汪 健

(江蘇省蘇州市立達(dá)中學(xué) 215007)

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等)，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng)．它強(qiáng)調(diào)“從做實(shí)驗(yàn)中學(xué)”，力圖通過學(xué)生“做實(shí)驗(yàn)”的主動(dòng)探究過程來培養(yǎng)他們的動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問題的能力和創(chuàng)新精神，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有效轉(zhuǎn)變初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式．下面以筆者最近上的一節(jié)“折長方體紙盒”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課為例，來談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一些做法，敬請(qǐng)同行們批評(píng)指正．

1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分析

蘇科版《數(shù)學(xué)》教材在七年級(jí)(上)時(shí)曾安排過以“制作無蓋的長方體紙盒”為課題的探究學(xué)習(xí)，當(dāng)時(shí)只是讓學(xué)生感受圖形的展開與折疊，初步體會(huì)“從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題—建立數(shù)學(xué)模型—綜合應(yīng)用已有的知識(shí)解決問題”的過程．為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的特點(diǎn)，體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，筆者在九年級(jí)以“折長方體紙盒”為課題上了一節(jié)綜合實(shí)踐課，讓學(xué)生再次經(jīng)歷想象、實(shí)驗(yàn)、分析、猜測(cè)、交流、推理和反思等一系列過程，綜合圖形的展開與折疊、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

課前準(zhǔn)備：邊長為60cm的正方形硬紙片5張；剪刀；每人收集至少2個(gè)長方體紙盒．

2 實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程

數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)可以用活動(dòng)引出問題，用問題串聯(lián)教學(xué)．本節(jié)課為增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，為下面的設(shè)計(jì)剪裁方案做好鋪墊，先組織學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)1；有了活動(dòng)1的基礎(chǔ)，接著讓學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)2．

活動(dòng)1讓學(xué)生觀察、交流每人收集來的長方體紙盒，并將長方體盒子進(jìn)行展開，得到它們的平面展開圖，再進(jìn)行復(fù)原．

活動(dòng)2將準(zhǔn)備好的正方形硬紙片(如圖1)折成一個(gè)長方體盒子．請(qǐng)分別按下列要求設(shè)計(jì)剪裁方法，先用虛線表示你的設(shè)計(jì)方案(要求盡可能多地利用紙片)，再根據(jù)相應(yīng)要求計(jì)算出有關(guān)數(shù)據(jù)(紙片的厚度忽略不計(jì))．

圖1

問題1若折成的是底面為正方形且無蓋的長方體盒子(如圖2)．

圖2

(1)請(qǐng)畫出對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)圖；

(2)要使折成的長方體盒子的底面積為1600cm2，那么長方體盒子的高為多少？

(3)能否使折成的長方體盒子的側(cè)面積為2000cm2，如果能，請(qǐng)求出此時(shí)長方體盒子的高；如果不能，請(qǐng)你求出側(cè)面積的最大值和此時(shí)長方體盒子的高．

解(1)如圖3，在正方形硬紙片的四角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形(陰影部分)．將剩余部分沿虛線折起，可折成如圖2的長方體盒子．

圖3 圖4

如圖4，在正方形硬紙片的四角和四邊上分別剪去一個(gè)同樣大小的等腰直角三角形(陰影部分)．將剩余部分沿虛線折起，可折成如圖2的長方體盒子．

(2)圖3中設(shè)長方體盒子的高為xcm,

由題意得 (60-2x)2=1600,

解得x1=10，x2=50(不合題意，舍去)．

故此時(shí)長方體盒子的高為10 cm．

圖4中設(shè)長方體盒子的高為xcm，

即GE=GF=xcm.

(3)假設(shè)按圖3方式折成的長方體盒子的側(cè)面積為2000 cm2，

令此時(shí)長方體盒子的高為xcm，

由題意得 4x(60-2x)=2000，

整理得x2-30x+250=0，

因?yàn)?Δ=900-1000<0，所以方程無解.

故不存在側(cè)面積為2000 cm2的長方體盒子.

若設(shè)長方體盒子的高為xcm，

折成的長方體盒子的側(cè)面積為ycm2，

則y=4x(60-2x)=-8x2+240x

=-8(x-15)2+1800,

所以x=15時(shí)，y最大=1800,

即當(dāng)長方體盒子的高為15 cm時(shí)，長方體盒子的側(cè)面積最大為1800 cm2．

假設(shè)按圖4方式折成的長方體盒子的側(cè)面積為2000 cm2，

令此時(shí)長方體盒子的高為xcm,

因?yàn)棣?1800-2000<0，所以方程無解．

故不存在側(cè)面積為2000 cm2的長方體盒子．

若設(shè)長方體盒子的高為xcm，

折成的長方體盒子的側(cè)面積為ycm2．

長方體盒子的側(cè)面積最大為1800 cm2．

問題2若折成的長方體盒子的上蓋是由一個(gè)矩形組成(如圖5)．

圖5

(1)請(qǐng)畫出對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)圖；

(2)若折成的一個(gè)長方體盒子的表面積為2800 cm2，求此時(shí)長方體盒子的長、寬、高．

解(1)如圖6，在正方形硬紙片的一組對(duì)邊上剪去一些矩形(陰影部分)．將剩余部分沿虛線折起，可折成如圖5的長方體盒子．

圖6

(2)設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm．

由題意得 2(60-2x)(30-x)+2x(30-x)+

2x(60-2x)=2800,

解得x1=10，x2=-40(不合題意，舍去)．

故此時(shí)長方體盒子的長、寬、高分別為40 cm、20 cm、10 cm．

問題3若折成的長方體盒子底面為正方形且上蓋由四個(gè)全等的矩形(雙層)組成(如圖7)．

圖7

(1)請(qǐng)畫出對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)圖；

(2)若某廣告商要求折成的長方體盒子的側(cè)面積(不含上、下底面)S最大，試求長方體盒子的底面積．

解(1)如圖8，在正方形硬紙片的四角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形(陰影部分)．將剩余部分沿虛線折起，可折成如圖7的長方體盒子．

圖8

(2)設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，

折成的長方體盒子的側(cè)面積為ycm2．

由題意得y=4(60-2x)[x-(30-x)]

=-16(x-22.5)2+900.

所以當(dāng)x=22.5時(shí)，y有最大值.

此時(shí)長方體盒子的底面邊長為60-2x=15.

所以長方體盒子的底面積為225 cm2．

問題4若折成的長方體盒子底面為正方形且上蓋由四個(gè)全等的等腰直角三角形組成(如圖9)．

圖9

(1)請(qǐng)畫出對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)圖；

(2)若折成的長方體盒子的底面面積為1250 cm2，求長方體盒子的高；

(3)若折成的長方體盒子恰好是個(gè)正方體，求這個(gè)長方體盒子的體積V；

(4)若某廣告商要求折成的長方體盒子側(cè)面積S( cm2)最大，求上蓋中四個(gè)全等的等腰直角三角形的腰長；

(5)試問能否用這個(gè)長方體盒子盛放一個(gè)底面半徑為15 cm，高為15 cm的圓柱形工藝品？若不能，說明理由；若能，求出長方體盒子的高．

解(1)如圖10，在正方形硬紙片的四邊上剪去四個(gè)全等的等腰直角三角形(陰影部分)．將剩余部分沿虛線折起，使A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)O，則可折成如圖9的長方體盒子．

圖10

(2)設(shè)長方體盒子的高為xcm，

即GE=GF=xcm.

(3)設(shè)GE=GF=xcm.

(4)設(shè)上蓋中四個(gè)全等的等腰直角三角形的腰長為xcm,即AE=FB=xcm．

所以S=4ah=8x(30-x)

=-8(x-15)2+1800.

故當(dāng)x=15時(shí)，長方體盒子側(cè)面積S取最大值．

(5)設(shè)長方體盒子的底面正方形的邊長為acm，高為hcm.

① 若按圖11(俯視圖)放置，圓柱的底面朝下放入，此時(shí)長方體盒子的高h(yuǎn)不能小于15.

因?yàn)閳A柱形工藝品的底面半徑為15，

所以盒子底面正方形的邊長a最小取30.

故不能放下.

圖11

圖12

圖13

圖14

此時(shí)有兩種特殊的放置方法：

若按圖12(俯視圖)放置，

此時(shí)盒子底邊長a最小取30.

所以此時(shí)圓柱形工藝品放不下；

若按圖13(俯視圖)放置，

此時(shí)盒子底邊長為

所以此時(shí)圓柱形工藝品也不能放下.

其他任意位置擺放，圓柱形工藝品也不能放下．理由如下：

實(shí)質(zhì)上就是將邊長為15和30的矩形放入另一矩形，如圖14.

根據(jù)圖示，運(yùn)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)可得：

此時(shí)矩形的面積

S=(x+2y)(2x+y)=5xy+2(x2+y2)

此時(shí)x=0和15為圖12情況；

令x2=t(0

T有最大值，即S有最大值．

此時(shí)為圖13情況.

所以無論位置如何擺放，正方形的邊長a最小只能取到30.

綜上所述，不能放下這個(gè)圓柱形工藝品．

從上我們可以看到，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是可行的，數(shù)學(xué)是可以“做”實(shí)驗(yàn)的．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，這種學(xué)習(xí)方式，不是讓學(xué)生被動(dòng)地接受教科書上或教師講授的現(xiàn)成結(jié)論，而是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)，變“聽數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變“看演示”為“動(dòng)手操作”，變“機(jī)械接受”為“主動(dòng)探究”．

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本要求，也是切實(shí)轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)學(xué)科教與學(xué)方式的有效載體．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)轉(zhuǎn)變教學(xué)方式、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、喚醒主體意識(shí)、培養(yǎng)合作探究、幫助數(shù)學(xué)理解、促進(jìn)思維發(fā)展、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等都具有一定的價(jià)值，迫切需要引起數(shù)學(xué)教育工作者的高度重視，將其作為課程來開發(fā)與實(shí)施．