張曜光

(金華市教育局教研室 321017)

1 引言

平面向量數(shù)量積是向量理論中的一個重要概念，在學(xué)習(xí)了平面向量的基本概念，平面向量的線性運算，平面向量的基本定理及坐標運算之后，再學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積，向量將完全展現(xiàn)“如果沒有運算，向量只是一個‘路標’，因為有了運算，向量的力量無限.[注]劉紹學(xué)主編. 普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007”

對于平面向量數(shù)量積的教學(xué)，2003年課標要求：“通過物理中‘功’等實例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義.”修改中的新課標增加了“會計算平面向量的數(shù)量積”.更早的大綱要求也大致相同.

從我國教材引入向量教學(xué)起，教師對引入數(shù)量積的必要性、數(shù)量積究竟是什么等一直存在疑惑.能否給它一個數(shù)學(xué)化的表達和完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？本文對此進行一些探討，不當之處敬請批評指正.

2 困惑的成因

2.1 物理背景作用的困擾

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是幾何研究對象，也是代數(shù)研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.

在向量的教學(xué)中，在物理背景下學(xué)習(xí)平面向量的基本概念、平面向量的線性運算是必要的，數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯與學(xué)生的認知邏輯可以達到完美的融合.

而到了平面向量數(shù)量積的教學(xué)，兩種邏輯就都顯得尷尬了.

從學(xué)科邏輯來看：

1)這里需要來個元概念嗎？

2)這里還是物理的需要，不是數(shù)學(xué)的必然嗎？

從認知邏輯來看：

1)與前面學(xué)習(xí)的平面向量的線性運算聯(lián)系不上了；

2)物理是實證科學(xué)，類如“力對物體所做的功”的物理模型應(yīng)該數(shù)學(xué)演繹佐證，難道是來一個“物理模型”就給它一個數(shù)學(xué)定義，成為一個數(shù)學(xué)的新起點？

物理背景在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值應(yīng)該是便于在背景中進行“數(shù)學(xué)抽象”，也就是從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征.但這次不是抽象而是強加，很不自然.

2.2 數(shù)學(xué)的思維方式的斷裂

數(shù)學(xué)的思維方式可以概括成：觀察客觀現(xiàn)象，從中抓住主要特征，抽象出概念或數(shù)學(xué)模型；然后進行探索，探索時常用的是直覺判斷、歸納、類比和聯(lián)想；探索后可以做出某種猜想, 但是需要證明, 這要進行深入分析、邏輯推理和計算；之后才可以揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律. 這就是數(shù)學(xué)思維方式的全過程[注]丘維聲. 代數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)的思維方式[J].數(shù)學(xué)通報，2006，45(12).

沿革至今的平面向量數(shù)量積教材和教學(xué)，只是做了一次“物理模型”的抽象表達，不是從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要而產(chǎn)生，沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的必然性，沒有遵循數(shù)學(xué)的思維方式，不利于學(xué)生對平面向量數(shù)量積內(nèi)涵的理解和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

3 平面向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)發(fā)生方案

3.1 回歸知識序

在進行平面向量數(shù)量積教學(xué)時，平面向量的教學(xué)已經(jīng)走了：平面向量的基本概念平面向量的線性運算平面向量的基本定理及坐標運算的路徑，兩個向量的加法運算可以是平面向量數(shù)量積教學(xué)的出發(fā)點.

3.2 兩個非零向量關(guān)系的探究

圖1

3.3 幾何問題的提出[注]項武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]. 北京，人民教育出版社，2004

我們知道，在平面幾何中，三角形是一個精簡的基本圖形.用向量來表達三角形，則它的三個有向邊就可以分別表達為a,b和a+b.如圖2-1，由平面幾何中所熟知的SSS，△ABC由其三邊|a|,|b|,|a+b|所唯一確定，a與b的夾角θ也隨之唯一確定.

由勾股定理，若θ=90°，則有|a+b|2=|a|2+|b|2(如圖2-2).

若θ≠90°，則|a+b|2-|a|2-|b|2≠0.例如當a=b時，|a+b|2-|a|2-|b|2=4|a|2-|a|2-|b|2=2|a|2.

3.4 幾何模型的提出

圖2-1

圖2-2

3.5 “投影”的概念

考察以a,b和a+b為有向邊的△ABC，表面上看“|a+b|2-|a|2-|b|2”的值，由|a|,|b|,|a+b|所決定，但考慮到a+b由a,b決定，可以猜測“|a+b|2-|a|2-|b|2”的決定要素為：a,b，也就是|a|,|b|和θ.

接下去的工作是設(shè)法把f(a,b)用|a|,|b|和θ來表示，這樣的工作事實上就是要解△ABC，但目前的工具只有勾股定理，所以面對銳角三角形、鈍角三角形的情形，有必要構(gòu)造出直角三角形的問題來加以處理.為此我們引入“投影”的概念.

就θ為銳角、鈍角、直角作圖如下：

圖3-1

圖3-2

圖3-3

定義1：|b|cosθe叫做向量b在a方向上的投影?修訂中的課標把投影明確為是一個向量，本文把一直沿用的|b|cosθ 另定義為標量投影.，其中e為a方向上的單位向量.

定義2：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的標量投影.

投影是一個向量，而標量投影是一個數(shù)量，當θ為銳角時標量投影為正值；當θ為鈍角時標量投影為負值；當θ為直角時標量投影為0；當θ= 0°時標量投影為|b|；當θ= 180°時標量投影為-|b|.

3.6 幾何模型的提煉

接下去的工作是解三角形(不再考慮θ為直角的情形)，考慮到AD邊的不同構(gòu)成方式，分以下圖示三種情形：

圖4-1

圖4-2

圖4-3

在三種情形下，都過C作CD⊥AB于D，

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(|a|+|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(|a|+|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(-|a|-|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

事實上，以上的解三角形的過程，就是余弦定理的推導(dǎo)過程.f(a,b)與余弦定理有內(nèi)在聯(lián)系，這也就提示我們后續(xù)用向量的方法推導(dǎo)正、余弦定理必然會是簡潔的.

3.7 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即有a·b= |a||b|cosθ，(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

在這里只不過是把f(a,b)代換一個新符號，平面向量數(shù)量積“a·b”就是f(a,b)，如3.5所述，a·b是兩個向量a、b上的函數(shù)并返回一個標量的二元運算.

3.8 平面向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上標量投影|b|cosθ的乘積.

3.9 平面向量數(shù)量積的物理背景

圖5

物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,力F所做的功W.W=|F||s|cosθ.

在這里功W就是今天學(xué)習(xí)的數(shù)量積F·s.

在完成平面向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)抽象之后，再來看平面向量數(shù)量積的物理背景，學(xué)生對“功”的理解必然得到深化，也顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量.

3.10 關(guān)于運算律

在3.7已經(jīng)指出數(shù)量積是一個對稱的二元函數(shù)，而不是向量的運算.既然不是運算，當然也就不存在運算律.是函數(shù)應(yīng)該有的是函數(shù)的性質(zhì)，按照北大丘維聲教授的觀點，數(shù)量積具有正定性、對稱性和雙線性性，即：a·a=|a|2≥ 0，當且僅當a=0時“=”號成立；a·b=b·a；a·(b+c) =a·b+a·c；

a·(kb) =ka·b.應(yīng)該是理所當然的.

3 結(jié)語

對數(shù)學(xué)的理解是一個長期、艱難、反復(fù)、不可窮盡的過程，但理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[注]數(shù)學(xué)通報 2015年第54卷第1期章建躍《理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提》.從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程角度分析面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從內(nèi)蘊于數(shù)學(xué)知識中的認識視角、思想與方法等角度全面解析數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，由此生發(fā)教育上的見解并付之于數(shù)學(xué)教育的實踐，是一條很好的自我修煉的途徑.在此基礎(chǔ)上，才能更好地“理解學(xué)生”、“理解教學(xué)”，從而更好地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).