吳 彤

(江蘇省鹽城市教育局教科院 224000)

1 不正?，F(xiàn)象

日常教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)一些“怪”現(xiàn)象，令我們教師費解.如教師認為很簡單的題，學(xué)生卻發(fā)生了高錯誤率；教師認為很好理解的問題，很多學(xué)生卻想不通等等.最近，筆者在高三一輪復(fù)習(xí)中，碰到了兩個不正?，F(xiàn)象，印象非常深刻.

現(xiàn)象之一：一些重要的數(shù)學(xué)公式、定理等，學(xué)生記得，但不知其成因.如向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，由a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，學(xué)生知道a·b=x1x2+y1y2，為什么呢？幾乎無人知曉；余弦定理的公式，學(xué)生基本記得，怎么證明呢？很少有學(xué)生會；若問學(xué)生alogaN等于多少？不少學(xué)生知道等于N，什么原因呢？不知道.這類現(xiàn)象在高三一輪復(fù)習(xí)中，非常普遍.

現(xiàn)象之二：一些問題本應(yīng)該有兩個解題思路，而學(xué)生的方法卻一邊倒.如下題：

題：如圖，海上有A,B兩個小島相距10 km，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60°，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進行作業(yè)，且OC=BO.設(shè)AC=xkm.

圖

(1)用x分別表示OA2+OB2和OA·OB，并求出x的取值范圍；

(2)晚上小艇在C處發(fā)出一道強烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值.

問題是第(2)小題，筆者所教班級只有3名學(xué)生完成了解答，全班沒有發(fā)現(xiàn)1名學(xué)生建立坐標(biāo)系，用解析法完成，他們的解析思想都哪里去了？真是令人匪夷所思！他們都是在尋求幾何圖形中的邊角關(guān)系，而本題中的邊角關(guān)系的建立較為靈活，使得絕大多數(shù)學(xué)生以失敗告終.

2 原因分析

對現(xiàn)象之一，也許有人認為，這些數(shù)學(xué)結(jié)論，只要學(xué)生能靈活運用就行，能否理解其成因并不重要.這樣的觀點顯然不妥，這是應(yīng)試教育的典型表現(xiàn).在高等數(shù)學(xué)中，確實有不少結(jié)論很難理解，要求學(xué)生記住，能套用公式就行，就像汽車駕駛員一樣，只需要熟練掌握駕駛技術(shù)，而不需要掌握汽車原理一樣.但中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容簡單，學(xué)生有必要理清其成因，其實，知識方法的本質(zhì)搞不清楚，也很難靈活運用，就如現(xiàn)象之二，學(xué)生對解析法的本質(zhì)理解不深，而無法把解析法用到幾何問題的解答中去.此外，中小學(xué)數(shù)學(xué)的這點簡單知識，都不弄清其內(nèi)涵而建空中樓閣，學(xué)生將來怎能進一步深造學(xué)習(xí)？

那么，是什么原因造成上述兩個現(xiàn)象的呢？是急功近利的思想在作怪.社會和教育主管部門對學(xué)校的高考期望值很高，學(xué)校向教師要高考成績，加快教學(xué)進度，高中數(shù)學(xué)課程兩年學(xué)完，高三一年復(fù)習(xí).教師為了考試成績，一些重點問題，反復(fù)講，讓學(xué)生反復(fù)練，因為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)試卷題量偏大，要求學(xué)生快速反饋方法，并能熟練準(zhǔn)確運算，這種教學(xué)方法的應(yīng)試效果還就很好.其實，這種快節(jié)奏的教學(xué)方法，淡化了學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)丟掉了根本！

新課程理念強調(diào)以學(xué)生為主體，得到了廣大教師的認同，大多數(shù)課堂教學(xué)都注意引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生學(xué)會解決問題.然而，依筆者看，過度引導(dǎo)的課堂教學(xué)比比皆是，不然，學(xué)生自己思考出來的東西，怎么到了高三就蕩然無存的呢？縱觀我們的一些公開課，課堂氣氛活躍，教師問題一出，很多學(xué)生都能回答，全沒有冷場現(xiàn)象，這正常嗎？要么是學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過，他們就是說說答案而已；要么是教師的問題過細，千方百計讓學(xué)生能回答他的問題，也就是筆者所講的“過度引導(dǎo)”.學(xué)生的思考并不深刻，根本談不上探究發(fā)現(xiàn)！試想，一個知識方法的構(gòu)建，哪有這么容易？不少時間花在問題情境上，一半時間花在知識方法運用上，20分鐘左右就生成一些重要的知識方法，難道我們的學(xué)生都是天才嗎？當(dāng)然不是，我們的學(xué)生到了高三，出現(xiàn)上述兩種現(xiàn)象，也就不足為怪了.

3 教學(xué)案例分析

不知讀者有沒有注意到，一些快節(jié)奏教學(xué)的教師，他們所教班級平時成績確實不錯，然而高考成績卻平平，有時還不如人意，筆者所在學(xué)校確有此情況. 其原因很簡單，很多知識方法快速生成，甚至直接告訴學(xué)生，速度快，課堂容量就大，學(xué)生成績的提高見效快，但這是一種急功近利的短期效應(yīng)，平時考試熟題多，這些班級的學(xué)生熟能生巧，分?jǐn)?shù)高點，而高考有不少新題，這些班級的學(xué)生理解水平、分析能力并不強，分?jǐn)?shù)就不高了.因此，筆者認為，不過度引導(dǎo)，真正以學(xué)生為主體，落實好探究教學(xué)，為促進學(xué)生的理解而教(見文[1])，這不僅對學(xué)生的高考成績有幫助，對學(xué)生的終生發(fā)展大有裨益.以下結(jié)合一些具體的教學(xué)片段，談?wù)劰P者解決現(xiàn)象一、二的做法，與讀者交流，以期拋磚引玉.

3.1 不過度引導(dǎo) 自然生成

知識方法的生成，重在“自然”.所謂自然生成，筆者是這樣理解的，教師主要指明研究方向，以學(xué)生探究為主，盡量減少過程干預(yù)，通過學(xué)生的思考、以及合作交流，順其自然地發(fā)現(xiàn)一些有價值的規(guī)律、定理等，教師再幫助學(xué)生總結(jié)歸納.如學(xué)習(xí)了正弦定理之后，怎樣生成余弦定理呢？筆者將分析以下一個慢生成的教學(xué)過程.

問題1前幾節(jié)課，我們通過探究發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并且發(fā)現(xiàn)正弦定理在三角形中有廣泛的應(yīng)用，由此，同學(xué)們能聯(lián)想到什么呢？

有些教師的課堂導(dǎo)入是：“前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦定理，實際上還有余弦定理，本節(jié)課我將和大家一起來探討余弦定理”.這就是過度引導(dǎo)，它嚴(yán)重削弱了學(xué)生的問題意識，是教師要求學(xué)生去找余弦定理，而問題1是要讓學(xué)生想到余弦定理.如果學(xué)生長期在類似問題1的熏陶下，他們在發(fā)現(xiàn)正弦定理之后，很可能自己就會主動思考，是不是還有余弦定理和正切定理呢？有學(xué)習(xí)能力的學(xué)生，課后通過自主探究，自己發(fā)現(xiàn)余弦定理或正切定理，那才是更本真的自然生成！比學(xué)生多做幾道關(guān)于“正、余弦定理”的題目，不知要強多少倍！只可惜我們現(xiàn)在的學(xué)生缺乏這種能力.

問題2既然同學(xué)們聯(lián)想到了余弦定理和正切定理，那我們今天先來看看到底有沒有余弦定理，是否有正切定理？大家課后再探討.在三角形中，我們要去找余弦定理，有什么思路入手呢？請同學(xué)們交流研討，看能不能找到探究思路？

如果我們課堂上，經(jīng)常研討類似問題2這種指向性不強的問題(特別是生源好的學(xué)校，更有必要)，學(xué)生的研究分析能力會大大增強.雖然難度比較大，但只要我們給足時間，學(xué)生還是能夠找到解決方案的.既然是余弦定理，當(dāng)然要側(cè)重研究三角形內(nèi)角的余弦了，那么如何研究三角形一個內(nèi)角的余弦呢？

方案1：可以作高，在直角三角形中研究一個內(nèi)角的余弦；

方案3：建立平面直角坐標(biāo)系，可以利用三角函數(shù)的定義，也能研究一個內(nèi)角的余弦；

至此，大約需要半節(jié)課左右的時間，但這費時的討論是有意義的，學(xué)生自己思考出來的方法，他們印象深刻，記憶持久.剩下的半節(jié)課，讓學(xué)生根據(jù)3個方案，自主解決發(fā)現(xiàn)余弦定理，學(xué)生代表交流發(fā)現(xiàn)余弦定理的過程，最后總結(jié)歸納余弦定理(其實，一些生源不好的學(xué)校，還未必能完成余弦定理的最終歸納).

也許有人會提出質(zhì)疑，你這節(jié)課課堂結(jié)構(gòu)不完整，沒有余弦定理的運用.確實是沒有運用余弦定理解決三角形問題，但不能說是沒有運用，我們這里運用直角三角形的邊角關(guān)系、運用向量的數(shù)量積、運用解析法等去研究三角形的一個內(nèi)角的余弦，是實實在在的運用，而且是綜合運用.余弦定理的運用放到下一節(jié)課，又何妨呢？慢一點，讓余弦定理自然生成，使學(xué)生深刻理解余弦定理并經(jīng)久不忘，這就是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

3.2 不過度引導(dǎo) 注重成因

方法的生成教學(xué)，其成因是關(guān)鍵，得有道理，否則學(xué)生只能生搬硬套，遇到新情境，就不能靈活運用了.上述現(xiàn)象之二，學(xué)生為什么想不到解析法？因為他們沒有深刻解析法的內(nèi)涵“用代數(shù)的方法解決幾何問題”.新授課中，我們?yōu)槭裁匆芯俊爸本€與圓的方程”以及“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，得分析清楚道理，才能建立起學(xué)生的解析思想.那么，“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的新授課教學(xué)，如何幫助學(xué)生建立解析思想呢？

蘇教版2-1“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)內(nèi)容有一段引言，提出“汽車貯油罐的外輪廓線的形狀像橢圓，是不是橢圓？”，“聚光燈泡的反射鏡等儀器都是運用橢圓的性質(zhì)制造的，怎樣才能精確制造？”.隨后指出，借助橢圓的方程，可以回答上述問題.(詳見文[3])這是一種解析思想的建立，不能一帶而過，我們要創(chuàng)造性地使用教材，讓學(xué)生慢慢思考，逐步內(nèi)化.

與教材一樣，課堂導(dǎo)入從一些實際的橢圓問題入手，也可以替換一些問題，如“過橢圓上一點，怎樣準(zhǔn)確作出橢圓的切線呢？”，雖然高中階段沒有定義橢圓的切線，但學(xué)生肯定認可這樣的問題.然后，提出如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題1這幾個問題，同學(xué)們能解決嗎？(停頓)那這是一類什么樣的問題呢？

前者，學(xué)生顯然無法回答；后者，讓人感到有點可笑，學(xué)生還不怎么好回答.其實，不就是幾何問題嗎？筆者的目的，就是要讓學(xué)生知道，橢圓的學(xué)習(xí)，就是要研究橢圓這個幾何圖形的性質(zhì)，為怎樣研究橢圓的幾何性質(zhì)作鋪墊.

問題2前面我們剛剛學(xué)習(xí)過橢圓的定義，現(xiàn)在就要我們研究橢圓的幾何性質(zhì)，同學(xué)們有思路嗎？

如果教師直接告訴學(xué)生，借助橢圓的方程，我們可以研究橢圓的幾何性質(zhì)，可以解決上述問題，那就是照本宣科，就是過度引導(dǎo)，學(xué)生的解析思想就很難建立.事實上，如果學(xué)生在“直線與圓”的學(xué)習(xí)中，解析思想建立的好，就應(yīng)該有不少學(xué)生能回答問題2，否則會冷場，沒有學(xué)生能回答.假如是后者，我們還需要再進行問題的引導(dǎo).

問題3請同學(xué)們思考：在初中，我們已經(jīng)研究過三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，為什么高中階段，我們還要學(xué)習(xí)直線與圓的方程呢？

讀者試想：我們的學(xué)生能夠回答這樣的問題嗎？他們的解析思想真的建立了嗎？恐怕未必.初中階段研究過這些基本圖形，建立了一套定理體系，由此研究關(guān)于“多邊形和圓”的更復(fù)雜的圖形的幾何性質(zhì)，我們稱之為“幾何法”；而高中階段學(xué)習(xí)“直線與圓的方程”，是用代數(shù)的方法研究與“直線和圓”相關(guān)圖形的幾何性質(zhì)，是“解析法”.至于多邊形，它是由線段構(gòu)成的，只要研究直線的方程即可.

如此，再讓學(xué)生思考問題2，就容易了.對于橢圓，才剛學(xué)習(xí)過它的定義，根本無法用幾何法研究其幾何性質(zhì)，我們可以建立坐標(biāo)系，研究其方程，通過方程計算處理研究幾何性質(zhì).總之，這里教學(xué)一定要慢一點，多讓學(xué)生思考，為什么要研究橢圓的方程？讓學(xué)生領(lǐng)悟解析思想，知道解析法的用途，就是解決幾何問題的，面對一個幾何問題，我們有兩個思考方向：一個是幾何法；一個是解析法.這會耗去不少教學(xué)時間，知識的運用會減少，但這是根本，不能忽視.如果我們的學(xué)生只會做所謂的“解幾題”，沒有建立坐標(biāo)系的幾何題，他們只能想到幾何法，那我們高中的數(shù)學(xué)教學(xué)是不是很失敗呢？其實，哪有什么“解幾題”？幾何問題是客觀存在的，坐標(biāo)系是為了研究幾何圖形而人為建立的，是一種方法，是要我們?nèi)ミ\用的.

3.3 不過度引導(dǎo) 突出分析

如果高一、高二將課堂節(jié)奏放慢，充分尊重學(xué)生的主體地位，不過度引導(dǎo)，以學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)為主，那么，學(xué)生對知識方法的理解水平必然有較大的提升.但我們面對的是不同層次的學(xué)生，總會存在一些學(xué)生理解不到位的情況，他們的知識方法或多或少還會存在一些漏洞，當(dāng)然這些漏洞，在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們還需要幫助學(xué)生彌補.高三教學(xué)不能僅僅是知識的回歸，要深化理解知識體系；不能僅僅是題型的總結(jié)歸納以及機械重復(fù)的訓(xùn)練，要突出問題的分析，突出學(xué)生的思維過程，要讓學(xué)生領(lǐng)悟方法的內(nèi)涵，達到靈活運用的目的.縱觀各類中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類雜志，發(fā)現(xiàn)有不少教師提出高三復(fù)習(xí)“一課一題”的教學(xué)方法，筆者非常認同這種教學(xué)方法，一節(jié)課強化分析一、兩個問題，透徹理解其中所涉及的知識方法，有助于學(xué)生的靈活運用.就如上文現(xiàn)象之二的那道題，其中第(2)小題，學(xué)生的正確率很低，需要加強分析引導(dǎo).

問題1在第(1)小題中，我們已經(jīng)用x表示了OA2+OB2和OA·OB，并求出了變量x的范圍，現(xiàn)在第(2)小題要研究BD的最大值，我們的解題目標(biāo)是什么呢？

日常的備課組聽課中，我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師的處理方法是，先請學(xué)生談方法，并問學(xué)生：你是怎么想到這個方法的？讓學(xué)生談思維過程，教師幫助補充分析，然后進行方法的自總結(jié)歸納.對此，筆者認為有點操之過急，部分學(xué)生的解題方法及其思維過程，其他學(xué)生未必能順利內(nèi)化.有必要從解題方向上進行思維監(jiān)控，讓學(xué)生先從整體上把握解題方向，再進行具體分析.問題1，要學(xué)生分析解題目標(biāo)，怎樣求BD的最大值呢？第(1)小題選取了變量x，并求出其范圍，因此，若能建立BD關(guān)于x的函數(shù)f(x)，就可以求其最大值.這既是一種理性分析，也是一種解題經(jīng)驗的分析，即要注意各個小題間的關(guān)聯(lián).

問題2怎樣用變量x表示BD建立函數(shù)f(x)呢？我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們都非常注重尋找圖形中邊角關(guān)系，但由于其復(fù)雜性，很多同學(xué)難以建立邊角關(guān)系式而失??；只有少數(shù)同學(xué)找到了簡潔的邊角關(guān)系而迅速完成函數(shù)關(guān)系的建立.同學(xué)們注意，你們解決這個幾何問題，缺少了一個方向性思考，你們再想想，少了一個什么解題方向？

現(xiàn)象之二說明學(xué)生解析思想建立的缺失，面對純粹的幾何題，想也不想就直接找邊角關(guān)系而不能自拔，問題2的目的就是要讓學(xué)生思考，對幾何題而言，除了這種幾何法外，還有另一個研究方向，用代數(shù)方法解決幾何問題，即解析法.問題2的提問有點瑣碎，但簡潔的提問，學(xué)生又無從思考，如“這樣的幾何問題，我們有哪些思考方向呢？”，學(xué)生往往只回答自己的思考方法，不得已，統(tǒng)稱為“邊角關(guān)系的思考”即幾何法，這樣再讓他們思考另一個解題方向，目的是要讓他們恍然大悟，原來我們忘記了一個重要的方法，即“解析法”.最后作方向性思考的總結(jié)，面對一道純粹的幾何題，我們應(yīng)有兩個解題方向，一是幾何法，側(cè)重于幾何關(guān)系的建立，以尋找邊角關(guān)系為主；二是解析法，側(cè)重于代數(shù)運算，主要是建立坐標(biāo)系，以坐標(biāo)運算為主.當(dāng)然，幾何法與解析法也不是完全割裂的，如坐標(biāo)系下研究直線與圓的問題，我們也可以適當(dāng)運用一些圓的基本性質(zhì)，以簡化運算.

問題2的研究后，先讓學(xué)生用解析法完成這道題，要讓他們體會解析法的思路，思路很清晰，運算也不很難，要讓他們知道，解決問題不能一棵樹上吊死，要多方向思考.最后，再讓部分學(xué)生談?wù)剮缀畏ǖ乃伎歼^程，教師作一些總結(jié)性分析等等.

4 幾點反思

兩個現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，以及幾個教學(xué)案例的分析，筆者對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有以下幾點思考，與讀者研討，以期拋磚引玉.

(1)數(shù)學(xué)教學(xué)，不要丟掉根本.讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識和重要的數(shù)學(xué)思想方法，并學(xué)會運用這些基本知識方法思考解決問題，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，這些知識方法的生成過程是教學(xué)的根本，如果高考之后，學(xué)生不從事數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)工作，他們高中所學(xué)習(xí)的知識方法很快就遺忘了，那其實就是根本不牢.筆者對高中階段數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，一直歷歷在目，記得有一節(jié)課，我們高二數(shù)學(xué)老師，在黑板上畫了一排小矩形，他問道：假設(shè)這是一排磚塊，現(xiàn)在要讓它們?nèi)康瓜?，需要滿足什么條件呢？然后讓我們討論，學(xué)生代表發(fā)言，教師提取有效信息總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法，課堂氣氛很活躍.這其實就是現(xiàn)在的探究教學(xué)理念，教學(xué)效果很好，那為什么現(xiàn)在還會出現(xiàn)上述現(xiàn)象之一的呢？可能與我們問題過細、引導(dǎo)過度有關(guān)；與我們舍不得花時間讓學(xué)生討論有關(guān)，大型公開課還行，平時上課只是象征性地讓學(xué)生討論，要節(jié)省時間進行知識方法的運用.其實，我們教師不缺少教學(xué)理念，只要我們合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，合理設(shè)問，讓學(xué)生充分思考，應(yīng)該不會丟失數(shù)學(xué)根本.

(2)讓課堂節(jié)奏慢下來，促進學(xué)生的理解.不知讀者有沒有注意這樣一個現(xiàn)象，當(dāng)我們與考試有問題的學(xué)生交流時，有不少學(xué)生都表示上課聽得懂，這就是我們所講的“懂而不會”的現(xiàn)象.為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？學(xué)生雖然聽懂了知識方法，但他們未必真懂其內(nèi)涵，“依葫蘆畫瓢”還行，問題一變，就不能靈活運用了.因此，我們的課堂教學(xué)不僅僅是讓學(xué)生聽得懂，還要讓學(xué)生真正地理解，有必要讓課堂節(jié)奏慢下來，認真落實課程理念，尊重學(xué)生、注重探究教學(xué).知識方法的生成，不能引導(dǎo)過度，要不惜時間充分引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，他們的理解自然深刻，不僅能記憶持久，還能激發(fā)學(xué)生的探究熱情；例題教學(xué)要少而精，題型講得多，學(xué)生見識廣，短時間內(nèi)可能有效，時間一長，仍然不會，不如一節(jié)課只講一、兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，真正把問題研究透徹了，這樣逐步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，即使問題變化，但所用的知識方法不變，他們還是能夠解決.

(3)提高自身的專業(yè)素養(yǎng).一名數(shù)學(xué)教師要教好學(xué)生，要具備兩個條件：一是要有較強的專業(yè)素養(yǎng)，僅僅會解題是不夠的，要能站得高看得遠，他所教的學(xué)生才能視野開闊，問題的認識才深刻；二是要會教，要有較強的教育教學(xué)理論知識，要有先進的教學(xué)理念，他所教的學(xué)生接受能力才強，接受速度才快.因此，我們要積極參加一些正規(guī)的教學(xué)研討活動，多聆聽那些專家的教學(xué)指導(dǎo)；要多閱讀一些數(shù)學(xué)專業(yè)書籍，加強自身的認識水平；要多訂閱一些中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類雜志，拓寬視野，一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容，大家都教過，人家卻整理發(fā)表了，與我們?nèi)粘５慕谭ㄓ惺裁床煌恳粋€數(shù)學(xué)問題，我們都研究過，為什么人家能成文發(fā)表？作者的理解比我們深刻嗎？多學(xué)習(xí)、多研究，我們的專業(yè)素養(yǎng)定能提高，我們教出的學(xué)生定能更優(yōu)秀！