòu)造逆命題，證明逆命題是否成立

問題1：通過前面的學習，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分，反過來，對邊相等，或?qū)窍嗟龋驅(qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？

經(jīng)過證明，發(fā)現(xiàn)這些逆命題都成立，于是得到平行四邊形的3個判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

問題2：我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對邊，他們滿足什么條件時這個四邊形能稱為平行四邊形呢？

由上述問題得到猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理4.

方案四從性質(zhì)出發(fā)、構(gòu)造命題，證明命題是否成立

問題1：如圖2，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，試用簡潔的符號語言，一一寫出該平行四邊形的性質(zhì).

圖2

先由學生回憶、回答，教師追問依據(jù)，然后整理寫出如下8條結(jié)論：(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AB=CD；(4)AD=BC；(5)∠BAD= ∠DCB；(6)∠ABC= ∠ADC；(7)AO=CO；(8)BO=DO.

問題2：問題1告訴我們，如果已知一個四邊形是平行四邊形，它就具備上述8條性質(zhì)，那么，反過來思考，在上述8條中，具備幾條就可以判斷此四邊形是平行四邊形？試說明你的發(fā)現(xiàn).

學生獨立探究后全班交流結(jié)果.

2 不同數(shù)學活動設計方案的教學效果及思考

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)對平行四邊形判定定理的要求是：探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形1.前述四種數(shù)學活動設計方案都能夠達成上述目標.那這四種方案不同之處在哪里、教學中的優(yōu)劣又是什么呢？

方案一對判定定理逐個進行了探究證明，學生能夠比較好地掌握單個判定定理的內(nèi)容和證明.但是這樣的活動設計在教學中有以下不足：以問題形式呈現(xiàn)的三個探究活動指向性很強，學生只需要按題目要求操作即可，思維的空間不大，探究的意味不足；此外，三個問題之間缺少關(guān)聯(lián)，學生體會不到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.這樣的設計不利于學生掌握研究幾何圖形判定的一般方法，面對一個未知的新圖形，如果沒有了老師預先設計好的情境，學生將無法展開研究.

方案二建立在學生原有的基礎之上，能夠充分利用學生的生成資源.但也存在不足：其一，教學效果取決于學生的表現(xiàn)，是否能得到判定定理、得到幾個判定定理完全依賴于學生有幾種畫圖方法，如果沒有出現(xiàn)教師期望的畫法，教師只能“告訴”學生，這就使得探究活動的效果大打折扣；其二，教學效果取決于教師對學生思維的挖掘深度，學生能否獲得研究圖形判定的方法依賴于教師是否能夠?qū)W生模糊、零散的想法追問出來，并歸納形成較為系統(tǒng)的研究方法.如果教師的教學只是停留在單個定理的結(jié)論和證明上，則學生獲得的也僅僅只是單個定理的結(jié)論和證明，這樣的教學處理同樣不利于學生掌握研究幾何圖形判定的一般方法，面對一個未知的新圖形，學生可能也無法展開研究.

方案三給出了研究平行四邊形判定的一種方法：構(gòu)造學過的平行四邊形性質(zhì)定理的逆命題，然后對這些逆命題進行證明，如若正確，則得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對新圖形判定的研究中.但不足之處在于：(1)研究方法是“給出”的；(2)判定定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形并不能由上述方法得到.因此，在學習該定理的時候，只能比較突兀地拋出問題：我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對邊，他們滿足什么條件時這個四邊形能稱為平行四邊形呢？由該問題得到猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理4.這樣的處理方式使得定理4的出現(xiàn)顯得非常不自然，似乎憑空而降.

方案四給出了研究平行四邊形判定的另一種方法：分別按照邊、角、對角線羅列平行四邊形的所有性質(zhì)(一共8條)，然后將這些性質(zhì)兩兩進行組合，構(gòu)造命題(一共28個)，再對命題進行證真或證偽，由此得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對新圖形判定的研究中.但該方法工作量比較大，對學生的能力要求比較高，不適合所有的學生.

3 對如何選擇和設計恰當?shù)臄?shù)學活動的建議

3.1 有利于學生積累研究圖形判定的活動經(jīng)驗

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)特別強調(diào)：數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果[1].李尚志教授也認為：一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識解決新問題的能力，更高一點，利用舊知識生長新知識的能力[2].

因此，在平行四邊形判定的教學中，我們有必要將“積累研究圖形判定的活動經(jīng)驗”作為教學目標之一，希望學生通過經(jīng)歷有效的數(shù)學活動、進一步積累研究圖形判定的經(jīng)驗，并能夠?qū)⑦@些經(jīng)驗遷移運用到后續(xù)的數(shù)學學習中去.

我們知道，越基本的方法，適用性就越強，使用范圍就越廣泛，也就越容易遷移.回顧前述四個方案，只有方案三和方案四的方法最基本，是研究圖形判定常用的方法，有利于學生積累研究圖形判定的活動經(jīng)驗、并將該方法遷移運用到新圖形判定的研究中.

3.2 關(guān)注學生已有的認知基礎

前面我們提到，方案三、方案四有助于學生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動經(jīng)驗，但實施起來卻都有著各自的不足，那究竟如何選擇呢？分析學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗是設計有效的數(shù)學活動的前提.因此，我們不妨先來看看學生的情況.

學生在學習平行四邊形的判定前，學習過等腰三角形、等邊三角形等圖形的判定，已經(jīng)具備了一定的研究圖形判定的經(jīng)驗.為了進一步了解學生的情況，北師大第四附屬實驗中學的唐偉老師在上課之前對學生進行了調(diào)研.調(diào)研問題如下：(1)請你回憶平行四邊形的性質(zhì)有哪些？(2)我們學過用什么方法可以證明一個四邊形是平行四邊形？(3)請你猜想還有哪些方法可以證明一個四邊形是平行四邊形，并嘗試證明.

調(diào)查結(jié)果如下：第(1)題正確率100%；第(2)題正確率92.5%；第(3)題結(jié)果(班級人數(shù)40人)：

猜想內(nèi)容猜想人數(shù)證明人數(shù)1兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形31242兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形23103對角線互相平分的四邊形是平行四邊形21184一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形975一組對邊平行,一組對角相等的四邊形是平行四邊形756兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形407一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形208一組對邊相等,一組對角相等的四邊形是平行四邊形20

依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：(1)學生對判定定理的研究并非零起點；(2)學生得到平行四邊形判定定理的途徑可能有以下兩方面：一是尋找性質(zhì)定理的逆定理(猜想1，2，3)，二是對平行四邊形的單個性質(zhì)進行組合、構(gòu)造命題(猜想4，5，7，8).也就是說，學生尋找判定定理的方法與上述方案三和方案四不謀而合.因此，在學生已有的認知基礎上進行數(shù)學活動的設計，將更有助于活動的實施及學生的學習.

4 設計符合學生實際的有效的數(shù)學活動

什么才是“有效的數(shù)學活動”？很容易造成的錯覺是，“活動”就要動手實踐、就要合作、就要小組討論.其實數(shù)學學科的特點決定了數(shù)學活動本身有著與其他學科不同的特點.數(shù)學活動首先是“數(shù)學”的，所從事的活動要有明確的數(shù)學目標，到底要不要動手實踐、小組合作等都是形式上的保證3.如何通過數(shù)學活動深化學生對數(shù)學的理解、掌握數(shù)學的基本研究方法等才是最重要的.數(shù)學建模是很好的數(shù)學活動，而一個數(shù)學問題的分析和解決過程也是一個“有效的數(shù)學活動”.

基于學生已有的認知基礎，為了讓學生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動經(jīng)驗，我們可以以問題串的形式設計如下數(shù)學活動.

問題1：我們有學過什么方法可以證明一個四邊形是平行四邊形嗎？

【設計意圖】

了解學生對定義雙重性的認識，并為后續(xù)的證明尋找邏輯起點.

問題2：除定義外，還有別的方法可以判定一個四邊形是平行四邊形嗎？你是如何尋找的？

【設計意圖】

教育心理學一個最重要的原理是：教師不能只是給學生以知識，而應引導學生用自己的頭腦來建構(gòu)知識4.因此，問題2最核心的目的是：給學生足夠的時間調(diào)動自己已有的知識經(jīng)驗，對平行四邊形的判定方法進行自主研究，然后通過師生交流、更重要的是教師通過對學生解決問題過程的追問和挖掘，逐步將學生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化，從而提煉出平行四邊形判定的研究方法.也就是說，研究平行四邊形判定的方法是在師生交流的過程中自然“生長”出來的，而不是教師事先給定的.

從學生的回答我們可以發(fā)現(xiàn)，學生主要采用以下兩種方法尋找平行四邊形的判定定理：方法一是構(gòu)造性質(zhì)定理的逆定理，方法二是將平行四邊形的單個性質(zhì)進行組合、構(gòu)造命題.

如若學生采用方法一，教師可以追問：“在學習了平行四邊形的性質(zhì)定理后，構(gòu)造平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題是一種有效的尋找平行四邊形的判定定理的方法.但老師的疑問是：平行四邊形的判定定理只有這三個嗎？利用這種方法，我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎？如果不能，那怎樣才能找到平行四邊形所有的判定定理呢？”以引導學生思考該研究方法的優(yōu)點和不足.

如若學生采用方法二，教師可以追問：“你是怎么構(gòu)造出這個命題的？我們還可以構(gòu)造出其他的命題嗎？如何構(gòu)造？利用這種方法，我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎？”根據(jù)學生的回答，逐步將學生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化，從而提煉出平行四邊形判定的研究方法，同時體會該方法的優(yōu)缺點.

在此基礎上，還需要讓學生進一步思考方法一和方法二之間的關(guān)系.方法一和方法二本質(zhì)上是同一種方法，只不過方法一只能夠構(gòu)造出一部分命題，而方法二能夠構(gòu)造出所有相關(guān)命題.

上述無論方法一還是方法二，學生都可以遷移運用到后續(xù)圖形判定的研究中.

問題3：這些命題都正確嗎？如何證明？

【設計意圖】

讓學生進一步體會證明的必要性，經(jīng)歷證明的完整過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.這方面老師們比較重視，處理得也相對較好，此處不再贅述.但要說明的是，在上一個環(huán)節(jié)，學生構(gòu)造出了很多命題，但并非所有的命題課上都要加以證明，大多數(shù)命題的證明可以留給學有余力的學生課后進行.

問題4：我們是如何研究平行四邊形的判定的？

【設計意圖】

回顧并提煉平行四邊形判定的研究過程，教師可將學生的回答整理如下：

研究圖形判定的一般過程及方法研究內(nèi)容尋找除定義外的、判定一個四邊形是否是平行四邊形的條件研究方向四邊形的邊、角、對角線之間滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?研究方法怎么得到這個結(jié)論的?構(gòu)造性質(zhì)定理的逆命題將性質(zhì)進行組合,構(gòu)造命題{證明必要性所構(gòu)造的命題正確嗎?證明怎么說明所構(gòu)造的命題是否正確呢?

上述結(jié)構(gòu)化的整理可以幫助學生進一步理清平行四邊形判定的研究過程及方法、并將其納入到已有的認知結(jié)構(gòu)中，為其以后順向遷移到后續(xù)的學習中奠定良好的基礎.

在解決上述4個問題的過程中，學生經(jīng)歷了類比、猜測、驗證、推理與交流、反思與建構(gòu)等數(shù)學活動，不僅獲得了平行四邊形判定定理的結(jié)論，更重要的是積累了研究圖形判定的活動經(jīng)驗.