楊小麗
(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)
對(duì)于同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容,現(xiàn)如今有著很多種不同的設(shè)計(jì)方案,而且每種設(shè)計(jì)方案看起來(lái)似乎都很好,那老師們備課的時(shí)候,如何對(duì)已有的各種方案進(jìn)行選擇呢?或者如何設(shè)計(jì)出更適合學(xué)生的有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)呢?下面以“平行四邊形的判定”為例,加以闡述.
對(duì)于“平行四邊形的判定”,通過(guò)查閱各版本教材和文獻(xiàn)、以及筆者的課堂觀察,發(fā)現(xiàn)有以下幾種比較有代表性的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案.
方案一逐個(gè)研究三個(gè)判定定理
問(wèn)題1:取四根細(xì)木條,其中兩根長(zhǎng)度相等,另兩根長(zhǎng)度也相等,能否在平面內(nèi)將這四根細(xì)木條首尾順次相接搭成一個(gè)四邊形?說(shuō)說(shuō)你的理由,并與同伴交流.
由上述問(wèn)題得到猜想:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形,證明后得到判定定理1.
問(wèn)題2:取兩根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條,你能將它們擺放在一張紙上,使得這兩根細(xì)木條的四個(gè)端點(diǎn)恰好是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)嗎?
由上述問(wèn)題得到猜想:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明后得到判定定理2.
接著應(yīng)用定理解決有關(guān)證明問(wèn)題.
問(wèn)題3:如圖1,將兩根木條AC,BD的中點(diǎn)重疊,并用釘子固定,四邊形ABCD看起來(lái)是平行四邊形.
圖1
由上述問(wèn)題得到猜想:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明后得到判定定理3.
接著應(yīng)用定理解決有關(guān)證明問(wèn)題.
方案二讓學(xué)生畫平行四邊形,敘述畫法,思考所畫的四邊形是否平行四邊形
問(wèn)題1:請(qǐng)同學(xué)們畫一個(gè)平行四邊形.
問(wèn)題2:你是怎么畫的?
問(wèn)題3:怎么判斷你畫的四邊形是平行四邊形呢?
通過(guò)證明得到平行四邊形的判定定理.
方案三從性質(zhì)定理出發(fā)、構(gòu)造逆命題,證明逆命題是否成立
問(wèn)題1:通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道,平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分,反過(guò)來(lái),對(duì)邊相等,或?qū)窍嗟龋驅(qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎?也就是說(shuō),平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎?
經(jīng)過(guò)證明,發(fā)現(xiàn)這些逆命題都成立,于是得到平行四邊形的3個(gè)判定定理:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
問(wèn)題2:我們知道,兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形,如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊,他們滿足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能稱為平行四邊形呢?
由上述問(wèn)題得到猜想:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明后得到判定定理4.
方案四從性質(zhì)出發(fā)、構(gòu)造命題,證明命題是否成立
問(wèn)題1:如圖2,已知平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,試用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言,一一寫出該平行四邊形的性質(zhì).
圖2
先由學(xué)生回憶、回答,教師追問(wèn)依據(jù),然后整理寫出如下8條結(jié)論:(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AB=CD;(4)AD=BC;(5)∠BAD= ∠DCB;(6)∠ABC= ∠ADC;(7)AO=CO;(8)BO=DO.
問(wèn)題2:?jiǎn)栴}1告訴我們,如果已知一個(gè)四邊形是平行四邊形,它就具備上述8條性質(zhì),那么,反過(guò)來(lái)思考,在上述8條中,具備幾條就可以判斷此四邊形是平行四邊形?試說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn).
學(xué)生獨(dú)立探究后全班交流結(jié)果.
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)對(duì)平行四邊形判定定理的要求是:探索并證明平行四邊形的判定定理:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形1.前述四種數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案都能夠達(dá)成上述目標(biāo).那這四種方案不同之處在哪里、教學(xué)中的優(yōu)劣又是什么呢?
方案一對(duì)判定定理逐個(gè)進(jìn)行了探究證明,學(xué)生能夠比較好地掌握單個(gè)判定定理的內(nèi)容和證明.但是這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)在教學(xué)中有以下不足:以問(wèn)題形式呈現(xiàn)的三個(gè)探究活動(dòng)指向性很強(qiáng),學(xué)生只需要按題目要求操作即可,思維的空間不大,探究的意味不足;此外,三個(gè)問(wèn)題之間缺少關(guān)聯(lián),學(xué)生體會(huì)不到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.這樣的設(shè)計(jì)不利于學(xué)生掌握研究幾何圖形判定的一般方法,面對(duì)一個(gè)未知的新圖形,如果沒(méi)有了老師預(yù)先設(shè)計(jì)好的情境,學(xué)生將無(wú)法展開研究.
方案二建立在學(xué)生原有的基礎(chǔ)之上,能夠充分利用學(xué)生的生成資源.但也存在不足:其一,教學(xué)效果取決于學(xué)生的表現(xiàn),是否能得到判定定理、得到幾個(gè)判定定理完全依賴于學(xué)生有幾種畫圖方法,如果沒(méi)有出現(xiàn)教師期望的畫法,教師只能“告訴”學(xué)生,這就使得探究活動(dòng)的效果大打折扣;其二,教學(xué)效果取決于教師對(duì)學(xué)生思維的挖掘深度,學(xué)生能否獲得研究圖形判定的方法依賴于教師是否能夠?qū)W(xué)生模糊、零散的想法追問(wèn)出來(lái),并歸納形成較為系統(tǒng)的研究方法.如果教師的教學(xué)只是停留在單個(gè)定理的結(jié)論和證明上,則學(xué)生獲得的也僅僅只是單個(gè)定理的結(jié)論和證明,這樣的教學(xué)處理同樣不利于學(xué)生掌握研究幾何圖形判定的一般方法,面對(duì)一個(gè)未知的新圖形,學(xué)生可能也無(wú)法展開研究.
方案三給出了研究平行四邊形判定的一種方法:構(gòu)造學(xué)過(guò)的平行四邊形性質(zhì)定理的逆命題,然后對(duì)這些逆命題進(jìn)行證明,如若正確,則得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對(duì)新圖形判定的研究中.但不足之處在于:(1)研究方法是“給出”的;(2)判定定理4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形并不能由上述方法得到.因此,在學(xué)習(xí)該定理的時(shí)候,只能比較突兀地拋出問(wèn)題:我們知道,兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形,如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊,他們滿足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能稱為平行四邊形呢?由該問(wèn)題得到猜想:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明后得到判定定理4.這樣的處理方式使得定理4的出現(xiàn)顯得非常不自然,似乎憑空而降.
方案四給出了研究平行四邊形判定的另一種方法:分別按照邊、角、對(duì)角線羅列平行四邊形的所有性質(zhì)(一共8條),然后將這些性質(zhì)兩兩進(jìn)行組合,構(gòu)造命題(一共28個(gè)),再對(duì)命題進(jìn)行證真或證偽,由此得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對(duì)新圖形判定的研究中.但該方法工作量比較大,對(duì)學(xué)生的能力要求比較高,不適合所有的學(xué)生.
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)特別強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果[1].李尚志教授也認(rèn)為:一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力,就是能利用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的能力,更高一點(diǎn),利用舊知識(shí)生長(zhǎng)新知識(shí)的能力[2].
因此,在平行四邊形判定的教學(xué)中,我們有必要將“積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”作為教學(xué)目標(biāo)之一,希望學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)、進(jìn)一步積累研究圖形判定的經(jīng)驗(yàn),并能夠?qū)⑦@些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.
我們知道,越基本的方法,適用性就越強(qiáng),使用范圍就越廣泛,也就越容易遷移.回顧前述四個(gè)方案,只有方案三和方案四的方法最基本,是研究圖形判定常用的方法,有利于學(xué)生積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、并將該方法遷移運(yùn)用到新圖形判定的研究中.
前面我們提到,方案三、方案四有助于學(xué)生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),但實(shí)施起來(lái)卻都有著各自的不足,那究竟如何選擇呢?分析學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)的前提.因此,我們不妨先來(lái)看看學(xué)生的情況.
學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的判定前,學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形、等邊三角形等圖形的判定,已經(jīng)具備了一定的研究圖形判定的經(jīng)驗(yàn).為了進(jìn)一步了解學(xué)生的情況,北師大第四附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)的唐偉老師在上課之前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研.調(diào)研問(wèn)題如下:(1)請(qǐng)你回憶平行四邊形的性質(zhì)有哪些?(2)我們學(xué)過(guò)用什么方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形?(3)請(qǐng)你猜想還有哪些方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形,并嘗試證明.
調(diào)查結(jié)果如下:第(1)題正確率100%;第(2)題正確率92.5%;第(3)題結(jié)果(班級(jí)人數(shù)40人):
猜想內(nèi)容猜想人數(shù)證明人數(shù)1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形31242兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形23103對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形21184一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形975一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形756兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形407一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形208一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形20
依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果,我們可以發(fā)現(xiàn):(1)學(xué)生對(duì)判定定理的研究并非零起點(diǎn);(2)學(xué)生得到平行四邊形判定定理的途徑可能有以下兩方面:一是尋找性質(zhì)定理的逆定理(猜想1,2,3),二是對(duì)平行四邊形的單個(gè)性質(zhì)進(jìn)行組合、構(gòu)造命題(猜想4,5,7,8).也就是說(shuō),學(xué)生尋找判定定理的方法與上述方案三和方案四不謀而合.因此,在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì),將更有助于活動(dòng)的實(shí)施及學(xué)生的學(xué)習(xí).
什么才是“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)”?很容易造成的錯(cuò)覺(jué)是,“活動(dòng)”就要?jiǎng)邮謱?shí)踐、就要合作、就要小組討論.其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)本身有著與其他學(xué)科不同的特點(diǎn).數(shù)學(xué)活動(dòng)首先是“數(shù)學(xué)”的,所從事的活動(dòng)要有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo),到底要不要?jiǎng)邮謱?shí)踐、小組合作等都是形式上的保證3.如何通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解、掌握數(shù)學(xué)的基本研究方法等才是最重要的.數(shù)學(xué)建模是很好的數(shù)學(xué)活動(dòng),而一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決過(guò)程也是一個(gè)“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)”.
基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),為了讓學(xué)生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),我們可以以問(wèn)題串的形式設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)活動(dòng).
問(wèn)題1:我們有學(xué)過(guò)什么方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形嗎?
【設(shè)計(jì)意圖】
了解學(xué)生對(duì)定義雙重性的認(rèn)識(shí),并為后續(xù)的證明尋找邏輯起點(diǎn).
問(wèn)題2:除定義外,還有別的方法可以判定一個(gè)四邊形是平行四邊形嗎?你是如何尋找的?
【設(shè)計(jì)意圖】
教育心理學(xué)一個(gè)最重要的原理是:教師不能只是給學(xué)生以知識(shí),而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用自己的頭腦來(lái)建構(gòu)知識(shí)4.因此,問(wèn)題2最核心的目的是:給學(xué)生足夠的時(shí)間調(diào)動(dòng)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),對(duì)平行四邊形的判定方法進(jìn)行自主研究,然后通過(guò)師生交流、更重要的是教師通過(guò)對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程的追問(wèn)和挖掘,逐步將學(xué)生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化,從而提煉出平行四邊形判定的研究方法.也就是說(shuō),研究平行四邊形判定的方法是在師生交流的過(guò)程中自然“生長(zhǎng)”出來(lái)的,而不是教師事先給定的.
從學(xué)生的回答我們可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生主要采用以下兩種方法尋找平行四邊形的判定定理:方法一是構(gòu)造性質(zhì)定理的逆定理,方法二是將平行四邊形的單個(gè)性質(zhì)進(jìn)行組合、構(gòu)造命題.
如若學(xué)生采用方法一,教師可以追問(wèn):“在學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)定理后,構(gòu)造平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題是一種有效的尋找平行四邊形的判定定理的方法.但老師的疑問(wèn)是:平行四邊形的判定定理只有這三個(gè)嗎?利用這種方法,我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎?如果不能,那怎樣才能找到平行四邊形所有的判定定理呢?”以引導(dǎo)學(xué)生思考該研究方法的優(yōu)點(diǎn)和不足.
如若學(xué)生采用方法二,教師可以追問(wèn):“你是怎么構(gòu)造出這個(gè)命題的?我們還可以構(gòu)造出其他的命題嗎?如何構(gòu)造?利用這種方法,我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎?”根據(jù)學(xué)生的回答,逐步將學(xué)生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化,從而提煉出平行四邊形判定的研究方法,同時(shí)體會(huì)該方法的優(yōu)缺點(diǎn).
在此基礎(chǔ)上,還需要讓學(xué)生進(jìn)一步思考方法一和方法二之間的關(guān)系.方法一和方法二本質(zhì)上是同一種方法,只不過(guò)方法一只能夠構(gòu)造出一部分命題,而方法二能夠構(gòu)造出所有相關(guān)命題.
上述無(wú)論方法一還是方法二,學(xué)生都可以遷移運(yùn)用到后續(xù)圖形判定的研究中.
問(wèn)題3:這些命題都正確嗎?如何證明?
【設(shè)計(jì)意圖】
讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性,經(jīng)歷證明的完整過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.這方面老師們比較重視,處理得也相對(duì)較好,此處不再贅述.但要說(shuō)明的是,在上一個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生構(gòu)造出了很多命題,但并非所有的命題課上都要加以證明,大多數(shù)命題的證明可以留給學(xué)有余力的學(xué)生課后進(jìn)行.
問(wèn)題4:我們是如何研究平行四邊形的判定的?
【設(shè)計(jì)意圖】
回顧并提煉平行四邊形判定的研究過(guò)程,教師可將學(xué)生的回答整理如下:
研究圖形判定的一般過(guò)程及方法研究?jī)?nèi)容尋找除定義外的、判定一個(gè)四邊形是否是平行四邊形的條件研究方向四邊形的邊、角、對(duì)角線之間滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?研究方法怎么得到這個(gè)結(jié)論的?構(gòu)造性質(zhì)定理的逆命題將性質(zhì)進(jìn)行組合,構(gòu)造命題{證明必要性所構(gòu)造的命題正確嗎?證明怎么說(shuō)明所構(gòu)造的命題是否正確呢?
上述結(jié)構(gòu)化的整理可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理清平行四邊形判定的研究過(guò)程及方法、并將其納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,為其以后順向遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中奠定良好的基礎(chǔ).
在解決上述4個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,學(xué)生經(jīng)歷了類比、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)活動(dòng),不僅獲得了平行四邊形判定定理的結(jié)論,更重要的是積累了研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).