龔輝斌

(浙江省義烏市第二中學(xué) 322000)

學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，大致上可以區(qū)分為兩個(gè)方面：教材知識和拓展知識．前者指的是教材中給出的知識，包括數(shù)學(xué)概念及其定義、基本性質(zhì)和定理、法則等；后者指的是教材中沒有寫出，但可以從教材知識出發(fā)推導(dǎo)而得的數(shù)學(xué)知識．作為高中核心課程之一，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)時(shí)間長，而教材知識相對有限，拓展知識教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義．長期以來，把拓展知識課教成解題課的現(xiàn)象比較普遍．許多教師不重視拓展知識產(chǎn)生過程的教學(xué)，或者不懂得如何挖掘拓展知識產(chǎn)生過程蘊(yùn)涵的育人價(jià)值，這種現(xiàn)象值得深思.

以拓展知識的應(yīng)用為主線開展教學(xué)，可以拓廣學(xué)生的解題范圍，提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，但它對于學(xué)生全面和深刻地理解數(shù)學(xué)科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力意義有限，后者恰恰是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心表現(xiàn)．以教材知識為起點(diǎn)，以數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律為依循，引領(lǐng)學(xué)生以類似于數(shù)學(xué)家的眼光、方法和手段發(fā)現(xiàn)、證明和理解拓展知識，可以使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦：新問題是怎么產(chǎn)生的？研究問題的策略和方法是怎么來的？我們應(yīng)該怎樣來把握數(shù)學(xué)新知識？等，將對學(xué)生的自主發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．我們把這樣一個(gè)圍繞拓展知識產(chǎn)生過程的教學(xué)簡稱為“產(chǎn)生教學(xué)”.

具體地，產(chǎn)生教學(xué)該“教”什么？借一斑以窺全豹，以一目盡傳精神．本文以一個(gè)平面向量不等式為例，談?wù)劰P者的實(shí)踐和思考．拋磚引玉，與同行交流．

1 教學(xué)生從數(shù)學(xué)概念反映的數(shù)量關(guān)系角度提出數(shù)學(xué)問題

師：前面，我們學(xué)習(xí)了“平面向量”(人教A版數(shù)學(xué)4(必修)第二章)．今天我們來看看能不能從教材內(nèi)容出發(fā)研究獲得一些新知識．為此，首先要確定研究的對象和角度．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”，包含著豐富的內(nèi)涵：不僅指概念個(gè)體的涵義，還包括概念之間的內(nèi)在聯(lián)系．“平面向量”內(nèi)容數(shù)學(xué)概念多，限于篇幅，教材對它們的內(nèi)在聯(lián)系揭示不太充分．這些概念大多與運(yùn)算有關(guān)，教材先后定義了向量運(yùn)算的“加法”概念、“減法”概念、“數(shù)乘”概念和“數(shù)量積”概念．其中，加法、減法和數(shù)量積都發(fā)生在兩個(gè)向量之間．向量的減法是加法的逆運(yùn)算，可以互相轉(zhuǎn)化．為此，我們不妨聚焦向量的“加法”和“數(shù)量積”．非零向量a,b一旦確定，a+b和a·b便跟著確定了，如何研究它們的內(nèi)在聯(lián)系呢？

生1：a+b是一個(gè)向量，a·b是一個(gè)數(shù)量，這樣兩個(gè)不同質(zhì)的量，怎么研究呀？

師：有道理！作為一個(gè)向量，a+b具有形和數(shù)的雙重屬性．我們暫且“無視”a+b的形的屬性(即“方向”)，而只關(guān)注其數(shù)的屬性(即“大小”)如何？也就是說，我們可以來思考|a+b|與a·b的數(shù)量關(guān)系．事實(shí)上，從數(shù)量關(guān)系的角度提出研究問題是數(shù)學(xué)科學(xué)的根本特點(diǎn)之一.

評注產(chǎn)生教學(xué)從提出數(shù)學(xué)問題開始．“數(shù)學(xué)是玩概念的．[1]”教材中的數(shù)學(xué)概念是產(chǎn)生教學(xué)的知識基礎(chǔ)，也是提出數(shù)學(xué)問題的源頭活水．?dāng)?shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)．從數(shù)量關(guān)系的角度引導(dǎo)學(xué)生探索教材中數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系，契合了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)要求，有助于學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀.

2 教學(xué)生借助理性分析和特例考察提出數(shù)學(xué)猜想

師：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一般需經(jīng)歷“猜想-證明”的過程．合理的猜想并非一拍腦袋而成的，往往需要一定的理性分析．|a+b|和a·b分別表示什么？

教師啟發(fā)學(xué)生回想有關(guān)概念的定義和幾何意義．學(xué)生回答：|a+b|表示平行四邊形一條對角線的長度，a·b表示兩條有向線段的長度、它們的夾角的余弦值這三者的乘積.

師：“普遍性寓于特殊性之中”，我們不妨先考察特殊情形．特殊情形的考察有簡便、有效的特點(diǎn)，是常用的探索方法.

3 教學(xué)生以邏輯為工具證明猜想、建構(gòu)知識

師：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不能止步于猜想．換言之，你能嚴(yán)格證明上述猜想嗎？

從向量的模的計(jì)算入手，結(jié)合目標(biāo)分析，師生合作，課堂上產(chǎn)生了兩種證法.

評注追求嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)．上面的證明教學(xué)提高了學(xué)生關(guān)于向量模的計(jì)算技能和演繹推理能力，理性精神也獲得提升．正如人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第二章“推理與證明”的章頭語所說，“合情推理和演繹推理聯(lián)系緊密、相輔相成，成為獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的基本手段．”

師：結(jié)合以上證明，我們還可以獲得哪些結(jié)論？

回顧證法2，學(xué)生得到|a|2+|b|2≥2a·b.教師要求學(xué)生進(jìn)一步思考|a+b|與|a|2+|b|2的關(guān)系．由于|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b，在不等式|a|2+|b|2≥2a·b的左、右兩邊同時(shí)加上|a|2+|b|2，學(xué)生得到2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2.

進(jìn)一步，教師引導(dǎo)學(xué)生以-b代替b，得到上述不等式的“姊妹不等式”：

師生一道總結(jié)和體會(huì)數(shù)學(xué)知識“繁衍”的兩條途徑：邏輯推理和形式變換，感受數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造的樂趣.

評注在證明猜想的基礎(chǔ)上，教師趁熱打鐵，通過向?qū)W生提出新的要求，引導(dǎo)學(xué)生獲得系統(tǒng)化的知識．這可以幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)新知識的本質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建方法．學(xué)生將體會(huì)到，數(shù)學(xué)知識其實(shí)“像蘑菇一樣成堆生長著的”，有待于我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和采擷．

4 教學(xué)生在直觀層面理解數(shù)學(xué)知識

師：美籍?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞說過：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著．”[2]你能給出上述不等式的直觀解釋嗎？

圖1

圖2

=|OC|2-|CA|2，

此不等式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)|CA|=0，即A與C重合，也就是a=b時(shí)取到等號.

對于不等式|a|2+|b|2≥2a·b，

因?yàn)閍·b=|OA||OB|cos∠AOB

所以它實(shí)際上就是|OA|2+|OB|2≥|OA|2+|OB|2-|AB|2．此不等式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=0，即A與B重合，也就是a=b時(shí)取到等號.

對于不等式2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2，作以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAMB(圖2)．因?yàn)閨a|=|OA|，|b|=|AM|，|a+b|=|OM|，所以它實(shí)際上就是(|OA|+|AM|)2+(|OA|-|AM|)2≥|OM|2．由于|OA|+|AM|≥|OM|，此不等式顯然成立．當(dāng)且僅當(dāng)A是線段OM的中點(diǎn)，即A與B重合，也就是a=b時(shí)取到等號.

師：從不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，借助數(shù)量積的多元表示，我們弄清楚了三個(gè)不等式的本來面目：它們不過是數(shù)學(xué)常識的形式化表示.

學(xué)生感受到，量的幾何表示是基礎(chǔ)，適當(dāng)?shù)淖冃魏苤匾?，看起來抽象的代?shù)式原來也可以這么淺顯和生動(dòng)！

評注形式化的數(shù)學(xué)表達(dá)具有簡潔、準(zhǔn)確、深刻的優(yōu)點(diǎn)，但它容易掩蓋數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，使學(xué)生敬而遠(yuǎn)之．借助代數(shù)量的幾何表示，把抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)轉(zhuǎn)化為直觀的形態(tài)，不僅便于知識的記憶，也便于學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用．圍繞如何單純用線段長度表示a·b，上面的課堂活動(dòng)客觀上促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)量積這一教材知識的多角度理解．

5 教學(xué)生以辨證思維發(fā)展數(shù)學(xué)知識

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行了交流，得到：

考察上文的“姊妹不等式”，學(xué)生又得到：

師：數(shù)學(xué)不等式是靜態(tài)的存在，但如果我們用動(dòng)態(tài)的眼光、辨證的觀點(diǎn)去看待，則不難發(fā)現(xiàn)冰冷的外表下靈動(dòng)的一面．它使我們?nèi)菀撞蹲狡渲械淖兓?guī)律，為我們以后靈活和準(zhǔn)確地應(yīng)用它解決數(shù)學(xué)問題奠定了基礎(chǔ).

評注從運(yùn)動(dòng)變化的視角審視和處理數(shù)學(xué)的量及其關(guān)系,是函數(shù)思想的精髓，是重要的數(shù)學(xué)方法論．就不等式來說，其左右兩邊可以看作兩個(gè)不同的函數(shù)(包括二元函數(shù)，三元函數(shù)等)．當(dāng)約定其中一邊為常數(shù)時(shí)，相當(dāng)于對自變量(或自變量之間的關(guān)系)進(jìn)行了限制，不等式的另一邊是該限制條件下的函數(shù)．上面的課堂中，教師引領(lǐng)學(xué)生以辯證的眼光看待不等式，并獲得系列最值結(jié)論，對于學(xué)生形成用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)思考問題的自覺，學(xué)會(huì)“以簡馭繁”，具有積極的意義.

6 結(jié)束語

教育是指向?qū)W生未來發(fā)展的事業(yè),數(shù)學(xué)教育需要長遠(yuǎn)的目光.同教材知識教學(xué)一樣，拓展知識教學(xué)應(yīng)該既教數(shù)學(xué)的顯性知識，也教數(shù)學(xué)的思維方法，更教數(shù)學(xué)的思想觀點(diǎn)．當(dāng)數(shù)學(xué)教師把數(shù)學(xué)知識的隱性價(jià)值波瀾不驚地融合于學(xué)生的知識“再創(chuàng)造”活動(dòng)，使學(xué)生不斷感受數(shù)學(xué)的力量、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精神，并且在內(nèi)心深處愛上數(shù)學(xué)的時(shí)候，也許意味著數(shù)學(xué)教學(xué)離真正的成功不遠(yuǎn)了．