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        例談基于問題解決的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

        2017-12-25 00:24:32
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年7期
        關(guān)鍵詞:圖象直線證明

        王 坤

        (北京市第八十中學(xué) 100102)

        對(duì)于很多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),不單單是記住一個(gè)概念和表述一個(gè)知識(shí),而是將知識(shí)與方法應(yīng)用于具體的問題,在問題解決的過程中掌握該知識(shí)與方法.

        探究學(xué)習(xí)是基于問題解決的一種學(xué)習(xí)方式,在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的初學(xué)階段,由于學(xué)習(xí)時(shí)間比較充裕,學(xué)生可以針對(duì)當(dāng)天所講內(nèi)容進(jìn)行探究學(xué)習(xí),這種探究是一種專項(xiàng)探究,思維容量一般不大.而進(jìn)入高中數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)階段,囿于時(shí)間的限制,教師一般采用組織多輪復(fù)習(xí)的方式,反復(fù)強(qiáng)化已有知識(shí),對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與提升關(guān)注更加的少.

        那么如何在復(fù)習(xí)階段繼續(xù)通過探究,既復(fù)習(xí)知識(shí),又提升思維能力呢?筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐,認(rèn)為可以通過設(shè)計(jì)有價(jià)值的問題,串接許多相關(guān)的知識(shí),建立不同知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,織就龐大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

        下面就通過一系列問題的解決,設(shè)計(jì)一節(jié)高三復(fù)習(xí)課(兩課時(shí)).

        【學(xué)生活動(dòng)】自主探究最小距離.

        【預(yù)設(shè)錯(cuò)解】部分學(xué)生經(jīng)驗(yàn)使然,直接將函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等知識(shí)機(jī)械遷移,認(rèn)為點(diǎn)(1,2)和(-1,-2)到距離原點(diǎn)O的距離最小值.

        【教師點(diǎn)評(píng)】知識(shí)的遷移需要注意具體的條件,機(jī)械的遷移往往產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論,知識(shí)的遷移可以形成猜想,猜想是需要經(jīng)過證明或者檢驗(yàn)的.問題的解決方法的選擇需要基于目標(biāo)問題的形式及其與條件的關(guān)系來確定,在本題中,最終的目標(biāo)涉及兩點(diǎn)距離,而過程目標(biāo)又涉及均值不等式.

        【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生初步分析,認(rèn)識(shí)問題,從不同角度嘗試組織探究思路.

        【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生作圖時(shí),能夠注意以下幾點(diǎn):

        【猜想1驗(yàn)證】(以第二種表述為例)

        【教師點(diǎn)評(píng)】學(xué)習(xí)的過程是知識(shí)鞏固與擴(kuò)充的過程,在學(xué)習(xí)的過程中,除了鞏固具體的知識(shí),還要熟練解決問題的方法,同時(shí)充分調(diào)動(dòng)對(duì)比、類比、歸納、聯(lián)想等思維方式,盡量擴(kuò)大知識(shí)成果的范圍,形成越來越大的知識(shí)體系格局.

        【學(xué)生活動(dòng)】結(jié)合圖形,學(xué)生繼續(xù)探究.

        【解法指導(dǎo)】證明圖形(或圖象)的對(duì)稱性的方法如下:

        圖形(或圖象)上的任意點(diǎn)關(guān)于直線(或點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)依然在該圖形(或圖象)上.

        【教師點(diǎn)評(píng)】在幾何猜想的形成過程中,應(yīng)熟練使用幾何圖形全等、相似、位似、對(duì)稱等關(guān)系與性質(zhì)的表述,熟練使用平移、伸縮等變換.在圖象的性質(zhì)證明方面,廣泛采用坐標(biāo)分析法,即從圖象上任意點(diǎn)的坐標(biāo)入手進(jìn)行,結(jié)合對(duì)稱、周期等性質(zhì)的代數(shù)特征,進(jìn)行證明.

        【教師點(diǎn)評(píng)】通過本問題的解決,我們明確這樣的結(jié)論:

        (1)如果一個(gè)圖形C關(guān)于點(diǎn)M中心對(duì)稱,同時(shí)關(guān)于直線l軸對(duì)稱,且直線l經(jīng)過點(diǎn)M,那么經(jīng)過點(diǎn)M的直線l的垂線l′也是圖形C的對(duì)稱軸;

        (2)如果一個(gè)圖形C同時(shí)關(guān)于兩條互相垂直的直線l,l′軸對(duì)稱,那么圖形C關(guān)于直線l,l′的交點(diǎn)M中心對(duì)稱.

        問題5通過上述問題,以及一系列猜想,你還想到了什么?

        對(duì)于猜想4,不再進(jìn)行證明,而采用幾何畫板直觀驗(yàn)證.

        【學(xué)生活動(dòng)】結(jié)合兩個(gè)提示,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅc角度,進(jìn)行知識(shí)遷移,形成猜想.

        【解法指導(dǎo)】對(duì)于猜想5,兩個(gè)定點(diǎn)通過什么方法來尋找是證明的關(guān)鍵.

        類比雙曲線的幾何性質(zhì),形成下面的研究思路:

        最后,用“離心率”乘以“頂點(diǎn)”坐標(biāo),得到“焦點(diǎn)”坐標(biāo),即兩定點(diǎn)坐標(biāo);兩“頂點(diǎn)”距離即為定值.

        【猜想5證明】當(dāng)a>0,b>0時(shí),推導(dǎo)過程如下:

        根據(jù)基本不等式,|OP|最小值為

        由此可得“雙曲線”的離心率

        當(dāng)a∈R,b≠0的其它情形,結(jié)論類似,在此不再贅述.

        【提示2證明】

        【猜想6證明】

        因此P為線段AB的中點(diǎn).

        知識(shí)的類比遷移,可以在不同知識(shí)模塊間互通有無,極大地拓寬知識(shí)網(wǎng)絡(luò)邊界,在新結(jié)論“創(chuàng)新”過程中,大家可以體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)“變與不變”的辯證統(tǒng)一性.

        通過上述教學(xué)案例的設(shè)計(jì),我們可以發(fā)現(xiàn),高中總復(fù)習(xí)階段,雖然是復(fù)習(xí),但并不意味著知識(shí)學(xué)習(xí)的原地踏步,在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法有了初步認(rèn)識(shí)之后,通過問題解決的方式,調(diào)動(dòng)各種策略性知識(shí)的應(yīng)用,可以幫助學(xué)生在應(yīng)用中體會(huì)相關(guān)知識(shí)的作用與聯(lián)系.如果一味地停留在單獨(dú)某一模塊知識(shí)上的機(jī)械重復(fù),只能僵化學(xué)生思維,無益于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.

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