米 妍 王光明

(天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 300387)

在天津師范大學(xué)承辦的2016年“國培”計(jì)劃——教育部示范性項(xiàng)目培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)研修項(xiàng)目班上，章建躍先生通過回憶自己對浙江省某中學(xué)開展的《實(shí)數(shù)》一章的教學(xué)觀摩課堂的點(diǎn)評，進(jìn)而對《實(shí)數(shù)》這一章的教材與教學(xué)進(jìn)行深度剖析，引發(fā)了學(xué)員的廣泛好評．

“人教版”七年級下冊將《實(shí)數(shù)》分為平方根、立方根、實(shí)數(shù)三部分內(nèi)容來呈現(xiàn)．通過章先生對教材章節(jié)的分析發(fā)現(xiàn)：“教材編寫組對這部分內(nèi)容做了精心的設(shè)計(jì),具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)在邏輯性，體現(xiàn)知識的整體性．但教師在實(shí)際教學(xué)中并沒有真正理解到教材的編寫意圖，沒有整理出科學(xué)合理的教學(xué)思路，導(dǎo)致傳授給學(xué)生的知識呈現(xiàn)碎片化、無序化，不能讓學(xué)生形成整體性數(shù)學(xué)思維方式”．?dāng)?shù)學(xué)是一門理性思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)的核心是思維．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)思維方式對于數(shù)學(xué)問題解決十分重要．整體性體現(xiàn)的則是一種全方位的研究視角．所謂整體性數(shù)學(xué)思維方式，定義為：在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)．由于教師教學(xué)在很大程度上是基于教材的教學(xué)，而教材是編者經(jīng)過長期反復(fù)研究、推敲、實(shí)踐的集體智慧的結(jié)晶，尤其數(shù)學(xué)教材十分注重整體性數(shù)學(xué)思維方式的體現(xiàn)．教師通過有效閱讀教材建立整體性數(shù)學(xué)思維方式是一個(gè)行之有效的途徑，為培養(yǎng)學(xué)生的整體性數(shù)學(xué)思維方式打下基礎(chǔ).

目前，關(guān)于教材閱讀的研究較多，如姚平提出了拉網(wǎng)式、耕耘式、思辨式、理解式四種方式加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)材料的閱讀[9]；陸敏娟從教材的編寫思路、編排意圖、教材結(jié)構(gòu)等角度闡釋讀懂教材的意義[10]；張永昌、李斌從教材深度、整體、細(xì)節(jié)等三個(gè)維度談讀懂教材[11]；李建明提出理解教材，活用教材的理念，認(rèn)為理解教材要逐字逐句閱讀教材，活用教材要從學(xué)生認(rèn)知實(shí)際出發(fā)[12]；曹思齊從數(shù)學(xué)閱讀材料的使用情況、功能價(jià)值、教學(xué)策略和編排設(shè)置出發(fā)，認(rèn)為推進(jìn)數(shù)學(xué)教材閱讀的理論探究和實(shí)踐探索能夠促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展和教師的專業(yè)成長[13]．然而，這些大多是從教材的整體或局部、編寫的思路或意圖等角度出發(fā)的研究，鮮有基于形成整體性數(shù)學(xué)思維方式的教材閱讀研究．但教師若能在教材閱讀中把握其蘊(yùn)含的整體性數(shù)學(xué)思維方式，對理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵、認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及有效教學(xué)會有很大幫助．如前所述，整體性數(shù)學(xué)思維方式是用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)．這里的全方位視角指對教學(xué)內(nèi)容認(rèn)識的高度、深度和廣度，就實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)而言，高度、深度和廣度分別落實(shí)在整體規(guī)劃教學(xué)的全局思路、局部挖掘已有知識的學(xué)習(xí)方式、遷移前后相似問題的研究策略，以上三者代表了教學(xué)中的系統(tǒng)性、拓廣性、同構(gòu)性數(shù)學(xué)思維方式．可見，系統(tǒng)性、拓廣性、同構(gòu)性數(shù)學(xué)思維方式的形成與建構(gòu)整體性數(shù)學(xué)思維方式密不可分，關(guān)系見圖1．結(jié)合章建躍先生的《實(shí)數(shù)》一章教材的分析，從教材的章節(jié)引言、教材中的概念學(xué)習(xí)、教材中相似數(shù)學(xué)問題的研究策略對構(gòu)建數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維方式、拓廣性思維方式、同構(gòu)性思維方式進(jìn)行說明，對如何有效閱讀教材，形成整體性數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行初步探索.

圖1 整體性數(shù)學(xué)思維方式結(jié)構(gòu)模型

1 重視章節(jié)引言特點(diǎn) 建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式

系統(tǒng)性思維方式，是從整體角度出發(fā)考慮問題，研究思路著眼于問題秩序化的思維方式．在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)在整體規(guī)劃教學(xué)思路．章引言作為教材的一部分，是編寫者精心設(shè)計(jì)的，在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、思想方法、認(rèn)識規(guī)律上具有深刻的內(nèi)涵．章引言從整體的角度為教師教學(xué)提供指導(dǎo)性的建議．教師通過對教材章引言的有效閱讀，能夠充分了解本章知識的內(nèi)在聯(lián)系、整體把握章節(jié)教學(xué)的思路，為形成系統(tǒng)性數(shù)學(xué)思維方式奠基．然而,在實(shí)際教學(xué)活動中，由于章引言內(nèi)容過于簡短,教師缺乏相關(guān)的背景資料，加上課堂時(shí)間有限,導(dǎo)致有些教師在講章引言時(shí)一筆帶過, 或干脆不講,章引言教學(xué)沒有引起教師的足夠重視[14]．那么，為了更好的實(shí)施教學(xué)，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維方式，教師應(yīng)該如何把握章節(jié)引言呢？

首先，在觀念上重視章節(jié)引言．將章引言作為備課的開始，不要在章節(jié)的開始就一頭扎進(jìn)具體內(nèi)容的教學(xué)中去；

其次，運(yùn)用系統(tǒng)的眼光審視章節(jié)引言．即從章引言中提煉本章的主要內(nèi)容、內(nèi)容的呈現(xiàn)形式、教學(xué)過程涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，并在具體教學(xué)中做好向?qū)W生滲透系統(tǒng)性數(shù)學(xué)思維方式的打算；

再者，關(guān)注章引言中引入新知的描述．了解引入的方式，體會引入的必要性，明確研究數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部規(guī)律；

最后，在實(shí)際教學(xué)中，將對章引言的解讀作為章節(jié)教學(xué)的開始，有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注章引言，利用問題導(dǎo)學(xué)的方式引導(dǎo)學(xué)生對章節(jié)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行初步提煉，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)性思維方式.

結(jié)合《實(shí)數(shù)》一章教材“章引言”，分析把握章節(jié)引言特點(diǎn)來構(gòu)建系統(tǒng)性思維方式.

章先生指出，大多數(shù)教師在講解本章首節(jié)內(nèi)容時(shí)，忽視章引言或?qū)φ乱缘年P(guān)注度不夠．他提出教材章引言蘊(yùn)含了三個(gè)問題：為什么學(xué)、學(xué)什么、怎樣學(xué)，并說明這三點(diǎn)是章引言的核心．“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎樣學(xué)”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新知識學(xué)習(xí)的全局思路，是教材按照知識整體內(nèi)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的秩序化學(xué)習(xí)“程序”，對教師形成系統(tǒng)性思維方式發(fā)揮著實(shí)質(zhì)性的作用，具體體現(xiàn)如下:

對為什么學(xué)的問題，是教師最容易忽視的．針對這個(gè)問題，教材注重與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系．一般從生活的現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)兩方面來說明引入新知的必要性．生活的現(xiàn)實(shí)是聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際抽象出要解決的數(shù)學(xué)問題，能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與外部世界是緊密相連的；數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”包括已知的“知識”，還包括數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)規(guī)律等[15]．在《實(shí)數(shù)》一章的章引言中，教材從生活的角度提出一個(gè)物理實(shí)際問題，闡述學(xué)習(xí)平方根概念的必要性；從數(shù)學(xué)的角度，即邊長為1的正方形的對角線的長不是有理數(shù)說明引入一種新數(shù)——無理數(shù)的必要性．在這部分的教材閱讀中，教師不妨對后者——數(shù)學(xué)角度引入問題的形式作進(jìn)一步的探討．從數(shù)學(xué)史的角度來看，正是由于單位正方形對角線的出現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，從而產(chǎn)生無理數(shù)，這種矛盾是實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)中引進(jìn)無理數(shù)的重要思維導(dǎo)向，是數(shù)學(xué)中研究數(shù)的基本發(fā)展規(guī)律(見表1)的表現(xiàn)之一．這種數(shù)學(xué)思維導(dǎo)向往往是通過章引言中現(xiàn)實(shí)背景這一載體烘托而出．

表1 數(shù)的基本發(fā)展規(guī)律

對“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”的問題，章引言描述：

“本章將首先學(xué)習(xí)平方根和立方根；在此基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；然后類比有理數(shù)，引入實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，并用這些解決一些實(shí)際問題”.

在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，明確本章將學(xué)習(xí)平方根、立方根、實(shí)數(shù)三部分內(nèi)容；在學(xué)習(xí)方式上，了解平方根和立方根為實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)做鋪墊，并且類比有理數(shù)的方式來研究實(shí)數(shù)．章引言既概括了學(xué)習(xí)內(nèi)容，又闡述了學(xué)習(xí)方法.

“章引言”是起始課教學(xué)指路的明燈[16]．章引言對于新知“為什么學(xué)”，“學(xué)什么”，“怎樣學(xué)”的描述可以為教師提供整體的章節(jié)教學(xué)思路，啟迪教師要有高瞻遠(yuǎn)矚的視野，從而把握知識整體結(jié)構(gòu)，溝通知識內(nèi)在聯(lián)系，提煉出教材中蘊(yùn)含的系統(tǒng)性思維方式．教師若把握于此，是教師教材閱讀時(shí)的思維高度的體現(xiàn).

2 把握概念學(xué)習(xí)方式 建構(gòu)拓廣性思維方式

任何學(xué)科的學(xué)習(xí)，就其實(shí)質(zhì)而言，一般都存在著一個(gè)思維方式的建構(gòu)，而概念則是思維方式建構(gòu)的基石[17]．教育心理學(xué)研究成果表明，概念的學(xué)習(xí)有兩種基本方式——概念形成和概念同化．所謂概念形成，即通過創(chuàng)設(shè)情境從客觀實(shí)例引人，抽象共性特征，概括本質(zhì)特征,形成數(shù)學(xué)概念；所謂概念同化，指直接揭示概念的定義，借助已有知識進(jìn)行同化理解[18]．以上的兩種概念學(xué)習(xí)方式體現(xiàn)了拓廣性數(shù)學(xué)思維方式的兩種具體表現(xiàn)形式．實(shí)質(zhì)上，一種表現(xiàn)形式是對內(nèi)縱向拓廣，即對概念研究程序的進(jìn)一步細(xì)化；一種表現(xiàn)形式是對外橫向拓廣，即根據(jù)已有概念的研究性質(zhì)推想出同類概念是否也具有同樣的研究性質(zhì)．概念學(xué)習(xí)在教師教學(xué)中處于重要地位，有效的概念學(xué)習(xí)方式對教師和學(xué)生形成拓廣性數(shù)學(xué)思維方式大有裨益．即便如此，概念教學(xué)并沒有引起教師的廣泛關(guān)注，加之教師對概念教學(xué)的方式不甚了解，教學(xué)課堂中往往存在止于“告訴”而非“自然形成”、“輕概念，重練習(xí)”的現(xiàn)象，如何進(jìn)行概念教學(xué)成為亟待解決的問題.

結(jié)合《實(shí)數(shù)》一章教材“算術(shù)平方根”、“平方根”、“立方根”的學(xué)習(xí)，分析把握概念學(xué)習(xí)規(guī)律建構(gòu)拓廣性思維方式.

在這一部分，章先生指出引入算術(shù)平方根的概念要明確以下幾點(diǎn)：(1)了解利用背景引入概念的必要性；(2)歸納出具體實(shí)例的共同特征；(3)定義算術(shù)平方根的概念(文字語言和符號語言)；(4)對算術(shù)平方根進(jìn)行性質(zhì)探究．事實(shí)上，教材以一個(gè)生活實(shí)際問題導(dǎo)入：已知一個(gè)正方形的面積求這個(gè)正方形邊長的問題，具體操作讓學(xué)生通過填表的方式獲得；然后教材在表格下面插入“上面的問題，實(shí)際上是已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)數(shù)的問題”，試圖讓學(xué)生歸納出實(shí)際問題的共同特征，抽象出算術(shù)平方根的概念；進(jìn)而教材以“一般地”為開頭給出算術(shù)平方根的定義，并且給出符號表示及其讀法等；之后教材還在定義后插入“規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0”，至此，算術(shù)平方根的概念形成．通過對教材細(xì)節(jié)的描述，算術(shù)平方根的概念學(xué)習(xí)運(yùn)用了概念形成的學(xué)習(xí)方式，即從背景引入，到歸納抽象，再到概念形成．需要強(qiáng)調(diào)的是，對于概念的學(xué)習(xí)，除了讀懂教材中概念學(xué)習(xí)的一般方式，也要讀懂概念形成過程中插入語的作用．教師在閱讀教材時(shí)體會插入語的設(shè)置意圖，有助于理解概念學(xué)習(xí)方式中拓廣性思維方式的內(nèi)涵.

在學(xué)習(xí)完算術(shù)平方根之后，教材緊接著安排了平方根和立方根．章先生認(rèn)為平方根和立方根概念的學(xué)習(xí)是類比算術(shù)平方根，在研究方式上是一種重復(fù)和拓展．在這部分的教學(xué)中，教師可以利用已經(jīng)構(gòu)建好的算術(shù)平方根概念的研究方式進(jìn)行概念同化，建立平方根和立方根的概念．這是教材設(shè)計(jì)的意圖所在.

結(jié)合章先生的教學(xué)建議，為了更好地滲透概念同化學(xué)習(xí)方式，建構(gòu)拓廣性數(shù)學(xué)思維方式，對平方根和立方根的概念學(xué)習(xí)形成以下幾點(diǎn)啟示：

(1)注重類比思想，概念同化教學(xué)．在學(xué)習(xí)完算術(shù)平方根的概念之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：平方根和立方根的概念與算術(shù)平方根的概念研究有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

(2)關(guān)注內(nèi)容銜接，抓住問題本質(zhì)．如在引入平方根時(shí)，教材呈現(xiàn)的問題是：如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，這個(gè)數(shù)是多少？教師可以換個(gè)問法：已知一個(gè)數(shù)的平方等于9與前面學(xué)習(xí)的已知一個(gè)正數(shù)的平方等于9是同一個(gè)問題嗎？如果不同，你認(rèn)為答案有什么不同呢？

(3)被動變?yōu)橹鲃?，調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)．教師在教學(xué)中可以考慮：如何使學(xué)生在算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和提出問題？如何使學(xué)生在平方根的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和提出問題？甚至在對算術(shù)平方根和平方根詳細(xì)學(xué)習(xí)之后，立方根的內(nèi)容是否可以讓學(xué)生自學(xué)？

以上思路旨在用已建構(gòu)的算術(shù)平方根概念的研究框架來研究平方根和立方根，啟迪教師在閱讀教材的過程中深度挖掘已有知識的學(xué)習(xí)方式和建構(gòu)新知識的方式，提煉出教材中蘊(yùn)含的拓廣性思維方式．教師若把握與此，是教師教材閱讀時(shí)的思維深度的體現(xiàn).

3 遷移相似問題研究策略 建構(gòu)同構(gòu)性思維方式

研究的數(shù)學(xué)問題不同，研究思路和研究方法會有差異．但是，相似問題的研究策略具有相通性和同構(gòu)性．遷移是實(shí)現(xiàn)這種同構(gòu)、建立同構(gòu)性思維方式的有效方法．所謂同構(gòu)性思維方式，指一個(gè)系統(tǒng)有某種研究策略，則推想與該系統(tǒng)同構(gòu)的另一系統(tǒng)是否有相應(yīng)的研究策略．此思維方式反映了建立數(shù)學(xué)知識橫向關(guān)系的一般思路：通過類比，發(fā)現(xiàn)同構(gòu)，建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)遷移．研究發(fā)現(xiàn)，遷移的基礎(chǔ)是聯(lián)系，只有聯(lián)系的知識之間才能互相影響，遷移的實(shí)現(xiàn)是聯(lián)想，只有從問題聯(lián)想到已經(jīng)掌握的知識技能，才能找到解決問題的策略[19]．可見，在教材閱讀中，教師遷移需要具備一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性思維[20]，在把握基本知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，厘清數(shù)學(xué)中同類的研究對象，并掌握運(yùn)用這種相似性研究數(shù)學(xué)問題的策略，從而建立同構(gòu)性數(shù)學(xué)思維方式.

結(jié)合《實(shí)數(shù)》一章教材“實(shí)數(shù)的研究結(jié)構(gòu)”，分析通過遷移相似系統(tǒng)的研究策略建構(gòu)同構(gòu)性思維方式.

章先生指出數(shù)學(xué)中類似問題的研究方式具有一定的繼承性特點(diǎn)，而遷移是繼承的手段．在實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)中，教師可以從“有理數(shù)”的結(jié)構(gòu)來看“實(shí)數(shù)”的結(jié)構(gòu)．《有理數(shù)》是“人教版”七年級上冊第一章的內(nèi)容，教材是這樣呈現(xiàn)研究結(jié)構(gòu)的.

圖2 “有理數(shù)”一章的教材研究結(jié)構(gòu)

不難發(fā)現(xiàn)，《實(shí)數(shù)》一章中實(shí)數(shù)的研究結(jié)構(gòu)和有理數(shù)的研究結(jié)構(gòu)幾乎完全一樣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究上的繼承性和同構(gòu)性特點(diǎn)．啟迪教師充分利用數(shù)學(xué)中的繼承性和同構(gòu)性特點(diǎn)教學(xué)，在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中“瞻前顧后”，同構(gòu)遷移，適當(dāng)變通，提煉出教材中蘊(yùn)含的拓廣性思維方式．教師若把握與此，是教師教材閱讀時(shí)的思維廣度的體現(xiàn).

閱讀教材的意義不在于簡單地讀懂教材的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，而是為了教學(xué)的需要．整體性數(shù)學(xué)思維方式下的系統(tǒng)、拓廣、同構(gòu)性思維方式分別揭示了教學(xué)中對教材內(nèi)容思考的高度、深度和廣度等角度，體現(xiàn)整體性．教師實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)首先從整體上規(guī)劃教學(xué)思路，明確教學(xué)不是單純地教知識，更重要的是讓學(xué)生明白知識的發(fā)生發(fā)展過程，即用系統(tǒng)性思維把握教學(xué)思路；其次，教師應(yīng)充分利用學(xué)生已經(jīng)接受的學(xué)習(xí)方式，循著經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)新知識，即用拓廣性思維挖掘教學(xué)規(guī)律；再者，教師可以利用數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析前后不同知識在研究策略上是否有共通之處，必要時(shí)可以模仿或繼承，即用同構(gòu)性思維遷移研究策略.