周 鑒， 龍見(jiàn)仁

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 貴州 貴陽(yáng) 550001)

高階非齊次線(xiàn)性微分方程解的增長(zhǎng)級(jí)

周 鑒， 龍見(jiàn)仁

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 貴州 貴陽(yáng) 550001)

運(yùn)用微分方程復(fù)振蕩的理論， 研究一類(lèi)具有整函數(shù)系數(shù)的高階非齊次復(fù)線(xiàn)性微分方程解的增長(zhǎng)級(jí)， 其中方程的系數(shù)均為整函數(shù)且非齊次項(xiàng)不恒為零. 當(dāng)方程的系數(shù)增長(zhǎng)級(jí)滿(mǎn)足一定的條件時(shí)， 方程任一非零解具有無(wú)窮增長(zhǎng)級(jí).

線(xiàn)性微分方程； 增長(zhǎng)級(jí)； 整函數(shù)； 零點(diǎn)收斂指數(shù)

考慮給定k≥2階線(xiàn)性微分方程

式中：Ai(i=0,1,…,k-1),F均為整函數(shù)且F不恒為零.

方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程為

定理1 設(shè)k≥2為自然數(shù)，A0,A1,…,Ak-1,F均為有窮級(jí)整函數(shù)且F不恒為零, 存在A(yíng)s(0≤s≤k-1) 使得對(duì)于正實(shí)數(shù)α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)<β且

i) 或者max{ρ(A),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F).

ii) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1).

如果對(duì)于任意給定的ε>0, 存在有窮實(shí)數(shù)序列{φm}, {θm}滿(mǎn)足條件

φ1<θ1<φ2<θ2<…<φn<θn<φn+1=

且

使得當(dāng)z→∞,φm≤argz≤θm(m=1,…,n)有

則

1) 方程(1)的任意不恒為零解f滿(mǎn)足

2) 對(duì)于任意的有窮級(jí)整函數(shù)φ有

定理2 設(shè)k≥2為自然數(shù),A0,A1,…,Ak-1,F均為有窮級(jí)整函數(shù)且F不恒為零, 存在A(yíng)s(0≤s≤k-1) 使得對(duì)于正實(shí)數(shù)α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)≥β， 且max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0).

如果對(duì)于任意給定的ε>0, 存在有窮實(shí)數(shù)序列{φm}, {θm}滿(mǎn)足條件(3),(4) 使得式(5)成立， 則

1) 方程(1)的任意解f滿(mǎn)足式(6), 至多一個(gè)有窮級(jí)解f0.

3) 如果f為方程(1)中的無(wú)窮級(jí)解，φ有窮級(jí)整函數(shù)但非方程(1)的解則

∞.

4) 如果f0為(1)中的有窮級(jí)解， 則對(duì)于方程(1)中的任一無(wú)窮級(jí)解f及任意常數(shù)c≠1有

∞.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[10]設(shè)f(z)為一個(gè)有窮ρ級(jí)超越亞純函數(shù)， 對(duì)于給定的正數(shù)ε存在一個(gè)線(xiàn)性零測(cè)度集E1?[0,2π), 使得如果ψ1∈[0,2π)E1, 則存在一個(gè)常數(shù)R1(ψ1)>1使得對(duì)所有滿(mǎn)足條件: argz=ψ1且|z|≥R1(ψ1)的復(fù)數(shù)z及所有的實(shí)數(shù)對(duì)(k,j)這里k>j≥0， 有不等式

引理2[11]設(shè)f(z)是整函數(shù)， |f(k)(z)|在某條射線(xiàn)argz=θ上無(wú)界， 則存在無(wú)窮序列zn=rneiθ(n=1,2,…)趨于無(wú)窮， 使得rn→∞時(shí)有f(k)(zn)→∞且

|zn|k-j

引理4 設(shè)k≥2為自然數(shù),A0,A1,…,Ak-1, 均為整函數(shù), 對(duì)于給定實(shí)數(shù)α>0,β>0,θ1<θ2, 存在A(yíng)s(0≤s≤k-1)， 當(dāng)z→∞,z∈S={z∶θ1≤argz≤θ2}有

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如果f為方程(2)非零解且ρ(f)=ρ<∞, 則對(duì)于任意ε>0, 存在M>0, 成立不等式|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}, |z|≥R0>0.

證明由ρ(f)=ρ<∞, 由引理1知， 存在一個(gè)線(xiàn)性零測(cè)度集E1?0,2π), 使得如果ψ0∈[0,2π)E1, 則存在常數(shù)R0=R0(ψ0)>1使得對(duì)所有滿(mǎn)足條件: argz=ψ0且|z|≥R0(ψ0)的復(fù)數(shù)z及i=s+1,…,k有

下證|f(s)(z)|在任意射線(xiàn)argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反設(shè)|f(s)(z)|在某條射線(xiàn)argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上無(wú)界, 由引理2知， 存在無(wú)窮序列zn=rneiψ1(n=1,2,…)趨于無(wú)窮， 使得rn→∞時(shí)有f(s)(zn)→∞且

|zn|s-i≤

由方程(2)有

結(jié)合式(11)～(13)有

式中：M0,M1為某個(gè)正實(shí)數(shù). 這與式(10)相矛盾.

進(jìn)一步由引理3易知， 存在M2>0, 使得任意的z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}有

由f(z)的s階Taylor展開(kāi)式

故

|f(z)|≤|f(0)|+|f′(0)||z|+…+

式中：M為某個(gè)正實(shí)數(shù)且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理5 設(shè)k≥2為自然數(shù),A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,θ1,θ2,Sε， 如引理4所給，F(xiàn)為整函數(shù)且ρ(F)<β, 則對(duì)于方程(1)的任意有窮級(jí)解f有|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε, |z|≥R0>0,M為某個(gè)正實(shí)數(shù).

證明由ρ(f)=ρ<∞及引理4的證明可知式(12)仍然成立.

下證|f(s)(z)|在任意射線(xiàn)argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反設(shè)|f(s)(z)|在某條射線(xiàn)argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上無(wú)界, 由引理4證明可知式(13)成立.

由于|f(s)(zn)|→∞, (n→∞), 不妨設(shè)|f(s)(zn)|≥1, 注意到ρ(F)<β， 故

結(jié)合式(1), 式(11)～(13), 式(18)可得

M0exp{o(1)|zn|β}|zn|M1,

其中，M0,M1為某個(gè)正實(shí)數(shù). 這與式(10)相矛盾.

同引理4的證明， 可得

f(z)|≤M|z|s,

其中,M為某個(gè)正實(shí)數(shù)且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理6 設(shè)k≥2為自然數(shù),A0,A1,…,Ak-1為有窮級(jí)整函數(shù), 存在A(yíng)s(0≤s≤k-1)使得對(duì)于α>0,β>0有

如果對(duì)于任意給定的ε>0, 存在有窮實(shí)數(shù)序列{φm}, {θm}滿(mǎn)足條件(3)和(4) 使得當(dāng)z→∞,z∈Dm={z∶φm≤argz≤θm, (m=1,…,n)}有

則方程(2)的任意解f均為無(wú)窮級(jí).

則當(dāng)|z|=r>r0+1時(shí)， 有

故在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)中， 當(dāng)|z|=r>r0+1時(shí)， 有

如果多項(xiàng)式f的次數(shù)degf≥s， 則

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>0.

這與方程(2)相矛盾.

如果多項(xiàng)式f的次數(shù)degf≤s-1， 則

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)>ρ(A0)≥0，

這也與方程(2)相矛盾.

故方程(2)的任意解f均為無(wú)窮級(jí).

引理7 設(shè)k≥2為自然數(shù),A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,{φm},{θm},Dm， 如引理6所給，F(xiàn)為整函數(shù)且ρ(F)<β, 且成立

i) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=01,,…,s-1)，

ii) 或者max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F)，

則方程(1)的任意解f均為無(wú)窮級(jí).

同理， 在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)可得|f(z)|≤M|z|s.

由此可知， |f(z)|≤M|z|s全平面成立， 因此f(z)為多項(xiàng)式.

如果多項(xiàng)式f的次數(shù)degf≥s， 則

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>ρ(F),

這與方程(1)相矛盾.

如果多項(xiàng)式f的次數(shù)degf≤s-1， 則

i) 當(dāng)ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1)時(shí)，

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

max{ρ(Ai)∶i=0,1,…,s-1}<ρ(F).

這與方程(1)相矛盾.

ii) 當(dāng)max{ρ(Ai),i=1,…,s-1)>ρ(A0)>ρ(F)時(shí)，

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)=max{ρ(Ai)∶

i=0,1,…,s-1)}≥ρ(A0)>ρ(F)，

這也與方程(1)相矛盾.

故方程(1)的任意解f均為無(wú)窮級(jí).

引理8[13]設(shè)A0,A1,…,An-1,F≠0為有窮級(jí)亞純函數(shù),f為方程

2 定理的證明

定理1的證明

2) 令g=f-φ， 由于f為方程(1)的解， 且ρ(φ)<∞， 故

ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=

ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 將其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

由于ρ(φ)<∞， 故φ不可能為方程(1)的解, 因此，

記G=F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0， 則對(duì)于方程

∞.

定理2的證明

1) 不妨設(shè)f0為方程(1)的一個(gè)有窮級(jí)解， 即ρ(f0)<∞.

如果方程(1) 還有另外一個(gè)有窮級(jí)解f1， 滿(mǎn)足ρ(f1)<∞且f0≠f1.

由增長(zhǎng)級(jí)的定義可知

另外，f0-f1顯然應(yīng)滿(mǎn)足方程(2).

由引理6可知

ρ(f0-f1)=∞， 這與ρ(f0-f1)<∞相矛盾.

故方程(1)至多有一個(gè)有窮級(jí)解.

再由引理8知， 方程(2)的任一無(wú)窮級(jí)解f應(yīng)滿(mǎn)足

2) 設(shè)f0為方程(1)中的有窮級(jí)解，ρ(f0)<∞, 則由方程(1)可知, 當(dāng)z0為f0的d階零點(diǎn)且d>k， 則z0必為F的d-k階零點(diǎn)， 因此

又由值分布理論的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理知識(shí)可知

由方程(1)可得

故

由式(33), (34)和(36)有

記α=max{ρ(As),ρ(F)}, 則對(duì)于任意ε>0及充分大的r， 有

T(r,F)

由式(37)和(38)有

故

ρ(f0)≤max{ρ(F),ρ(As)}.

另一方面由方程(1)可見(jiàn)

ρ(f0)≥max{ρ(F),ρ(As)}.

故

3) 設(shè)f為方程(1)中的無(wú)窮級(jí)解，φ為有窮級(jí)整函數(shù)但非方程(1)的解.

令g=f-φ， 則ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=ρ(f)=∞.

而f=g+φ， 將其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ).

又φ非方程(1)的解， 因此

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0.

4) 設(shè)f0為方程(1)中的有窮級(jí)解， 則對(duì)于方程(1)中的任一無(wú)窮級(jí)解f及任意常數(shù)c≠1， 令g=f-cf0， 則g滿(mǎn)足方程

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=(1-c)F.

[1] 楊樂(lè). 值分布及其新研究[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1982.

[2] Hayman W K. Meromorphic function[M]. Oxford： Clarendon， 1964.

[3] 張廣厚. 整函數(shù)和亞純函數(shù)理論-虧值、 漸進(jìn)值和奇異方向[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1986.

[4] Chen Zongxuan， Gao Shian. Entire solutions of differential equations with finite order transcendental entire coefficients[J]. Acta Mathematica Sinica， 1997， 13(4)： 453-464.

[5] Li Yezhou， Wang Jun. Oscillation of solution of linear differential equations[J]. Acta Mathematica Sinica ， 2008， 24(1)： 167-176.

[6] Wang Jun， Laine I. Growth of solutions of nonhomogeneous linear differential equations[J]. Abstract &Applied Analysis， 2009， 2009(1)： 1-11.

[7] Habib H， Beladi B. On the growth of solutions of some higher order linear differential equations with entire coefficients[J]. Theory Differential Equations， 2011， 93(2)： 1-13.

[8] Long Jianren. On complex oscillation theory of solutions of some higher order linear differential equations[J]. Journal of Math Research with Applications， 2012， 32(4)： 423-430.

[9] Grohn J， Rattya J. On oscillation of solutions of linear differential equations[J]. Journal of Geometric Analysis， 2015， 20(5)： 1-18.

[10] Gunderson G G. Estimates for the logarithmic derivative of meromorphic function plus similar estimates[J]. Journal of the London Mathematical Society， 1988， 37(2)： 88-104.

[11] Laine I， Yang Ronghua. Finite order solutions of complex linear differential equations [J]. Electronic Journal of Differential Equations， 2004， 2004(65)： 281-286.

[12] Chen Zongxuan， Gong Juan， Zheng Xiumin. On the growth of solutions to higher order differential equations[J]. Annals of Differential Equations， 2012， 2(2)： 170-179.

[13] 高仕安， 陳宗煊， 陳特為. 線(xiàn)性微分方程的復(fù)振蕩理論[M]. 武漢： 華中理工大學(xué)出版社， 1998.

GrowthofSolutionsofNon-HomogeneousHigherOrderLinearDifferentialEquations

ZHOU Jian， LONG Jian-ren

(School of Mathematics science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

This paper concerned with the growth of solutions of the non-homogeneous higher order linear differential equations with entire function coefficients by using complex oscillation theory of linear differential equations, where the coefficients are entire functions and the non-homogeneous term unequal to zero. It is shown when the coefficients order meets certain conditions then every non-zero solution of the equation is of infinite order.

linear differential equations; growth; entire function; convergence exponent of zero

1673-3193(2017)05-0544-05

2016-09-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501142)； 貴州省科學(xué)技術(shù)基金(黔科合J字LKS[2009]04號(hào))

周 鑒(1976-)， 男， 副教授， 博士生， 主要從事復(fù)分析的研究.

O174.52

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.007