宋建輝

(福建省福州格致中學(xué) 350001)

本文緣起2016年全國乙卷文科第18題立體幾何解答題，該題實測得分率非常低，堪稱2016年文科考生的“黑色18題”，這一現(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注與思考.

實際上像此類作圖問題，課本中就有，如人教A版必修2第59頁例3，人教A版必修2第63頁B組第1題，人教A版必修2第78頁A組第2題等；歷年的高考試題也不少，如2016年四川理18題；2013年福建理19題；2013年福建文18題；2013年湖北理19題；2013年四川理19題，文19題；2013年安微理15題，文15題；2009年安微理18題；2002年全國高考文科22題.于是我們可以看到，這不是新的題型，但是在高三復(fù)習(xí)時，甚至在高一高二時就被忽視！原因之一是立體幾何作圖問題較少考到，原因之二是廣大教師沒有意識或認(rèn)識到作圖在立體幾何中的教學(xué)價值和問題解決中的作用.本文主要?dú)w納出蘊(yùn)含“推理論證”型的立體幾何的作圖問題，以引起廣大教師的關(guān)注，為高三復(fù)習(xí)帶來一點(diǎn)啟示.

1 正方體的截面

關(guān)于平面截正方體的問題，在初高中的教材均有所呈現(xiàn)，但多數(shù)教師在教學(xué)中基本上采用課件或幾何畫板演示來教學(xué)，而忽視了從作圖(實際操作)角度來進(jìn)行教學(xué)，導(dǎo)致考生在具體情境中仍無法順利解決問題.

例1(2013年安徽理(文)15題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

分析對該題的解答，多數(shù)都是從證明的角度逐一解決，無疑背離了該題的命題意圖和考查目標(biāo)，立足“作圖”，從整體上給予問題的解決，方是本題考查的宗旨.

此題對考生來講并不陌生，甚至似曾相似，但考生完成的并不理想，究其原因就是我們的教學(xué)出了問題，我們只讓學(xué)生“眼觀空想”，而沒有讓學(xué)生實踐操作，真正作圖.該題還可以作為公理3教學(xué)的很好的素材.

該題還可以繼續(xù)拓展：用平面截正方體，①截面何時是三角形？是銳角三角形，鈍角三角形，還是直角三角形？有沒有可能是等腰三角形或等邊三角形？②截面何時是四邊形？并說明四邊形的形狀；③截面會是五邊形？六邊形嗎？我們說，容易的做熟了，就沒有難的了；簡單的做細(xì)了，就沒有復(fù)雜的了，本題的教學(xué)若能從作圖的角度展開，無疑會讓我們的學(xué)生再遇到截面問題就有思路可尋了.

2 平行問題

例2(2015年全國Ⅱ卷文理19題)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4．過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α,與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

(Ⅰ)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(Ⅱ)略.

分析這道題當(dāng)時特別受到大家的好評，一方面是考到了很多年沒有考到的作圖問題，能夠引導(dǎo)大家真正去重視基礎(chǔ)；另一方面，也是因為命題專家認(rèn)為這道題考查了學(xué)生的實踐能力.這道題來源于哪里呢？源于課本，源于人教A版必修2第59頁例3的改編.本題解答要求是不必說明畫法和理由，因此完成它還是比較容易的.

例3(2013年湖北理科19題改編)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).

(Ⅰ)請你畫出平面BEF與平面ABC的交線l，并說明畫法和理由；(Ⅱ)略.

分析本題顯然比例2略難一點(diǎn)，因為圖中只出現(xiàn)了平面BEF與平面ABC的一個公共點(diǎn)B，要畫出交線，則需確定另外一個公共點(diǎn)，那如何畫呢？此時需要考生從理性到感性，從證明回歸作圖，是對空間想象能力完美的考查.

解析連接EF，因為E,F分別是PA,PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，從而易證EF∥平面ABC，而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l，從而AC∥l，故在平面PAC上，過點(diǎn)B作直線l∥AC，l即為所作的平面BEF與平面ABC的交線.

立體幾何中的平行作圖，不同于平面幾何，它需要考生對直線與平面平行的性質(zhì)與判定定理、平面與平面平行的垂直與判定定理的深刻理解，以及較強(qiáng)的空間想象能力.

3 垂直問題

實際上垂直問題比平行問題更難，因為在直觀圖中垂直關(guān)系基本上不能依賴直觀觀察，它的解決需要學(xué)生更強(qiáng)的空間想象能力，推理論證能力和更熟練完備的知識體系.人教A版必修2第78頁A組第2題就是一個垂直的作圖問題，在實踐中學(xué)生就完成不好，下面且看2016年全國乙卷文科第18題分析.

例4(2016年全國乙卷文科第18題)如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，點(diǎn)D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

(Ⅰ)略；(Ⅱ)在答題卡第(18)題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．

解法1在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PC，因此EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC=P，所以EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.(求體積略)

解法2若注意到該題的正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，與正方體這個典型的幾何體相聯(lián)系，將該問題放置在正方體中研究則顯得更為直觀、易證.

如圖，正方體中P-ABC顯然是滿足條件的三棱錐，過點(diǎn)E作EF⊥PA于F，在正方體中，平面PAB⊥平面PAC，且平面PAB∩平面PAC=PA，所以EF⊥平面PAC，即F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

筆者曾將該題給理科生做，同樣也完成得非常不理想，這是我們教學(xué)中長期忽略作圖問題的后果，應(yīng)引起廣大教師的關(guān)注，同時應(yīng)思考我們立體幾何教學(xué)的問題所在.

4 翻折拼接問題

例5(人教A版第73頁練習(xí)改編)如圖，正方形SG1G2G3中，E,F分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE,SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1,G2,G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G.

(1)畫出翻折后幾何體的直觀圖；(2)求證：平面GEF⊥平面GDS.

分析本題源于一節(jié)聽課后的思考.授課教師在上課時，將該題改編為證明平面GEF⊥平面GDS，并給出了翻折后的圖形(如右圖). 對于這道題來說，最難的一點(diǎn)就是，學(xué)生怎樣畫這個立體圖，怎么畫這個立體圖，老師給畫出來了，讓學(xué)生去證，怎么可能證不出來呢？老師給了圖，就背離這道題的命制意圖，它的價值也就大打折扣了.講這道題最理想的方法是，就是讓學(xué)生畫圖，畫圖的過程實質(zhì)就是證明過程，畫完圖，這題也就證明完了.如此，該圖形有以下三種畫法，均體現(xiàn)了對這個翻折前后幾何關(guān)系的深刻理解和把握.

因此該題應(yīng)作如下改編.

問題1：動手操作：請同學(xué)們拿出一張A4紙裁成正方形，根據(jù)題目的要求，折出這個四面體.

問題2：根據(jù)你折成的四面體，畫出四面體S-EFG的直觀圖.

問題3：請你判斷平面GEF垂直于平面GDS嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由.

問題4：你還能提出哪些問題？(預(yù)期：求四面體S-EFG外接球的體積；求點(diǎn)G到平面SEF

的距離；求證：點(diǎn)G在平面SEF的正投影是△SEF的垂心；如果點(diǎn)D是EF上的任意一點(diǎn)，平面GEF⊥平面GDS嗎？……)

以翻折為背景命制的立體幾何試題，隨處可見，但基本上都是給出了翻折后的幾何體的直觀圖，如果讓學(xué)生畫出直觀圖，無疑會加大試題的難度，從更高層面上考查學(xué)生的空間想象能力.至于裁剪拼接問題，在這里就不一一贅述了，讀者可以關(guān)注2002年全國高考文科22題和2013年福建高考理科第19題.

以上這類蘊(yùn)含“推理論證”的立體幾何作圖試題，讓我們看到了與傳統(tǒng)立體幾何解答題不同的、別具一格的嶄新面貌，問題的解決需要學(xué)生綜合運(yùn)用立體幾何知識，對能力要求較高.因此，在高三復(fù)習(xí)階段，尤其在日常教學(xué)中，我們要認(rèn)識到作圖問題是立體幾何中最基礎(chǔ)、最基本的知識，是學(xué)習(xí)立體幾何最重要的基本功，更要重視蘊(yùn)含“推理論證”的立體幾何作圖問題的研究，切忌遇到作圖問題只用課件或幾何畫板讓學(xué)生“眼觀空想”，應(yīng)切實讓學(xué)生動手畫圖，引導(dǎo)學(xué)生理性作圖，我們有理由相信，通過這些作圖問題可以大大提高學(xué)生的空間想象力和推理論證能力，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)立體幾何的核心所在，拓展學(xué)生理性思維的廣度和深度.