龔輝斌

(浙江省義烏市第二中學 322000)

學生在課堂上學習的數(shù)學知識，大致上可以區(qū)分為兩個方面：教材知識和拓展知識．前者指的是教材中給出的知識，包括數(shù)學概念及其定義、基本性質和定理、法則等；后者指的是教材中沒有寫出，但可以從教材知識出發(fā)推導而得的數(shù)學知識．作為高中核心課程之一，數(shù)學學科教學時間長，而教材知識相對有限，拓展知識教學具有現(xiàn)實意義．長期以來，把拓展知識課教成解題課的現(xiàn)象比較普遍．許多教師不重視拓展知識產生過程的教學，或者不懂得如何挖掘拓展知識產生過程蘊涵的育人價值，這種現(xiàn)象值得深思.

以拓展知識的應用為主線開展教學，可以拓廣學生的解題范圍，提高學生分析和解決數(shù)學問題的能力，但它對于學生全面和深刻地理解數(shù)學科學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力意義有限，后者恰恰是數(shù)學素養(yǎng)的核心表現(xiàn)．以教材知識為起點，以數(shù)學的內在規(guī)律為依循，引領學生以類似于數(shù)學家的眼光、方法和手段發(fā)現(xiàn)、證明和理解拓展知識，可以使學生領悟數(shù)學的真諦：新問題是怎么產生的？研究問題的策略和方法是怎么來的？我們應該怎樣來把握數(shù)學新知識？等，將對學生的自主發(fā)展產生深遠的影響．我們把這樣一個圍繞拓展知識產生過程的教學簡稱為“產生教學”.

具體地，產生教學該“教”什么？借一斑以窺全豹，以一目盡傳精神．本文以一個平面向量不等式為例，談談筆者的實踐和思考．拋磚引玉，與同行交流．

1 教學生從數(shù)學概念反映的數(shù)量關系角度提出數(shù)學問題

師：前面，我們學習了“平面向量”(人教A版數(shù)學4(必修)第二章)．今天我們來看看能不能從教材內容出發(fā)研究獲得一些新知識．為此，首先要確定研究的對象和角度．數(shù)學概念是數(shù)學的“細胞”，包含著豐富的內涵：不僅指概念個體的涵義，還包括概念之間的內在聯(lián)系．“平面向量”內容數(shù)學概念多，限于篇幅，教材對它們的內在聯(lián)系揭示不太充分．這些概念大多與運算有關，教材先后定義了向量運算的“加法”概念、“減法”概念、“數(shù)乘”概念和“數(shù)量積”概念．其中，加法、減法和數(shù)量積都發(fā)生在兩個向量之間．向量的減法是加法的逆運算，可以互相轉化．為此，我們不妨聚焦向量的“加法”和“數(shù)量積”．非零向量a,b一旦確定，a+b和a·b便跟著確定了，如何研究它們的內在聯(lián)系呢？

生1：a+b是一個向量，a·b是一個數(shù)量，這樣兩個不同質的量，怎么研究呀？

師：有道理！作為一個向量，a+b具有形和數(shù)的雙重屬性．我們暫且“無視”a+b的形的屬性(即“方向”)，而只關注其數(shù)的屬性(即“大小”)如何？也就是說，我們可以來思考|a+b|與a·b的數(shù)量關系．事實上，從數(shù)量關系的角度提出研究問題是數(shù)學科學的根本特點之一.

評注產生教學從提出數(shù)學問題開始．“數(shù)學是玩概念的．[1]”教材中的數(shù)學概念是產生教學的知識基礎，也是提出數(shù)學問題的源頭活水．數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學．從數(shù)量關系的角度引導學生探索教材中數(shù)學概念的內在聯(lián)系，契合了數(shù)學的特點要求，有助于學生形成科學的數(shù)學觀.

2 教學生借助理性分析和特例考察提出數(shù)學猜想

師：數(shù)學發(fā)現(xiàn)一般需經歷“猜想-證明”的過程．合理的猜想并非一拍腦袋而成的，往往需要一定的理性分析．|a+b|和a·b分別表示什么？

教師啟發(fā)學生回想有關概念的定義和幾何意義．學生回答：|a+b|表示平行四邊形一條對角線的長度，a·b表示兩條有向線段的長度、它們的夾角的余弦值這三者的乘積.

師：“普遍性寓于特殊性之中”，我們不妨先考察特殊情形．特殊情形的考察有簡便、有效的特點，是常用的探索方法.

3 教學生以邏輯為工具證明猜想、建構知識

師：數(shù)學發(fā)現(xiàn)不能止步于猜想．換言之，你能嚴格證明上述猜想嗎？

從向量的模的計算入手，結合目標分析，師生合作，課堂上產生了兩種證法.

評注追求嚴謹是數(shù)學的根本特點．上面的證明教學提高了學生關于向量模的計算技能和演繹推理能力，理性精神也獲得提升．正如人教A版數(shù)學選修2-2第二章“推理與證明”的章頭語所說，“合情推理和演繹推理聯(lián)系緊密、相輔相成，成為獲得數(shù)學結論的基本手段．”

師：結合以上證明，我們還可以獲得哪些結論？

回顧證法2，學生得到|a|2+|b|2≥2a·b.教師要求學生進一步思考|a+b|與|a|2+|b|2的關系．由于|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b，在不等式|a|2+|b|2≥2a·b的左、右兩邊同時加上|a|2+|b|2，學生得到2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2.

進一步，教師引導學生以-b代替b，得到上述不等式的“姊妹不等式”：

師生一道總結和體會數(shù)學知識“繁衍”的兩條途徑：邏輯推理和形式變換，感受數(shù)學知識創(chuàng)造的樂趣.

評注在證明猜想的基礎上，教師趁熱打鐵，通過向學生提出新的要求，引導學生獲得系統(tǒng)化的知識．這可以幫助學生更好地把握數(shù)學新知識的本質，學會數(shù)學知識的構建方法．學生將體會到，數(shù)學知識其實“像蘑菇一樣成堆生長著的”，有待于我們去發(fā)現(xiàn)和采擷．

4 教學生在直觀層面理解數(shù)學知識

師：美籍數(shù)學教育家波利亞說過：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著．”[2]你能給出上述不等式的直觀解釋嗎？

圖1

圖2

=|OC|2-|CA|2，

此不等式顯然成立，當且僅當|CA|=0，即A與C重合，也就是a=b時取到等號.

對于不等式|a|2+|b|2≥2a·b，

因為a·b=|OA||OB|cos∠AOB

所以它實際上就是|OA|2+|OB|2≥|OA|2+|OB|2-|AB|2．此不等式顯然成立，當且僅當|AB|=0，即A與B重合，也就是a=b時取到等號.

對于不等式2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2，作以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAMB(圖2)．因為|a|=|OA|，|b|=|AM|，|a+b|=|OM|，所以它實際上就是(|OA|+|AM|)2+(|OA|-|AM|)2≥|OM|2．由于|OA|+|AM|≥|OM|，此不等式顯然成立．當且僅當A是線段OM的中點，即A與B重合，也就是a=b時取到等號.

師：從不等式的結構出發(fā)，借助數(shù)量積的多元表示，我們弄清楚了三個不等式的本來面目：它們不過是數(shù)學常識的形式化表示.

學生感受到，量的幾何表示是基礎，適當?shù)淖冃魏苤匾?，看起來抽象的代?shù)式原來也可以這么淺顯和生動！

評注形式化的數(shù)學表達具有簡潔、準確、深刻的優(yōu)點，但它容易掩蓋數(shù)學內容的本質，使學生敬而遠之．借助代數(shù)量的幾何表示，把抽象的數(shù)學表達轉化為直觀的形態(tài)，不僅便于知識的記憶，也便于學生對知識的理解和應用．圍繞如何單純用線段長度表示a·b，上面的課堂活動客觀上促進了學生對數(shù)量積這一教材知識的多角度理解．

5 教學生以辨證思維發(fā)展數(shù)學知識

學生在獨立思考的基礎上進行了交流，得到：

考察上文的“姊妹不等式”，學生又得到：

師：數(shù)學不等式是靜態(tài)的存在，但如果我們用動態(tài)的眼光、辨證的觀點去看待，則不難發(fā)現(xiàn)冰冷的外表下靈動的一面．它使我們容易捕捉其中的變化規(guī)律，為我們以后靈活和準確地應用它解決數(shù)學問題奠定了基礎.

評注從運動變化的視角審視和處理數(shù)學的量及其關系,是函數(shù)思想的精髓，是重要的數(shù)學方法論．就不等式來說，其左右兩邊可以看作兩個不同的函數(shù)(包括二元函數(shù)，三元函數(shù)等)．當約定其中一邊為常數(shù)時，相當于對自變量(或自變量之間的關系)進行了限制，不等式的另一邊是該限制條件下的函數(shù)．上面的課堂中，教師引領學生以辯證的眼光看待不等式，并獲得系列最值結論，對于學生形成用運動變化觀點思考問題的自覺，學會“以簡馭繁”，具有積極的意義.

6 結束語

教育是指向學生未來發(fā)展的事業(yè),數(shù)學教育需要長遠的目光.同教材知識教學一樣，拓展知識教學應該既教數(shù)學的顯性知識，也教數(shù)學的思維方法，更教數(shù)學的思想觀點．當數(shù)學教師把數(shù)學知識的隱性價值波瀾不驚地融合于學生的知識“再創(chuàng)造”活動，使學生不斷感受數(shù)學的力量、領悟數(shù)學的精神，并且在內心深處愛上數(shù)學的時候，也許意味著數(shù)學教學離真正的成功不遠了．