趙國瑋 孔德蘭 王文華 馮振舉

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 273165)

以問題引領(lǐng)的方法，通過設(shè)疑、鋪墊、對比、探究、解決等一系列環(huán)環(huán)緊扣的問題，實(shí)現(xiàn)問題情境由三維到一維、二維，再到三維的轉(zhuǎn)變，力求使學(xué)生能在已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，經(jīng)歷“幾何概型”概念形成的過程，并及時(shí)深化鞏固概念，即以概念的初探、形成、深化、鞏固為一條隱形的主線貫穿課堂活動(dòng)的始終.

1 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.1 新課引入，問題提出

同學(xué)們，大家最近有沒有關(guān)注新聞呢？爆發(fā)于美洲的寨卡病毒現(xiàn)在逐漸在歐洲和東南亞等地蔓延開來.這種病毒主要是靠伊蚊的叮咬來傳播給人類的，所以做好伊蚊的預(yù)防和清理工作就十分有必要了.

問題：現(xiàn)在工作人員在一個(gè)空房間內(nèi)(長10m，寬5m，高3m)發(fā)現(xiàn)有一只伊蚊，而專用的滅蚊劑每次只能噴出5m3的氣霧(如圖1).求工作人員隨機(jī)按一下滅蚊劑就能立即把這只伊蚊殺死的概率有多大.(假定伊蚊在房間中等可能地分布著，不考慮工作人員所占房間的體積)

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】聯(lián)系當(dāng)下熱點(diǎn)問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)入課堂的積極性.以求“把這只伊蚊殺死的概率有多大”為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)無法利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲.筆者之所以沒有借用人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修3)》“3.3.1幾何概型”中的引例“轉(zhuǎn)盤問題”為情境引入，原因?qū)⒃诤髷⒃斒?

1.2 拋磚引玉，對比分析

問題1：一段長5m的繩子，上面有四個(gè)點(diǎn)(A,B,C,D)將繩子五等分(如圖2)，從這四個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)處把繩子剪斷，將繩子分成兩段，求長度都不小于2m的概率.

圖2

記事件M為“兩段繩長都不小于2m”，只能在B點(diǎn)或C點(diǎn)把繩子剪斷，所以

【設(shè)計(jì)意圖】由此問題讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧古典概型中基本事件的特點(diǎn)和概率的計(jì)算公式，為接下來提出問題2鋪墊道路.

問題2：一段長5m的繩子，在任意一點(diǎn)處把繩子剪斷，將繩子分成兩段，求長度都不小于2m的概率.

師生活動(dòng)：請同學(xué)們思考一下在這個(gè)問題中基本事件是什么，基本事件有多少個(gè)，基本事件是等可能發(fā)生的嗎？學(xué)生可能的回答是：

基本事件是在任意一點(diǎn)處把繩子剪斷，因?yàn)槔K子上的點(diǎn)有無限個(gè)，所以基本事件有無限多個(gè)；又因?yàn)橐彩窃谌我庖稽c(diǎn)處剪斷的，所以基本事件是等可能發(fā)生的.

對于這個(gè)問題的概率，學(xué)生可能的回答是：

生1：還是記事件M為“兩段繩長都不小于2m”，為了保證這兩段繩長都不小于2m，所以就得分別在距離繩子兩端2m長的部分之中取點(diǎn)(如圖3)，而中間這1m長的繩子中有無限多個(gè)點(diǎn)，所以事件M就包含無限多個(gè)基本事件，而全部基本事件也有無限多個(gè)，所以

但是我并不知道這個(gè)比值是多少.

圖3

生2：剛才那位同學(xué)是用古典概型的概率計(jì)算公式來計(jì)算的，而這個(gè)問題中基本事件有無限個(gè)，所以它不是古典概型，也就不能用古典概型的公式來計(jì)算了.

此時(shí)，根據(jù)學(xué)生產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，適時(shí)點(diǎn)破這一層“窗戶紙”：

師：我們把生1同學(xué)所說的“中間這1m長的繩子中有無限多個(gè)點(diǎn)”這句話，轉(zhuǎn)換角度來看就是“這無限多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了中間1m長的繩子”；而全部基本事件也有無限多個(gè)，這無限多個(gè)基本事件可以構(gòu)成長度為5m的繩子.

經(jīng)過教師引導(dǎo)，學(xué)生自然容易理解事件M發(fā)生的概率就可以用中間繩長比全部繩長來計(jì)算，即

【設(shè)計(jì)意圖】將此問題與問題1形成強(qiáng)烈地對比，引發(fā)學(xué)生思考“基本事件有無限多個(gè)問題怎樣來求呢？”“還能借助古典概型的計(jì)算公式嗎？”“可以轉(zhuǎn)化為什么來求解呢？”從而對這一類概率模型形成初步認(rèn)識，知道在問題2中事件M發(fā)生的概率與構(gòu)成該區(qū)域的長度是成比例的.

問題3：請同學(xué)們對比問題1和問題2，這兩個(gè)問題的基本事件有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？由我們前面的學(xué)習(xí)可以知道，問題1屬于什么概率模型？問題2呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生回顧剛才的問題1和問題2，對異同點(diǎn)的可能回答是(如表1)

表1：兩類問題的對比分析

同時(shí)，學(xué)生容易理解問題1屬于古典概型，而不知道問題2屬于什么概率模型.此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)想，給基本事件有無限多個(gè)的這一類概率模型取一個(gè)名字.學(xué)生可能的回答是：

長度概型——因?yàn)閱栴}2 中是用兩段繩子的長度之比來求的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】“數(shù)學(xué)教學(xué)必須使學(xué)生逐步認(rèn)清概念間的關(guān)系，從而系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識”[1].通過對比問題1和問題2的異同點(diǎn)，達(dá)到“拋磚引玉”的目的.同時(shí)在學(xué)生給該概率模型起名時(shí)，教師不能因?yàn)閷W(xué)生不稱之為“幾何概型”就加以否決.

學(xué)生對概念的認(rèn)識是逐步深入的過程，并非“一蹴而就”，是呈現(xiàn)螺旋式上升的狀態(tài)，契合矛盾的認(rèn)識與解決過程，實(shí)現(xiàn)概念理解的層層遞進(jìn).為了避免學(xué)生將長度之比作為“幾何概型”的本質(zhì)屬性，則應(yīng)使用適當(dāng)?shù)淖兪角榫?，即引入如下的問題.

1.3 實(shí)例探究，概念初探

問題：一艘沒有人的小船自由地漂蕩在圓形湖面(半徑為200m)上，問小船距離岸邊均不小于10m的概率.

師生活動(dòng)：請同學(xué)們思考這個(gè)問題中基本事件是什么，基本事件有多少個(gè)，基本事件是等可能發(fā)生的嗎？學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題與前述“問題2”有相似之處，基本事件都有無限多個(gè)并且都是等可能發(fā)生的.由前攝干擾的影響，學(xué)生可能的回答是：

生1：記事件A為“小船距離岸邊均不小于10m”，則小船的活動(dòng)半徑為190m，所以事件A發(fā)生的概率就可以用小圓直徑比大圓直徑來計(jì)算，即

生2：小船并不是在某一條直徑上漂蕩，它是在整個(gè)湖面上自由漂蕩的，則事件A包含的基本事件可以構(gòu)成半徑為190m的圓，而全部基本事件可以構(gòu)成半徑為200m的圓(如圖4)，所以事件A發(fā)生的概率就是半徑為190m的圓的面積比整個(gè)湖面的面積，即

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】前面由長度之比求出概率并稱之為“長度概型”，而“小船問題”中基本事件同樣具有無限個(gè)、等可能性，卻是利用面積之比來求的概率，引起新的認(rèn)知沖突，使學(xué)生對探究這一類概率模型的熱情持續(xù)升溫.

1.4 解決問題，概念形成

問題：回顧這節(jié)課剛開始時(shí)提出的“伊蚊問題”，你有解題思路了嗎？你是怎樣計(jì)算的？為什么呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合剛才的探究過程，頭腦中對這一類概率模型已經(jīng)有“長度概型”、“面積概型”等意識，面對“伊蚊問題”，學(xué)生可能的回答是：

記事件A為“按一下滅蚊劑就把伊蚊殺死”，也就是伊蚊的位置恰好是在噴出的氣霧內(nèi).因?yàn)檫@只伊蚊在房間內(nèi)的位置是隨機(jī)的，所以用噴出氣霧的體積除以整個(gè)房間的體積就是事件A發(fā)生的概率了，即

“伊蚊問題”中存在許多無關(guān)要素，如“噴出的氣霧擴(kuò)散了怎么辦？”“伊蚊被噴了一下沒死怎么辦？”等等.如果學(xué)生能夠獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并提出，教師應(yīng)予以贊揚(yáng)；如果學(xué)生忽視了這些無關(guān)要素，教師可提示學(xué)生“在這個(gè)問題中，我們考慮一種比較理想的條件——噴出的氣霧在短時(shí)間內(nèi)不會(huì)擴(kuò)散、伊蚊一旦被噴到就會(huì)立即死亡”等等.

此時(shí)教師可主動(dòng)點(diǎn)出學(xué)生的矛盾所在，“我們可以看出，對基本事件有無限個(gè)并且都是等可能發(fā)生的這一類概率模型，在某些情景下，可以用面積或體積之比來計(jì)算事件A發(fā)生的概率，所以把它叫做‘長度概型’是不全面的.但是，長度、面積、體積都是度量幾何圖形的一種方法，不妨我們就把它叫做‘幾何概型’吧”(如表2).

表2 兩種概率模型的對比分析

【設(shè)計(jì)意圖】“現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，(數(shù)學(xué))概念具有發(fā)展性，隨著知識結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生對概念的理解就從具體水平向抽象水平發(fā)展，從日常概念(有時(shí)這種概念是錯(cuò)誤的)向科學(xué)概念發(fā)展”[2].由前述所探究的幾個(gè)例子，歸納總結(jié)出把基本事件有無限個(gè)并且都是等可能發(fā)生的這一類概率模型稱為“幾何概型”.在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，從特殊實(shí)例上升到一般概念，為下面深入、理性地理解概念的內(nèi)涵做好準(zhǔn)備.

1.5 反思提升，概念深化

問題1：除了基本事件有無限個(gè)、都是等可能發(fā)生的這兩個(gè)特點(diǎn)外，幾何概型最主要的特點(diǎn)是什么？事件A發(fā)生的概率只與什么有關(guān)？怎樣來定義幾何概型呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生可能的回答是：

事件A發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件A區(qū)域的長度、面積或體積有關(guān).

回顧古典概型的定義為：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等, 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

但是把具有這兩個(gè)特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，的概率模型稱為幾何概型，并不能突出幾何概型與幾何度量有關(guān)的特點(diǎn)，所以可以把另一個(gè)獨(dú)樹一幟的特點(diǎn)稱為幾何概型的定義，即

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

【設(shè)計(jì)意圖】把區(qū)別于古典概型最明顯的特點(diǎn)稱為幾何概型的定義，讓學(xué)生更進(jìn)一步地理解幾何概型的內(nèi)涵和特殊之處，實(shí)現(xiàn)對幾何概型概念的深化.

問題2：根據(jù)幾何概型的定義和剛剛解決的這幾個(gè)問題，自己總結(jié)幾何概型的概率計(jì)算公式.

師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立總結(jié)，然后教師整理提煉，得到計(jì)算公式為：

1.6 靈活運(yùn)用，概念鞏固

問題1：甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，如圖5，當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝.那么，以這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤為游戲工具，對甲乙兩人來說都是公平的嗎？甲獲勝的概率分別是多大呢？

問題2：取一個(gè)邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖6)，隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.

圖5

圖6

問題3:隨機(jī)地向圖5轉(zhuǎn)盤(2)上扔飛鏢，飛鏢正好插在轉(zhuǎn)盤圓心處的概率是多少？我們知道“不可能事件概率為0”，那么，反之成立嗎——“概率為0的事件一定是不可能事件嗎？”

【設(shè)計(jì)意圖】問題1選自人教版數(shù)學(xué)必修三“3.3.1幾何概型”中P135“問題”.

其一，教材上只問了“在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少”.但筆者認(rèn)為缺少了“公平”這一價(jià)值取向，即可再添加一句“以這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤為游戲工具，對甲乙兩人來說都是公平的嗎”，否則容易使學(xué)生滋生開展不公平游戲的傾向.而幾何概型這一課時(shí)內(nèi)在地是要提高學(xué)生公平、公正的價(jià)值觀和辨別能力，所以有必要再補(bǔ)問這一句.

其二，問題1可用多種方法來解決，比如長度之比、面積之比、角度之比等等，使學(xué)生理解幾何概型的靈活處理之處，不無裨益.

其三，筆者之所以沒有借用此問題1來作為新課的引入，是因?yàn)檫@個(gè)問題很容易引起學(xué)生利用古典概型的概率計(jì)算公式來求解，即求B區(qū)域的個(gè)數(shù)與全部B和N區(qū)域的個(gè)數(shù)之比；并且“由轉(zhuǎn)盤游戲引入幾何概型的教學(xué)，出現(xiàn)種種邏輯漏洞可能是不可避免的”[3]，“轉(zhuǎn)盤模型作為幾何概型概率計(jì)算的合理性解釋沒有問題，但是作為引例引導(dǎo)學(xué)生理解幾何概型和古典概型的區(qū)別不太合適”[4].

回顧學(xué)生在學(xué)習(xí)人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“25.1隨機(jī)事件與概率”這一課時(shí)，很多教師用類似轉(zhuǎn)盤(2)做游戲，讓學(xué)生感受獲獎(jiǎng)的可能性及其可能性大小.學(xué)生由直觀感知甲獲勝的可能性更大，因?yàn)锽有3個(gè)，而N只有2個(gè)，但此時(shí)并不要求學(xué)生理解“幾何概型”，只是處于“感受可能性”狀態(tài).

在必修3“幾何概型”這一課時(shí)，再以轉(zhuǎn)盤為例子引入，學(xué)生首先會(huì)想到用個(gè)數(shù)之比就能求出概率，那么“為什么還要用弧長、面積、角度之比來求呢？幾何概型有用嗎”？從而不利于學(xué)生對幾何概型的掌握和開展古典概型與幾何概型的對比分析.于是筆者將這一“轉(zhuǎn)盤問題”作為概念得出之后、應(yīng)用概念的一個(gè)例子，以期學(xué)生能最大程度地掌握概念、應(yīng)用概念.從另一方面來說，將轉(zhuǎn)盤劃分為幾個(gè)不等分的區(qū)域(但是可按某種方式來度量)可能更好.

問題2選自蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修3)》P107例1.通過解決此問題，引導(dǎo)學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值，即為下一節(jié)課“3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”打下基礎(chǔ).

問題3是為了讓學(xué)生理解“不可能事件”與“概率為0的事件”這二者的不同之處，正確區(qū)分不同概念所表達(dá)的含義，以免混淆.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

其一，從古典概型和幾何概型的定義來看，兩者可謂求同存異.前已詳述，幾何概型不能用古典概型的定義方式來定義，這樣無法突出幾何概型獨(dú)特的特點(diǎn)，最終二者形成各自的定義方式.而考究“古典概型”名字的由來也別具一番風(fēng)味：考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，取“古典”二字，既表示它所處的時(shí)期早，也代表了一種典型的概率模型.

1814年，拉普拉斯在他的著作《概率的分析理論》中給出了著名的概率古典定義，即“概率是有利情況的個(gè)數(shù)與所有可能情況個(gè)數(shù)之比”[5].這可以看作古典概型概率的最原始計(jì)算公式了.

其二，“概率論的誕生，雖然淵源于靠運(yùn)氣取勝的游戲，但在今天，卻已成為人類知識的最重要的一部分”.無論古典概型，還是幾何概型，都與數(shù)學(xué)化有著密不可分的聯(lián)系，尤其是橫向數(shù)學(xué)化——“把生活世界引向符號世界”[6].幾何概型這一課時(shí)，重點(diǎn)之一是使學(xué)生把實(shí)例問題，經(jīng)過抽象，借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號來解決，包括長度、面積、體積、角度等.正確地使用某一種度量方式是關(guān)鍵，即保證基本事件發(fā)生的等可能性(可見蘇教版數(shù)學(xué)必修3中P110，習(xí)題3.3第8題).

其三，本教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞問題的提出、探究、解決、反思與應(yīng)用，結(jié)合概念的初探、形成、深化與鞏固，既實(shí)現(xiàn)過程到對象的轉(zhuǎn)變，又使得二者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中共存，有利于實(shí)現(xiàn)對本質(zhì)概念“幾何概型”的掌握，穩(wěn)固雙基，卻又不失過程與方法，并內(nèi)在地體現(xiàn)公平、公正的情感、態(tài)度與價(jià)值觀.即這是一個(gè)“分析具體例證的共同特征，并從這些共同特征中歸納出概念本質(zhì)特征”[7]的過程.(如圖7)