楊小麗

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

對(duì)于同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，現(xiàn)如今有著很多種不同的設(shè)計(jì)方案，而且每種設(shè)計(jì)方案看起來(lái)似乎都很好，那老師們備課的時(shí)候，如何對(duì)已有的各種方案進(jìn)行選擇呢？或者如何設(shè)計(jì)出更適合學(xué)生的有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？下面以“平行四邊形的判定”為例，加以闡述.

1 已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案

對(duì)于“平行四邊形的判定”，通過(guò)查閱各版本教材和文獻(xiàn)、以及筆者的課堂觀察，發(fā)現(xiàn)有以下幾種比較有代表性的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案.

方案一逐個(gè)研究三個(gè)判定定理

問(wèn)題1：取四根細(xì)木條，其中兩根長(zhǎng)度相等，另兩根長(zhǎng)度也相等，能否在平面內(nèi)將這四根細(xì)木條首尾順次相接搭成一個(gè)四邊形？說(shuō)說(shuō)你的理由，并與同伴交流.

由上述問(wèn)題得到猜想：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理1.

問(wèn)題2：取兩根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條，你能將它們擺放在一張紙上，使得這兩根細(xì)木條的四個(gè)端點(diǎn)恰好是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)嗎？

由上述問(wèn)題得到猜想：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理2.

接著應(yīng)用定理解決有關(guān)證明問(wèn)題.

問(wèn)題3：如圖1，將兩根木條AC，BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，四邊形ABCD看起來(lái)是平行四邊形.

圖1

由上述問(wèn)題得到猜想：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明后得到判定定理3.

接著應(yīng)用定理解決有關(guān)證明問(wèn)題.

方案二讓學(xué)生畫平行四邊形，敘述畫法，思考所畫的四邊形是否平行四邊形

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們畫一個(gè)平行四邊形.

問(wèn)題2：你是怎么畫的？

問(wèn)題3：怎么判斷你畫的四邊形是平行四邊形呢？

通過(guò)證明得到平行四邊形的判定定理.

方案三從性質(zhì)定理出發(fā)、構(gòu)造逆命題，證明逆命題是否成立

問(wèn)題1：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分，反過(guò)來(lái)，對(duì)邊相等，或?qū)窍嗟?，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說(shuō)，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？

經(jīng)過(guò)證明，發(fā)現(xiàn)這些逆命題都成立，于是得到平行四邊形的3個(gè)判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

問(wèn)題2：我們知道，兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊，他們滿足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能稱為平行四邊形呢？

由上述問(wèn)題得到猜想：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理4.

方案四從性質(zhì)出發(fā)、構(gòu)造命題，證明命題是否成立

問(wèn)題1：如圖2，已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，試用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言，一一寫出該平行四邊形的性質(zhì).

圖2

先由學(xué)生回憶、回答，教師追問(wèn)依據(jù)，然后整理寫出如下8條結(jié)論：(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AB=CD；(4)AD=BC；(5)∠BAD= ∠DCB；(6)∠ABC= ∠ADC；(7)AO=CO；(8)BO=DO.

問(wèn)題2：?jiǎn)栴}1告訴我們，如果已知一個(gè)四邊形是平行四邊形，它就具備上述8條性質(zhì)，那么，反過(guò)來(lái)思考，在上述8條中，具備幾條就可以判斷此四邊形是平行四邊形？試說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生獨(dú)立探究后全班交流結(jié)果.

2 不同數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案的教學(xué)效果及思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)對(duì)平行四邊形判定定理的要求是：探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形1.前述四種數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)方案都能夠達(dá)成上述目標(biāo).那這四種方案不同之處在哪里、教學(xué)中的優(yōu)劣又是什么呢？

方案一對(duì)判定定理逐個(gè)進(jìn)行了探究證明，學(xué)生能夠比較好地掌握單個(gè)判定定理的內(nèi)容和證明.但是這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)在教學(xué)中有以下不足：以問(wèn)題形式呈現(xiàn)的三個(gè)探究活動(dòng)指向性很強(qiáng)，學(xué)生只需要按題目要求操作即可，思維的空間不大，探究的意味不足；此外，三個(gè)問(wèn)題之間缺少關(guān)聯(lián)，學(xué)生體會(huì)不到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.這樣的設(shè)計(jì)不利于學(xué)生掌握研究幾何圖形判定的一般方法，面對(duì)一個(gè)未知的新圖形，如果沒有了老師預(yù)先設(shè)計(jì)好的情境，學(xué)生將無(wú)法展開研究.

方案二建立在學(xué)生原有的基礎(chǔ)之上，能夠充分利用學(xué)生的生成資源.但也存在不足：其一，教學(xué)效果取決于學(xué)生的表現(xiàn)，是否能得到判定定理、得到幾個(gè)判定定理完全依賴于學(xué)生有幾種畫圖方法，如果沒有出現(xiàn)教師期望的畫法，教師只能“告訴”學(xué)生，這就使得探究活動(dòng)的效果大打折扣；其二，教學(xué)效果取決于教師對(duì)學(xué)生思維的挖掘深度，學(xué)生能否獲得研究圖形判定的方法依賴于教師是否能夠?qū)W(xué)生模糊、零散的想法追問(wèn)出來(lái)，并歸納形成較為系統(tǒng)的研究方法.如果教師的教學(xué)只是停留在單個(gè)定理的結(jié)論和證明上，則學(xué)生獲得的也僅僅只是單個(gè)定理的結(jié)論和證明，這樣的教學(xué)處理同樣不利于學(xué)生掌握研究幾何圖形判定的一般方法，面對(duì)一個(gè)未知的新圖形，學(xué)生可能也無(wú)法展開研究.

方案三給出了研究平行四邊形判定的一種方法：構(gòu)造學(xué)過(guò)的平行四邊形性質(zhì)定理的逆命題，然后對(duì)這些逆命題進(jìn)行證明，如若正確，則得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對(duì)新圖形判定的研究中.但不足之處在于：(1)研究方法是“給出”的；(2)判定定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形并不能由上述方法得到.因此，在學(xué)習(xí)該定理的時(shí)候，只能比較突兀地拋出問(wèn)題：我們知道，兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊，他們滿足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能稱為平行四邊形呢？由該問(wèn)題得到猜想：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明后得到判定定理4.這樣的處理方式使得定理4的出現(xiàn)顯得非常不自然，似乎憑空而降.

方案四給出了研究平行四邊形判定的另一種方法：分別按照邊、角、對(duì)角線羅列平行四邊形的所有性質(zhì)(一共8條)，然后將這些性質(zhì)兩兩進(jìn)行組合，構(gòu)造命題(一共28個(gè))，再對(duì)命題進(jìn)行證真或證偽，由此得到平行四邊形的判定定理.這種方法可以遷移到對(duì)新圖形判定的研究中.但該方法工作量比較大，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高，不適合所有的學(xué)生.

3 對(duì)如何選擇和設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)的建議

3.1 有利于學(xué)生積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果[1].李尚志教授也認(rèn)為：一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，更高一點(diǎn)，利用舊知識(shí)生長(zhǎng)新知識(shí)的能力[2].

因此，在平行四邊形判定的教學(xué)中，我們有必要將“積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”作為教學(xué)目標(biāo)之一，希望學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)、進(jìn)一步積累研究圖形判定的經(jīng)驗(yàn)，并能夠?qū)⑦@些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.

我們知道，越基本的方法，適用性就越強(qiáng)，使用范圍就越廣泛，也就越容易遷移.回顧前述四個(gè)方案，只有方案三和方案四的方法最基本，是研究圖形判定常用的方法，有利于學(xué)生積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、并將該方法遷移運(yùn)用到新圖形判定的研究中.

3.2 關(guān)注學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

前面我們提到，方案三、方案四有助于學(xué)生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但實(shí)施起來(lái)卻都有著各自的不足，那究竟如何選擇呢？分析學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)的前提.因此，我們不妨先來(lái)看看學(xué)生的情況.

學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的判定前，學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形、等邊三角形等圖形的判定，已經(jīng)具備了一定的研究圖形判定的經(jīng)驗(yàn).為了進(jìn)一步了解學(xué)生的情況，北師大第四附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)的唐偉老師在上課之前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研.調(diào)研問(wèn)題如下：(1)請(qǐng)你回憶平行四邊形的性質(zhì)有哪些？(2)我們學(xué)過(guò)用什么方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形？(3)請(qǐng)你猜想還有哪些方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，并嘗試證明.

調(diào)查結(jié)果如下：第(1)題正確率100%；第(2)題正確率92.5%；第(3)題結(jié)果(班級(jí)人數(shù)40人)：

猜想內(nèi)容猜想人數(shù)證明人數(shù)1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形31242兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形23103對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形21184一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形975一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形756兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形407一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形208一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形20

依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：(1)學(xué)生對(duì)判定定理的研究并非零起點(diǎn)；(2)學(xué)生得到平行四邊形判定定理的途徑可能有以下兩方面：一是尋找性質(zhì)定理的逆定理(猜想1，2，3)，二是對(duì)平行四邊形的單個(gè)性質(zhì)進(jìn)行組合、構(gòu)造命題(猜想4，5，7，8).也就是說(shuō)，學(xué)生尋找判定定理的方法與上述方案三和方案四不謀而合.因此，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，將更有助于活動(dòng)的實(shí)施及學(xué)生的學(xué)習(xí).

4 設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)

什么才是“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)”？很容易造成的錯(cuò)覺是，“活動(dòng)”就要?jiǎng)邮謱?shí)踐、就要合作、就要小組討論.其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)本身有著與其他學(xué)科不同的特點(diǎn).數(shù)學(xué)活動(dòng)首先是“數(shù)學(xué)”的，所從事的活動(dòng)要有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，到底要不要?jiǎng)邮謱?shí)踐、小組合作等都是形式上的保證3.如何通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解、掌握數(shù)學(xué)的基本研究方法等才是最重要的.數(shù)學(xué)建模是很好的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決過(guò)程也是一個(gè)“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)”.

基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，為了讓學(xué)生掌握研究圖形判定的方法、積累研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，我們可以以問(wèn)題串的形式設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)活動(dòng).

問(wèn)題1：我們有學(xué)過(guò)什么方法可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】

了解學(xué)生對(duì)定義雙重性的認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)的證明尋找邏輯起點(diǎn).

問(wèn)題2：除定義外，還有別的方法可以判定一個(gè)四邊形是平行四邊形嗎？你是如何尋找的？

【設(shè)計(jì)意圖】

教育心理學(xué)一個(gè)最重要的原理是：教師不能只是給學(xué)生以知識(shí)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用自己的頭腦來(lái)建構(gòu)知識(shí)4.因此，問(wèn)題2最核心的目的是：給學(xué)生足夠的時(shí)間調(diào)動(dòng)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行四邊形的判定方法進(jìn)行自主研究，然后通過(guò)師生交流、更重要的是教師通過(guò)對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程的追問(wèn)和挖掘，逐步將學(xué)生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化，從而提煉出平行四邊形判定的研究方法.也就是說(shuō)，研究平行四邊形判定的方法是在師生交流的過(guò)程中自然“生長(zhǎng)”出來(lái)的，而不是教師事先給定的.

從學(xué)生的回答我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要采用以下兩種方法尋找平行四邊形的判定定理：方法一是構(gòu)造性質(zhì)定理的逆定理，方法二是將平行四邊形的單個(gè)性質(zhì)進(jìn)行組合、構(gòu)造命題.

如若學(xué)生采用方法一，教師可以追問(wèn)：“在學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)定理后，構(gòu)造平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題是一種有效的尋找平行四邊形的判定定理的方法.但老師的疑問(wèn)是：平行四邊形的判定定理只有這三個(gè)嗎？利用這種方法，我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎？如果不能，那怎樣才能找到平行四邊形所有的判定定理呢？”以引導(dǎo)學(xué)生思考該研究方法的優(yōu)點(diǎn)和不足.

如若學(xué)生采用方法二，教師可以追問(wèn)：“你是怎么構(gòu)造出這個(gè)命題的？我們還可以構(gòu)造出其他的命題嗎？如何構(gòu)造？利用這種方法，我們能夠找到平行四邊形所有的判定定理嗎？”根據(jù)學(xué)生的回答，逐步將學(xué)生模糊的根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造命題的想法清晰化、結(jié)構(gòu)化，從而提煉出平行四邊形判定的研究方法，同時(shí)體會(huì)該方法的優(yōu)缺點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上，還需要讓學(xué)生進(jìn)一步思考方法一和方法二之間的關(guān)系.方法一和方法二本質(zhì)上是同一種方法，只不過(guò)方法一只能夠構(gòu)造出一部分命題，而方法二能夠構(gòu)造出所有相關(guān)命題.

上述無(wú)論方法一還是方法二，學(xué)生都可以遷移運(yùn)用到后續(xù)圖形判定的研究中.

問(wèn)題3：這些命題都正確嗎？如何證明？

【設(shè)計(jì)意圖】

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，經(jīng)歷證明的完整過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.這方面老師們比較重視，處理得也相對(duì)較好，此處不再贅述.但要說(shuō)明的是，在上一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生構(gòu)造出了很多命題，但并非所有的命題課上都要加以證明，大多數(shù)命題的證明可以留給學(xué)有余力的學(xué)生課后進(jìn)行.

問(wèn)題4：我們是如何研究平行四邊形的判定的？

【設(shè)計(jì)意圖】

回顧并提煉平行四邊形判定的研究過(guò)程，教師可將學(xué)生的回答整理如下：

研究圖形判定的一般過(guò)程及方法研究?jī)?nèi)容尋找除定義外的、判定一個(gè)四邊形是否是平行四邊形的條件研究方向四邊形的邊、角、對(duì)角線之間滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?研究方法怎么得到這個(gè)結(jié)論的?構(gòu)造性質(zhì)定理的逆命題將性質(zhì)進(jìn)行組合,構(gòu)造命題{證明必要性所構(gòu)造的命題正確嗎?證明怎么說(shuō)明所構(gòu)造的命題是否正確呢?

上述結(jié)構(gòu)化的整理可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理清平行四邊形判定的研究過(guò)程及方法、并將其納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，為其以后順向遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中奠定良好的基礎(chǔ).

在解決上述4個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了類比、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅獲得了平行四邊形判定定理的結(jié)論，更重要的是積累了研究圖形判定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).