陳子琪

(北京理工大學(xué)附中 100081)

拋物線是一類特殊的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像都是拋物線．拋物線和三角形都是非常重要的幾何圖形，我們知道在拋物線上任取三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成三角形．那如何快速判斷三角形的形狀？本文根據(jù)上面的問(wèn)題，對(duì)拋物線內(nèi)接三角形進(jìn)行探究．為了方便，本文只討論形如y=ax2+bx+c(a>0)的拋物線．

1 拋物線內(nèi)接三角形的基本討論

下面，引入三角形角的形狀和邊長(zhǎng)的關(guān)系判別式．

圖1

三角形ABC如圖1所示，三角形的頂點(diǎn)為A、B和C，三條邊分別為AB、AC和BC，記作△ABC．

在△ABC中，角A為銳角當(dāng)且僅當(dāng)|AB|2+|AC|2-|BC|2>0；A為直角當(dāng)且僅當(dāng)|AB|2+|AC|2-|BC|2=0；A為鈍角當(dāng)且僅當(dāng)|AB|2+|AC|2-|BC|2<0[1]．其中，|AB|、|AC|和|BC|分別表示邊AB、AC和BC的長(zhǎng)度．

角B、C的判定方式和角A類似，根據(jù)角A、B、C的形狀就可以得到△ABC的形狀．

在拋物線y=ax2+bx+c中，最簡(jiǎn)單的形式是y=ax2，因此首先討論拋物線y=ax2內(nèi)接三角形的形狀．

2 y=ax2內(nèi)接三角形形狀探究

圖2

由勾股定理得

利用上面的等式，求得

|AB|2+|AC|2-|BC|2

=2[1+a2(x1+x2)(x1+x3)](x1-x2)(x1-x3)，

類似地，可以求得

|AB|2+|BC|2-|AC|2

=2[1+a2(x2+x1)(x2+x3)](x2-x1)(x2-x3)，

|AC|2+|BC|2-|AB|2

=2[1+a2(x3+x1)(x3+x2)](x3-x1)(x3-x2)．

由于x1>x2>x3，因此

λA·(|AB|2+|AC|2-|BC|2)≥0，

λB·(|AB|2+|BC|2-|AC|2)≤0，

λC·(|AC|2+|BC|2-|AB|2)≥0．

因此，△ABC為銳角三角形當(dāng)且僅當(dāng)λA>0,λB<0且λC>0．

△ABC為直角三角形且A為直角時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)λA=0,λB<0且λC>0．當(dāng)B或C為直角時(shí)，可以得到相似的結(jié)論．

△ABC為鈍角三角形且A為鈍角當(dāng)且僅當(dāng)λA<0,λB<0且λC>0．當(dāng)B或C為鈍角時(shí)，可以得到相似的結(jié)論．

為了敘述方便，當(dāng)一個(gè)三角形是直角或鈍角三角形時(shí)，稱它的直角或鈍角為特殊角．我們引入下面的sgn函數(shù)：

由上面的討論和定義，可以得到下面三角形形狀判定的定理．

定理1記R=sgn(λA)sgn(λB)sgn(λC)，

則當(dāng)R<0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)R=0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)R>0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．并且，若三角形為直角或者鈍角三角形時(shí)，若λA≤0，特殊角為A；若λB≥0，特殊角為B；若λC≤0，特殊角為C．

證明當(dāng)R<0時(shí)，若λA<0，則λBλC>0，則角B或角C中有一個(gè)為鈍角，但角A也是鈍角，這在三角形中不可能成立，由命題1，拋物線上任意不同三點(diǎn)都構(gòu)成三角形，故λA>0；若λB>0，則λC<0，也出現(xiàn)兩個(gè)鈍角，故只能λA>0,λB<0且λC>0．由上面的討論，△ABC為銳角三角形．

同理，當(dāng)R=0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)R>0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．

根據(jù)λA、λB和λC與第一節(jié)三角形角的判別方法的關(guān)系，很容易得到它們和角的形狀之間的關(guān)系．

證畢.

因此，在判定簡(jiǎn)單形式拋物線上內(nèi)接三角形形狀時(shí)，只需計(jì)算λA、λB和λC的值，而且只關(guān)心這個(gè)值與0的關(guān)系，這個(gè)值只與三角形頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和拋物線系數(shù)有關(guān)．利用這個(gè)關(guān)系式不需要求出各定點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，也不需要計(jì)算邊長(zhǎng)．因此，比第一節(jié)提到的三角形形狀判別式簡(jiǎn)單．下面通過(guò)進(jìn)一步討論，化簡(jiǎn)這個(gè)判別式．

3 y=ax2內(nèi)接三角形形狀的進(jìn)一步討論

由上一節(jié)的討論，三角形形狀僅與λA、λB和λC三個(gè)值相關(guān)．

令z1=x1+x2，z2=x1+x3，z3=x2+x3，則

由于x1>x2>x3，可得z1>z2>z3．

在△ABC中，當(dāng)z2>0時(shí)，由z1>z2>z3得z1>z2>0，因此λA>0，故A一定是銳角；當(dāng)z2=0時(shí)，得λA>0和λC>0，故A和C一定是銳角．當(dāng)z2<0時(shí)，C一定是銳角．而且，當(dāng)△ABC不是銳角三角形時(shí)，若λB≥0，則角B一定是特殊角．

經(jīng)過(guò)上面的討論，可以得到下面的定理：

定理2記

S=sgn(T)·sgn(λB)，

則當(dāng)S<0時(shí)，△ABC為銳角三角形；S=0時(shí)，△ABC為直角三角形；S>0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．而且，當(dāng)λB≥0時(shí)，B是特殊角，否則當(dāng)z2>0時(shí)，C是特殊角；當(dāng)z2<0時(shí)，A是特殊角．

證明當(dāng)S<0時(shí)，若λB>0，則T<0成立．則z2≠0，否則T>0；若z2>0，min{0,z2}=0，max{0,z2}=z2，故T=λC，從而λC<0，但是λB>0，可得角B和角C都是鈍角，由三角形最多只有一個(gè)鈍角，這就產(chǎn)生矛盾；類似的，當(dāng)z2<0時(shí)，角A和角B都是鈍角，也產(chǎn)生矛盾．因此λB<0，即角B只能是銳角，故T>0，對(duì)z2正負(fù)進(jìn)行上面類似的討論，可以得到λA>0和λC>0．因此，當(dāng)S<0時(shí)，△ABC為銳角三角形．

類似的方法，可以得到S=0時(shí)，△ABC為直角三角形；S>0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．

當(dāng)△ABC不是銳角三角形時(shí)，若判定△ABC的一個(gè)角是直角或鈍角，那么這個(gè)角就是該三角形的特殊角．這是因?yàn)椤鰽BC最多有一個(gè)特殊角．當(dāng)λB≥0時(shí)，B是△ABC的直角或鈍角，故△ABC的特殊角為B；否則，B一定不是特殊角，當(dāng)z2>0時(shí)，A是銳角，故C是特殊角；類似的，當(dāng)z2<0時(shí)，A是特殊角．

證畢.

上述定理說(shuō)明，當(dāng)判定三角形形狀時(shí)，首先比較x1+x3與0的大小，然后進(jìn)行計(jì)算，可以少計(jì)算判別式λA、λB和λC中的一個(gè)值．這減少了計(jì)算量，因?yàn)榕c0的比較是容易的，但是當(dāng)兩個(gè)數(shù)太大相乘計(jì)算起來(lái)比較麻煩．

4 y=ax2+bx+c上內(nèi)接三角形形狀探究

由于平移前后三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)位置不變，因此平移前后三角形邊長(zhǎng)相等，即平移前后三角形形狀相同．

設(shè)△A′B′C′隨著拋物線化為簡(jiǎn)單形式的平移得到△A″B″C″，頂點(diǎn)A′、B′和C′平移后分別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A″、B″和C″，其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為

此時(shí)△A″B″C″為簡(jiǎn)單形式拋物線上的三角形，而且三角形隨著拋物線的平移不改變形狀，所以可以用判別式R或者S判斷三角形的形狀．

5 拋物線內(nèi)接三角形判定的例子

本節(jié)采用一個(gè)例子說(shuō)明使用判別式R和S判定拋物線內(nèi)接三角形形狀的優(yōu)點(diǎn)．

例1設(shè)拋物線方程為y=3x2+5x+7，

求橫坐標(biāo)分別為11、9和-3三點(diǎn)構(gòu)成的三角形形狀．

解設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為11，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為9，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為-3．

1)使用原方法判別

將A、B和C的橫坐標(biāo)帶入拋線方程，求得

yA=3×112+5×11+7=425，

yB=3×92+5×9+7=295，

yC=3×(-3)2+5×(-3)+7=19．

因此

|AB|2=(11-9)2+(425-295)2=16904，

|AC|2=(11+3)2+(425-19)2=165032，

|BC|2=(9+3)2+(295-19)2=76320．

因此

|AB|2+|AC|2-|BC|2

=16904+165032-76320>0，

|AB|2+|BC|2-|AC|2

=16904+76320-165032<0，

|AC|2+|BC|2-|AB|2

=165032+76320-16904>0．

因此，三角形為鈍角三角形，角B為鈍角．

2)使用判別式R

故λA>0，λB>0和λC>0．因此，三角形為鈍角三角形，角B為鈍角．

3)使用判別式S

故λB>0和λC>0．因此，三角形為鈍角三角形，角B為鈍角．

從上面的例子可以看出，在判定拋物線內(nèi)接三角形形狀時(shí)，采用判別式R和S比原方法簡(jiǎn)單，而且，判別式S比R的計(jì)算更加簡(jiǎn)單．雖然上述例子是對(duì)具體的拋物線和拋物線的點(diǎn)，但是由于判別式R和S適用于任何拋物線的內(nèi)接三角形形狀判定，因此，對(duì)任意的拋物線上任意不同的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形，都可以采用上述流程判定．也就是說(shuō)，對(duì)任意的拋物線內(nèi)接三角形形狀判定，判別式R和S比原方法計(jì)算簡(jiǎn)單，而且，判別式S比R的計(jì)算更加簡(jiǎn)單．

6 結(jié)束語(yǔ)

本文從三角形形狀基本判別方法出發(fā)，研究簡(jiǎn)單拋物線方程內(nèi)接三角形形狀與三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)三角形的平移不變性，得到任意開口向上拋物線內(nèi)接三角形形狀的判別式R和S．判別式S是判別式R的進(jìn)一步簡(jiǎn)化，這兩個(gè)判別式簡(jiǎn)化了判定拋物線內(nèi)接三角形的計(jì)算．