吳 彤
(江蘇省鹽城市教育局教科院 224000)
日常教學(xué)中,經(jīng)常出現(xiàn)一些“怪”現(xiàn)象,令我們教師費解.如教師認為很簡單的題,學(xué)生卻發(fā)生了高錯誤率;教師認為很好理解的問題,很多學(xué)生卻想不通等等.最近,筆者在高三一輪復(fù)習(xí)中,碰到了兩個不正?,F(xiàn)象,印象非常深刻.
現(xiàn)象之一:一些重要的數(shù)學(xué)公式、定理等,學(xué)生記得,但不知其成因.如向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,由a=(x1,y1),b=(x2,y2),學(xué)生知道a·b=x1x2+y1y2,為什么呢?幾乎無人知曉;余弦定理的公式,學(xué)生基本記得,怎么證明呢?很少有學(xué)生會;若問學(xué)生alogaN等于多少?不少學(xué)生知道等于N,什么原因呢?不知道.這類現(xiàn)象在高三一輪復(fù)習(xí)中,非常普遍.
現(xiàn)象之二:一些問題本應(yīng)該有兩個解題思路,而學(xué)生的方法卻一邊倒.如下題:
題:如圖,海上有A,B兩個小島相距10 km,船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60°,現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進行作業(yè),且OC=BO.設(shè)AC=xkm.
圖
(1)用x分別表示OA2+OB2和OA·OB,并求出x的取值范圍;
(2)晚上小艇在C處發(fā)出一道強烈的光線照射A島,B島至光線CA的距離為BD,求BD的最大值.
問題是第(2)小題,筆者所教班級只有3名學(xué)生完成了解答,全班沒有發(fā)現(xiàn)1名學(xué)生建立坐標(biāo)系,用解析法完成,他們的解析思想都哪里去了?真是令人匪夷所思!他們都是在尋求幾何圖形中的邊角關(guān)系,而本題中的邊角關(guān)系的建立較為靈活,使得絕大多數(shù)學(xué)生以失敗告終.
對現(xiàn)象之一,也許有人認為,這些數(shù)學(xué)結(jié)論,只要學(xué)生能靈活運用就行,能否理解其成因并不重要.這樣的觀點顯然不妥,這是應(yīng)試教育的典型表現(xiàn).在高等數(shù)學(xué)中,確實有不少結(jié)論很難理解,要求學(xué)生記住,能套用公式就行,就像汽車駕駛員一樣,只需要熟練掌握駕駛技術(shù),而不需要掌握汽車原理一樣.但中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容簡單,學(xué)生有必要理清其成因,其實,知識方法的本質(zhì)搞不清楚,也很難靈活運用,就如現(xiàn)象之二,學(xué)生對解析法的本質(zhì)理解不深,而無法把解析法用到幾何問題的解答中去.此外,中小學(xué)數(shù)學(xué)的這點簡單知識,都不弄清其內(nèi)涵而建空中樓閣,學(xué)生將來怎能進一步深造學(xué)習(xí)?
那么,是什么原因造成上述兩個現(xiàn)象的呢?是急功近利的思想在作怪.社會和教育主管部門對學(xué)校的高考期望值很高,學(xué)校向教師要高考成績,加快教學(xué)進度,高中數(shù)學(xué)課程兩年學(xué)完,高三一年復(fù)習(xí).教師為了考試成績,一些重點問題,反復(fù)講,讓學(xué)生反復(fù)練,因為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)試卷題量偏大,要求學(xué)生快速反饋方法,并能熟練準(zhǔn)確運算,這種教學(xué)方法的應(yīng)試效果還就很好.其實,這種快節(jié)奏的教學(xué)方法,淡化了學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解,使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)丟掉了根本!
新課程理念強調(diào)以學(xué)生為主體,得到了廣大教師的認同,大多數(shù)課堂教學(xué)都注意引導(dǎo)學(xué)生思考,讓學(xué)生學(xué)會解決問題.然而,依筆者看,過度引導(dǎo)的課堂教學(xué)比比皆是,不然,學(xué)生自己思考出來的東西,怎么到了高三就蕩然無存的呢?縱觀我們的一些公開課,課堂氣氛活躍,教師問題一出,很多學(xué)生都能回答,全沒有冷場現(xiàn)象,這正常嗎?要么是學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過,他們就是說說答案而已;要么是教師的問題過細,千方百計讓學(xué)生能回答他的問題,也就是筆者所講的“過度引導(dǎo)”.學(xué)生的思考并不深刻,根本談不上探究發(fā)現(xiàn)!試想,一個知識方法的構(gòu)建,哪有這么容易?不少時間花在問題情境上,一半時間花在知識方法運用上,20分鐘左右就生成一些重要的知識方法,難道我們的學(xué)生都是天才嗎?當(dāng)然不是,我們的學(xué)生到了高三,出現(xiàn)上述兩種現(xiàn)象,也就不足為怪了.
不知讀者有沒有注意到,一些快節(jié)奏教學(xué)的教師,他們所教班級平時成績確實不錯,然而高考成績卻平平,有時還不如人意,筆者所在學(xué)校確有此情況. 其原因很簡單,很多知識方法快速生成,甚至直接告訴學(xué)生,速度快,課堂容量就大,學(xué)生成績的提高見效快,但這是一種急功近利的短期效應(yīng),平時考試熟題多,這些班級的學(xué)生熟能生巧,分?jǐn)?shù)高點,而高考有不少新題,這些班級的學(xué)生理解水平、分析能力并不強,分?jǐn)?shù)就不高了.因此,筆者認為,不過度引導(dǎo),真正以學(xué)生為主體,落實好探究教學(xué),為促進學(xué)生的理解而教(見文[1]),這不僅對學(xué)生的高考成績有幫助,對學(xué)生的終生發(fā)展大有裨益.以下結(jié)合一些具體的教學(xué)片段,談?wù)劰P者解決現(xiàn)象一、二的做法,與讀者交流,以期拋磚引玉.
知識方法的生成,重在“自然”.所謂自然生成,筆者是這樣理解的,教師主要指明研究方向,以學(xué)生探究為主,盡量減少過程干預(yù),通過學(xué)生的思考、以及合作交流,順其自然地發(fā)現(xiàn)一些有價值的規(guī)律、定理等,教師再幫助學(xué)生總結(jié)歸納.如學(xué)習(xí)了正弦定理之后,怎樣生成余弦定理呢?筆者將分析以下一個慢生成的教學(xué)過程.
問題1前幾節(jié)課,我們通過探究發(fā)現(xiàn)了正弦定理,并且發(fā)現(xiàn)正弦定理在三角形中有廣泛的應(yīng)用,由此,同學(xué)們能聯(lián)想到什么呢?
有些教師的課堂導(dǎo)入是:“前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦定理,實際上還有余弦定理,本節(jié)課我將和大家一起來探討余弦定理”.這就是過度引導(dǎo),它嚴(yán)重削弱了學(xué)生的問題意識,是教師要求學(xué)生去找余弦定理,而問題1是要讓學(xué)生想到余弦定理.如果學(xué)生長期在類似問題1的熏陶下,他們在發(fā)現(xiàn)正弦定理之后,很可能自己就會主動思考,是不是還有余弦定理和正切定理呢?有學(xué)習(xí)能力的學(xué)生,課后通過自主探究,自己發(fā)現(xiàn)余弦定理或正切定理,那才是更本真的自然生成!比學(xué)生多做幾道關(guān)于“正、余弦定理”的題目,不知要強多少倍!只可惜我們現(xiàn)在的學(xué)生缺乏這種能力.
問題2既然同學(xué)們聯(lián)想到了余弦定理和正切定理,那我們今天先來看看到底有沒有余弦定理,是否有正切定理?大家課后再探討.在三角形中,我們要去找余弦定理,有什么思路入手呢?請同學(xué)們交流研討,看能不能找到探究思路?
如果我們課堂上,經(jīng)常研討類似問題2這種指向性不強的問題(特別是生源好的學(xué)校,更有必要),學(xué)生的研究分析能力會大大增強.雖然難度比較大,但只要我們給足時間,學(xué)生還是能夠找到解決方案的.既然是余弦定理,當(dāng)然要側(cè)重研究三角形內(nèi)角的余弦了,那么如何研究三角形一個內(nèi)角的余弦呢?
方案1:可以作高,在直角三角形中研究一個內(nèi)角的余弦;
方案3:建立平面直角坐標(biāo)系,可以利用三角函數(shù)的定義,也能研究一個內(nèi)角的余弦;
至此,大約需要半節(jié)課左右的時間,但這費時的討論是有意義的,學(xué)生自己思考出來的方法,他們印象深刻,記憶持久.剩下的半節(jié)課,讓學(xué)生根據(jù)3個方案,自主解決發(fā)現(xiàn)余弦定理,學(xué)生代表交流發(fā)現(xiàn)余弦定理的過程,最后總結(jié)歸納余弦定理(其實,一些生源不好的學(xué)校,還未必能完成余弦定理的最終歸納).
也許有人會提出質(zhì)疑,你這節(jié)課課堂結(jié)構(gòu)不完整,沒有余弦定理的運用.確實是沒有運用余弦定理解決三角形問題,但不能說是沒有運用,我們這里運用直角三角形的邊角關(guān)系、運用向量的數(shù)量積、運用解析法等去研究三角形的一個內(nèi)角的余弦,是實實在在的運用,而且是綜合運用.余弦定理的運用放到下一節(jié)課,又何妨呢?慢一點,讓余弦定理自然生成,使學(xué)生深刻理解余弦定理并經(jīng)久不忘,這就是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).
方法的生成教學(xué),其成因是關(guān)鍵,得有道理,否則學(xué)生只能生搬硬套,遇到新情境,就不能靈活運用了.上述現(xiàn)象之二,學(xué)生為什么想不到解析法?因為他們沒有深刻解析法的內(nèi)涵“用代數(shù)的方法解決幾何問題”.新授課中,我們?yōu)槭裁匆芯俊爸本€與圓的方程”以及“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”,得分析清楚道理,才能建立起學(xué)生的解析思想.那么,“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的新授課教學(xué),如何幫助學(xué)生建立解析思想呢?
蘇教版2-1“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)內(nèi)容有一段引言,提出“汽車貯油罐的外輪廓線的形狀像橢圓,是不是橢圓?”,“聚光燈泡的反射鏡等儀器都是運用橢圓的性質(zhì)制造的,怎樣才能精確制造?”.隨后指出,借助橢圓的方程,可以回答上述問題.(詳見文[3])這是一種解析思想的建立,不能一帶而過,我們要創(chuàng)造性地使用教材,讓學(xué)生慢慢思考,逐步內(nèi)化.
與教材一樣,課堂導(dǎo)入從一些實際的橢圓問題入手,也可以替換一些問題,如“過橢圓上一點,怎樣準(zhǔn)確作出橢圓的切線呢?”,雖然高中階段沒有定義橢圓的切線,但學(xué)生肯定認可這樣的問題.然后,提出如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考.
問題1這幾個問題,同學(xué)們能解決嗎?(停頓)那這是一類什么樣的問題呢?
前者,學(xué)生顯然無法回答;后者,讓人感到有點可笑,學(xué)生還不怎么好回答.其實,不就是幾何問題嗎?筆者的目的,就是要讓學(xué)生知道,橢圓的學(xué)習(xí),就是要研究橢圓這個幾何圖形的性質(zhì),為怎樣研究橢圓的幾何性質(zhì)作鋪墊.
問題2前面我們剛剛學(xué)習(xí)過橢圓的定義,現(xiàn)在就要我們研究橢圓的幾何性質(zhì),同學(xué)們有思路嗎?
如果教師直接告訴學(xué)生,借助橢圓的方程,我們可以研究橢圓的幾何性質(zhì),可以解決上述問題,那就是照本宣科,就是過度引導(dǎo),學(xué)生的解析思想就很難建立.事實上,如果學(xué)生在“直線與圓”的學(xué)習(xí)中,解析思想建立的好,就應(yīng)該有不少學(xué)生能回答問題2,否則會冷場,沒有學(xué)生能回答.假如是后者,我們還需要再進行問題的引導(dǎo).
問題3請同學(xué)們思考:在初中,我們已經(jīng)研究過三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì),為什么高中階段,我們還要學(xué)習(xí)直線與圓的方程呢?
讀者試想:我們的學(xué)生能夠回答這樣的問題嗎?他們的解析思想真的建立了嗎?恐怕未必.初中階段研究過這些基本圖形,建立了一套定理體系,由此研究關(guān)于“多邊形和圓”的更復(fù)雜的圖形的幾何性質(zhì),我們稱之為“幾何法”;而高中階段學(xué)習(xí)“直線與圓的方程”,是用代數(shù)的方法研究與“直線和圓”相關(guān)圖形的幾何性質(zhì),是“解析法”.至于多邊形,它是由線段構(gòu)成的,只要研究直線的方程即可.
如此,再讓學(xué)生思考問題2,就容易了.對于橢圓,才剛學(xué)習(xí)過它的定義,根本無法用幾何法研究其幾何性質(zhì),我們可以建立坐標(biāo)系,研究其方程,通過方程計算處理研究幾何性質(zhì).總之,這里教學(xué)一定要慢一點,多讓學(xué)生思考,為什么要研究橢圓的方程?讓學(xué)生領(lǐng)悟解析思想,知道解析法的用途,就是解決幾何問題的,面對一個幾何問題,我們有兩個思考方向:一個是幾何法;一個是解析法.這會耗去不少教學(xué)時間,知識的運用會減少,但這是根本,不能忽視.如果我們的學(xué)生只會做所謂的“解幾題”,沒有建立坐標(biāo)系的幾何題,他們只能想到幾何法,那我們高中的數(shù)學(xué)教學(xué)是不是很失敗呢?其實,哪有什么“解幾題”?幾何問題是客觀存在的,坐標(biāo)系是為了研究幾何圖形而人為建立的,是一種方法,是要我們?nèi)ミ\用的.
如果高一、高二將課堂節(jié)奏放慢,充分尊重學(xué)生的主體地位,不過度引導(dǎo),以學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)為主,那么,學(xué)生對知識方法的理解水平必然有較大的提升.但我們面對的是不同層次的學(xué)生,總會存在一些學(xué)生理解不到位的情況,他們的知識方法或多或少還會存在一些漏洞,當(dāng)然這些漏洞,在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中,我們還需要幫助學(xué)生彌補.高三教學(xué)不能僅僅是知識的回歸,要深化理解知識體系;不能僅僅是題型的總結(jié)歸納以及機械重復(fù)的訓(xùn)練,要突出問題的分析,突出學(xué)生的思維過程,要讓學(xué)生領(lǐng)悟方法的內(nèi)涵,達到靈活運用的目的.縱觀各類中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類雜志,發(fā)現(xiàn)有不少教師提出高三復(fù)習(xí)“一課一題”的教學(xué)方法,筆者非常認同這種教學(xué)方法,一節(jié)課強化分析一、兩個問題,透徹理解其中所涉及的知識方法,有助于學(xué)生的靈活運用.就如上文現(xiàn)象之二的那道題,其中第(2)小題,學(xué)生的正確率很低,需要加強分析引導(dǎo).
問題1在第(1)小題中,我們已經(jīng)用x表示了OA2+OB2和OA·OB,并求出了變量x的范圍,現(xiàn)在第(2)小題要研究BD的最大值,我們的解題目標(biāo)是什么呢?
日常的備課組聽課中,我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師的處理方法是,先請學(xué)生談方法,并問學(xué)生:你是怎么想到這個方法的?讓學(xué)生談思維過程,教師幫助補充分析,然后進行方法的自總結(jié)歸納.對此,筆者認為有點操之過急,部分學(xué)生的解題方法及其思維過程,其他學(xué)生未必能順利內(nèi)化.有必要從解題方向上進行思維監(jiān)控,讓學(xué)生先從整體上把握解題方向,再進行具體分析.問題1,要學(xué)生分析解題目標(biāo),怎樣求BD的最大值呢?第(1)小題選取了變量x,并求出其范圍,因此,若能建立BD關(guān)于x的函數(shù)f(x),就可以求其最大值.這既是一種理性分析,也是一種解題經(jīng)驗的分析,即要注意各個小題間的關(guān)聯(lián).
問題2怎樣用變量x表示BD建立函數(shù)f(x)呢?我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們都非常注重尋找圖形中邊角關(guān)系,但由于其復(fù)雜性,很多同學(xué)難以建立邊角關(guān)系式而失??;只有少數(shù)同學(xué)找到了簡潔的邊角關(guān)系而迅速完成函數(shù)關(guān)系的建立.同學(xué)們注意,你們解決這個幾何問題,缺少了一個方向性思考,你們再想想,少了一個什么解題方向?
現(xiàn)象之二說明學(xué)生解析思想建立的缺失,面對純粹的幾何題,想也不想就直接找邊角關(guān)系而不能自拔,問題2的目的就是要讓學(xué)生思考,對幾何題而言,除了這種幾何法外,還有另一個研究方向,用代數(shù)方法解決幾何問題,即解析法.問題2的提問有點瑣碎,但簡潔的提問,學(xué)生又無從思考,如“這樣的幾何問題,我們有哪些思考方向呢?”,學(xué)生往往只回答自己的思考方法,不得已,統(tǒng)稱為“邊角關(guān)系的思考”即幾何法,這樣再讓他們思考另一個解題方向,目的是要讓他們恍然大悟,原來我們忘記了一個重要的方法,即“解析法”.最后作方向性思考的總結(jié),面對一道純粹的幾何題,我們應(yīng)有兩個解題方向,一是幾何法,側(cè)重于幾何關(guān)系的建立,以尋找邊角關(guān)系為主;二是解析法,側(cè)重于代數(shù)運算,主要是建立坐標(biāo)系,以坐標(biāo)運算為主.當(dāng)然,幾何法與解析法也不是完全割裂的,如坐標(biāo)系下研究直線與圓的問題,我們也可以適當(dāng)運用一些圓的基本性質(zhì),以簡化運算.
問題2的研究后,先讓學(xué)生用解析法完成這道題,要讓他們體會解析法的思路,思路很清晰,運算也不很難,要讓他們知道,解決問題不能一棵樹上吊死,要多方向思考.最后,再讓部分學(xué)生談?wù)剮缀畏ǖ乃伎歼^程,教師作一些總結(jié)性分析等等.
兩個現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn),以及幾個教學(xué)案例的分析,筆者對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有以下幾點思考,與讀者研討,以期拋磚引玉.
(1)數(shù)學(xué)教學(xué),不要丟掉根本.讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識和重要的數(shù)學(xué)思想方法,并學(xué)會運用這些基本知識方法思考解決問題,是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù),這些知識方法的生成過程是教學(xué)的根本,如果高考之后,學(xué)生不從事數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)工作,他們高中所學(xué)習(xí)的知識方法很快就遺忘了,那其實就是根本不牢.筆者對高中階段數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí),一直歷歷在目,記得有一節(jié)課,我們高二數(shù)學(xué)老師,在黑板上畫了一排小矩形,他問道:假設(shè)這是一排磚塊,現(xiàn)在要讓它們?nèi)康瓜?,需要滿足什么條件呢?然后讓我們討論,學(xué)生代表發(fā)言,教師提取有效信息總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法,課堂氣氛很活躍.這其實就是現(xiàn)在的探究教學(xué)理念,教學(xué)效果很好,那為什么現(xiàn)在還會出現(xiàn)上述現(xiàn)象之一的呢?可能與我們問題過細、引導(dǎo)過度有關(guān);與我們舍不得花時間讓學(xué)生討論有關(guān),大型公開課還行,平時上課只是象征性地讓學(xué)生討論,要節(jié)省時間進行知識方法的運用.其實,我們教師不缺少教學(xué)理念,只要我們合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,合理設(shè)問,讓學(xué)生充分思考,應(yīng)該不會丟失數(shù)學(xué)根本.
(2)讓課堂節(jié)奏慢下來,促進學(xué)生的理解.不知讀者有沒有注意這樣一個現(xiàn)象,當(dāng)我們與考試有問題的學(xué)生交流時,有不少學(xué)生都表示上課聽得懂,這就是我們所講的“懂而不會”的現(xiàn)象.為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢?學(xué)生雖然聽懂了知識方法,但他們未必真懂其內(nèi)涵,“依葫蘆畫瓢”還行,問題一變,就不能靈活運用了.因此,我們的課堂教學(xué)不僅僅是讓學(xué)生聽得懂,還要讓學(xué)生真正地理解,有必要讓課堂節(jié)奏慢下來,認真落實課程理念,尊重學(xué)生、注重探究教學(xué).知識方法的生成,不能引導(dǎo)過度,要不惜時間充分引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn),他們的理解自然深刻,不僅能記憶持久,還能激發(fā)學(xué)生的探究熱情;例題教學(xué)要少而精,題型講得多,學(xué)生見識廣,短時間內(nèi)可能有效,時間一長,仍然不會,不如一節(jié)課只講一、兩個問題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考,真正把問題研究透徹了,這樣逐步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,即使問題變化,但所用的知識方法不變,他們還是能夠解決.
(3)提高自身的專業(yè)素養(yǎng).一名數(shù)學(xué)教師要教好學(xué)生,要具備兩個條件:一是要有較強的專業(yè)素養(yǎng),僅僅會解題是不夠的,要能站得高看得遠,他所教的學(xué)生才能視野開闊,問題的認識才深刻;二是要會教,要有較強的教育教學(xué)理論知識,要有先進的教學(xué)理念,他所教的學(xué)生接受能力才強,接受速度才快.因此,我們要積極參加一些正規(guī)的教學(xué)研討活動,多聆聽那些專家的教學(xué)指導(dǎo);要多閱讀一些數(shù)學(xué)專業(yè)書籍,加強自身的認識水平;要多訂閱一些中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類雜志,拓寬視野,一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容,大家都教過,人家卻整理發(fā)表了,與我們?nèi)粘5慕谭ㄓ惺裁床煌恳粋€數(shù)學(xué)問題,我們都研究過,為什么人家能成文發(fā)表?作者的理解比我們深刻嗎?多學(xué)習(xí)、多研究,我們的專業(yè)素養(yǎng)定能提高,我們教出的學(xué)生定能更優(yōu)秀!