王 坤
(北京市第八十中學(xué) 100102)
對于很多數(shù)學(xué)知識的學(xué)習,不單單是記住一個概念和表述一個知識,而是將知識與方法應(yīng)用于具體的問題,在問題解決的過程中掌握該知識與方法.
探究學(xué)習是基于問題解決的一種學(xué)習方式,在高中數(shù)學(xué)知識的初學(xué)階段,由于學(xué)習時間比較充裕,學(xué)生可以針對當天所講內(nèi)容進行探究學(xué)習,這種探究是一種專項探究,思維容量一般不大.而進入高中數(shù)學(xué)知識的復(fù)習階段,囿于時間的限制,教師一般采用組織多輪復(fù)習的方式,反復(fù)強化已有知識,對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與提升關(guān)注更加的少.
那么如何在復(fù)習階段繼續(xù)通過探究,既復(fù)習知識,又提升思維能力呢?筆者通過多年的教學(xué)實踐,認為可以通過設(shè)計有價值的問題,串接許多相關(guān)的知識,建立不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,織就龐大的知識網(wǎng)絡(luò).
下面就通過一系列問題的解決,設(shè)計一節(jié)高三復(fù)習課(兩課時).
【學(xué)生活動】自主探究最小距離.
【預(yù)設(shè)錯解】部分學(xué)生經(jīng)驗使然,直接將函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等知識機械遷移,認為點(1,2)和(-1,-2)到距離原點O的距離最小值.
【教師點評】知識的遷移需要注意具體的條件,機械的遷移往往產(chǎn)生錯誤的結(jié)論,知識的遷移可以形成猜想,猜想是需要經(jīng)過證明或者檢驗的.問題的解決方法的選擇需要基于目標問題的形式及其與條件的關(guān)系來確定,在本題中,最終的目標涉及兩點距離,而過程目標又涉及均值不等式.
【學(xué)生活動】學(xué)生初步分析,認識問題,從不同角度嘗試組織探究思路.
【學(xué)生活動】學(xué)生作圖時,能夠注意以下幾點:
【猜想1驗證】(以第二種表述為例)
【教師點評】學(xué)習的過程是知識鞏固與擴充的過程,在學(xué)習的過程中,除了鞏固具體的知識,還要熟練解決問題的方法,同時充分調(diào)動對比、類比、歸納、聯(lián)想等思維方式,盡量擴大知識成果的范圍,形成越來越大的知識體系格局.
【學(xué)生活動】結(jié)合圖形,學(xué)生繼續(xù)探究.
【解法指導(dǎo)】證明圖形(或圖象)的對稱性的方法如下:
圖形(或圖象)上的任意點關(guān)于直線(或點)的對稱點依然在該圖形(或圖象)上.
【教師點評】在幾何猜想的形成過程中,應(yīng)熟練使用幾何圖形全等、相似、位似、對稱等關(guān)系與性質(zhì)的表述,熟練使用平移、伸縮等變換.在圖象的性質(zhì)證明方面,廣泛采用坐標分析法,即從圖象上任意點的坐標入手進行,結(jié)合對稱、周期等性質(zhì)的代數(shù)特征,進行證明.
【教師點評】通過本問題的解決,我們明確這樣的結(jié)論:
(1)如果一個圖形C關(guān)于點M中心對稱,同時關(guān)于直線l軸對稱,且直線l經(jīng)過點M,那么經(jīng)過點M的直線l的垂線l′也是圖形C的對稱軸;
(2)如果一個圖形C同時關(guān)于兩條互相垂直的直線l,l′軸對稱,那么圖形C關(guān)于直線l,l′的交點M中心對稱.
問題5通過上述問題,以及一系列猜想,你還想到了什么?
對于猜想4,不再進行證明,而采用幾何畫板直觀驗證.
【學(xué)生活動】結(jié)合兩個提示,選擇恰當?shù)姆椒ㄅc角度,進行知識遷移,形成猜想.
【解法指導(dǎo)】對于猜想5,兩個定點通過什么方法來尋找是證明的關(guān)鍵.
類比雙曲線的幾何性質(zhì),形成下面的研究思路:
最后,用“離心率”乘以“頂點”坐標,得到“焦點”坐標,即兩定點坐標;兩“頂點”距離即為定值.
【猜想5證明】當a>0,b>0時,推導(dǎo)過程如下:
根據(jù)基本不等式,|OP|最小值為
由此可得“雙曲線”的離心率
當a∈R,b≠0的其它情形,結(jié)論類似,在此不再贅述.
【提示2證明】
【猜想6證明】
因此P為線段AB的中點.
知識的類比遷移,可以在不同知識模塊間互通有無,極大地拓寬知識網(wǎng)絡(luò)邊界,在新結(jié)論“創(chuàng)新”過程中,大家可以體會數(shù)學(xué)知識“變與不變”的辯證統(tǒng)一性.
通過上述教學(xué)案例的設(shè)計,我們可以發(fā)現(xiàn),高中總復(fù)習階段,雖然是復(fù)習,但并不意味著知識學(xué)習的原地踏步,在對基礎(chǔ)知識和方法有了初步認識之后,通過問題解決的方式,調(diào)動各種策略性知識的應(yīng)用,可以幫助學(xué)生在應(yīng)用中體會相關(guān)知識的作用與聯(lián)系.如果一味地停留在單獨某一模塊知識上的機械重復(fù),只能僵化學(xué)生思維,無益于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.