張 珊， 柴玉珍

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

非自治Fitzhugh-Nagumo方程在周期邊界下的整體解

張 珊， 柴玉珍

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

Hodgkin-Huxley方程是描述神經(jīng)纖維膜電流、 膜電壓關(guān)系的微分方程， Fitzhugh-Nagumo方程是Hodgkin-Huxley方程的簡化模型.討論了具有周期邊界的非自治FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)在外刺激下的初邊值問題， 首先利用Galerkin方法及常微分方程理論證明了具有周期邊界的非自治Fitzhugh-Nagumo方程存在局部解; 其次利用了一種新的方法對局部解作一致先驗估計證明了整體解的存在性; 最后利用Gronwall不等式證明了非自治Fitzhugh-Nagumo系統(tǒng)整體解的唯一性.

Fitzhugh-Nagumo系統(tǒng)； 非自治方程； 外刺激項； Galerkin方法； Gronwall不等式

FitzHugh-Nagumo方程是一類描述了在高于閾值的常電流刺激下神經(jīng)元動作電位的周期性振蕩的非線性演化方程， 同時也是一個著名的反應擴散模型， 這類模型在實際中有廣泛的應用， 因此是近年來很多學者研究的熱點方程之一.這類方程是由Richard FitzHugh和南云仁一于1961年由H-H模型[1]簡化得到的一個二維系統(tǒng)， 亦即F-N模型[2]

ut=uxx+f(u)-v,vt=δu-γv.

近年來人們對神經(jīng)脈沖傳導的F-N方程做了很多研究[3-5]， 如M.Osman Gani和Toshiyuki Ogawa分析了廣義F-N模型的不穩(wěn)定周期行波解[6], Gianni Arioli和 Hans Kochb研究了F-N方程的旅游脈沖解的存在性和穩(wěn)定性[7]， 吳永輝等研究較為廣義F-N方程組的整體吸引子及慣性流形[8], 簡化了P.Constantin等人的工作， 王慕潔等討論了F-N模型以2D為周期的初值問題[9-10]， 但是對外刺激下的非自治神經(jīng)元傳導模型研究得甚少.

本文研究非自治F-N系統(tǒng)在周期邊界條件下的初邊值問題

邊界條件和初值條件為

式中：u表示跨膜電壓的特性;v描述鉀激活和鈉失活的慢變過程;I1(x,t,u),I2(x,t,u)為外加刺激電流項(外刺激項依賴于時間變量、 空間變量以及它們的函數(shù))， 且x∈Ω，Ω為R上的有界區(qū)間，a,λ,b是非負常數(shù)，f∈L2(Ω),g∈L2(Ω).

1 預備知識

P2)h是一個非線性光滑函數(shù), 且滿足

h(s)s≥0,h(0)=0,h′(s)≥-c,s∈R,

|h′(s)|≤c(1+|s|r),s∈R,

其中,n≤2,r≥0, 當n≥3時,

P4)I1(x,t,u),I2(x,t,u)關(guān)于x,t可測, 對u連續(xù)， 且?t>0, ?0≤hi(x,t)∈L2(0,t,L2(Ω)),i=(0,2), ?0≤hj(x,t)∈L2(0,t,L∞(Ω)),j=(1,3), 使得

I1(x,t,u)≤h0+h1|u|,

|fg|dx≤‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω).

引理3[12-15]已知Φ(t) (t∈R+)是絕對連續(xù)的正值函數(shù)， 且存在ε>0使得微分不等式

成立. 其中存在α≥0和a∈[0,1]， 使得g(t)滿足

存在β≥0， 使得h(t)滿足

|h(y)|dt≤β,

α,β是與t無關(guān)的常數(shù).則存在γ(γ是與α和ε有關(guān)的常數(shù))使得

成立.

2 主要結(jié)果及其證明

式中：αjm,βjm為未知函數(shù). 那么由Galerkin方法可知，um,vm應滿足下面的常微分方程組

(umt-aΔum+λum+h(um)+vm-f(x)-

(vmt-ε(t)(um-bum+g(x)+

再由peano定理, 方程(8)～(9)滿足初始條件

的解在[0,tN]上存在. 其中, 初值ajm,bjm的選取滿足

由常微分方程理論, 方程(8)～(10)存在唯一局部解um,vm.

下面對um,vm作一致先驗估計.

引理4 假設(shè)式(5)～(7)成立， 則對方程(8)和(9)的近似解um,vm有如下估計

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤γ[ε(0)‖um(0)‖2+‖vm(0)‖2]eη1t+ρ, ?t>0,

證明在式(8)中令ωs=ε(t)um, 在式(9)中令ωs=vm， 兩式相加有

(umt-aΔum+λum+h(um)+vm-f(x)-I1m(x,t,u),ε(t)um)+

對式(12)利用分部積分及格林函數(shù)有

對式(13)右邊各項利用引理1和引理2， 可得

以及

將上述估計代入式(13)有

2aε(t)‖

式(14)兩邊同時加上

karctan(t+t0)[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2].

其中

karctant0≥

t0為大于零的常數(shù)， 令Φ(t)=ε(t)‖um‖2+‖vm‖2，

則有

(?t∈R+),

其中

由ε(t)的假設(shè)

由引理3知

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤

γ[ε(0)‖um(0)‖2+‖vm(0)‖2]eη1t+ρ.

再對式(14)從[0,2D]積分即完成引理的證明.

引理5 若滿足引理4的條件， 則有

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤M1,

式中：Mi(i=1～3)及以下諸引理中的Mi均為與N無關(guān)的常數(shù).

證明用-ε(t)Δum與式(8)作內(nèi)積， 用-Δvm與式(9)作內(nèi)積, 兩式相加得

2bε(t)‖vm‖2=2ε(t)(h(um),Δum)-2ε(t)[(f,Δum)+(g,Δvm)+

利用Sobolev不等式、 引理1和引理2對式(15)估計有

2ε(t)(h(um),Δum)=-2ε(t)(h(um),um)=-2ε(t)(h′(um)um,um)≤2cε(t)‖um‖2·

(I1(x,t,um),Δum)≤‖h0‖2‖Δum‖+‖h1‖∞‖um‖‖um‖≤

同理

(I2(x,t,vm),Δvm)≤‖h2‖2‖Δvm‖+‖h3‖∞‖vm‖‖vm‖≤

3ε(t)‖Δvm‖2≤Q1(t)[ε(t)‖um‖2+

將式(17)從0～2D積分， 得

[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2]+

記

Wm(t)=[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2]+

則

Wm(t)≤

其中 0≤Qi(t)∈L1(0,t),i=1,2.

由前述假設(shè)知，Wm(0)對N一致有界， 從而

由Gronwall不等式， 并利用引理4的結(jié)論即得本引理的證明.

注意到上面估計式中各常數(shù)M均為與N無關(guān)， 因此由緊致性原理即有下面的結(jié)論.

推論在定理1的假設(shè)下， 有

‖u‖∞+‖v‖∞≤C, ?t≥0,

其中,C是與‖u0‖1, ‖v0‖1有關(guān)與t無關(guān)的常數(shù).

定理2 在定理1的條件下， 方程(8)～(10)的整體解是唯一的.

利用微分中值定理得

由Gronwall不等式和式(20)有

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IntegralSolutionofNon-AutonomousFitzhugh-NagumoEquationUnderthePeriodicBoundary

ZHANG Shan, CHAI Yu-zhen

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Hodgkin-Huxley is a kind of differential equation describes the relations of nerve fiber membrane electric current and the membrane voltage and it is a simplified model of Hodgkin-Huxley. The initial-boundary value problem of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo system with periodic boundary under the external stimulation is discussed. Firstly, using the Galerkin method and theory of ordinary differential equations the existence of local solution of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo equations with periodic boundary; Secondly, with a new method of local solution for consistent prior estimate proves the existence of global solution; Finally, using Gronwall inequality proves the uniqueness of global solutions of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo system as a whole.

Fitzhugh-Nagumo systems; non-autonomous equation; outside stimulus items; Galerkin method; Gronwall inequality

1673-3193(2017)05-0531-05

2016-07-06

張 珊(1991-)， 女， 碩士， 主要從事偏微分方程及應用研究.

O241.8

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.005