王 坤

(北京市第八十中學 100102)

對于很多數(shù)學知識的學習，不單單是記住一個概念和表述一個知識，而是將知識與方法應用于具體的問題，在問題解決的過程中掌握該知識與方法．

探究學習是基于問題解決的一種學習方式，在高中數(shù)學知識的初學階段，由于學習時間比較充裕，學生可以針對當天所講內(nèi)容進行探究學習，這種探究是一種專項探究，思維容量一般不大．而進入高中數(shù)學知識的復習階段，囿于時間的限制，教師一般采用組織多輪復習的方式，反復強化已有知識，對數(shù)學思維能力的培養(yǎng)與提升關注更加的少．

那么如何在復習階段繼續(xù)通過探究，既復習知識，又提升思維能力呢？筆者通過多年的教學實踐，認為可以通過設計有價值的問題，串接許多相關的知識，建立不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，織就龐大的知識網(wǎng)絡．

下面就通過一系列問題的解決，設計一節(jié)高三復習課(兩課時)．

【學生活動】自主探究最小距離．

【預設錯解】部分學生經(jīng)驗使然，直接將函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等知識機械遷移，認為點(1,2)和(-1，-2)到距離原點O的距離最小值．

【教師點評】知識的遷移需要注意具體的條件，機械的遷移往往產(chǎn)生錯誤的結(jié)論，知識的遷移可以形成猜想，猜想是需要經(jīng)過證明或者檢驗的．問題的解決方法的選擇需要基于目標問題的形式及其與條件的關系來確定，在本題中，最終的目標涉及兩點距離，而過程目標又涉及均值不等式．

【學生活動】學生初步分析，認識問題，從不同角度嘗試組織探究思路．

【學生活動】學生作圖時，能夠注意以下幾點：

【猜想1驗證】(以第二種表述為例)

【教師點評】學習的過程是知識鞏固與擴充的過程，在學習的過程中，除了鞏固具體的知識，還要熟練解決問題的方法，同時充分調(diào)動對比、類比、歸納、聯(lián)想等思維方式，盡量擴大知識成果的范圍，形成越來越大的知識體系格局．

【學生活動】結(jié)合圖形，學生繼續(xù)探究．

【解法指導】證明圖形(或圖象)的對稱性的方法如下：

圖形(或圖象)上的任意點關于直線(或點)的對稱點依然在該圖形(或圖象)上．

【教師點評】在幾何猜想的形成過程中，應熟練使用幾何圖形全等、相似、位似、對稱等關系與性質(zhì)的表述，熟練使用平移、伸縮等變換．在圖象的性質(zhì)證明方面，廣泛采用坐標分析法，即從圖象上任意點的坐標入手進行，結(jié)合對稱、周期等性質(zhì)的代數(shù)特征，進行證明．

【教師點評】通過本問題的解決，我們明確這樣的結(jié)論：

(1)如果一個圖形C關于點M中心對稱，同時關于直線l軸對稱，且直線l經(jīng)過點M，那么經(jīng)過點M的直線l的垂線l′也是圖形C的對稱軸；

(2)如果一個圖形C同時關于兩條互相垂直的直線l,l′軸對稱，那么圖形C關于直線l,l′的交點M中心對稱．

問題5通過上述問題，以及一系列猜想，你還想到了什么？

對于猜想4，不再進行證明，而采用幾何畫板直觀驗證．

【學生活動】結(jié)合兩個提示，選擇恰當?shù)姆椒ㄅc角度，進行知識遷移，形成猜想．

【解法指導】對于猜想5，兩個定點通過什么方法來尋找是證明的關鍵．

類比雙曲線的幾何性質(zhì)，形成下面的研究思路：

最后，用“離心率”乘以“頂點”坐標，得到“焦點”坐標，即兩定點坐標；兩“頂點”距離即為定值．

【猜想5證明】當a>0,b>0時，推導過程如下：

根據(jù)基本不等式，|OP|最小值為

由此可得“雙曲線”的離心率

當a∈R,b≠0的其它情形，結(jié)論類似，在此不再贅述．

【提示2證明】

【猜想6證明】

因此P為線段AB的中點．

知識的類比遷移，可以在不同知識模塊間互通有無，極大地拓寬知識網(wǎng)絡邊界，在新結(jié)論“創(chuàng)新”過程中，大家可以體會數(shù)學知識“變與不變”的辯證統(tǒng)一性．

通過上述教學案例的設計，我們可以發(fā)現(xiàn)，高中總復習階段，雖然是復習，但并不意味著知識學習的原地踏步，在對基礎知識和方法有了初步認識之后，通過問題解決的方式，調(diào)動各種策略性知識的應用，可以幫助學生在應用中體會相關知識的作用與聯(lián)系．如果一味地停留在單獨某一模塊知識上的機械重復，只能僵化學生思維，無益于學生數(shù)學能力的提高．