金 鑫

助力學(xué)生發(fā)展 促進(jìn)教師成長(zhǎng)
——參加“說(shuō)題比賽”的感悟與實(shí)踐

金 鑫

江蘇省南通中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 江蘇南通 226000

通過(guò)參加南通市首屆中學(xué)數(shù)學(xué)教師說(shuō)題比賽，深刻體會(huì)到這種教研活動(dòng)對(duì)于教育教學(xué)尤其是習(xí)題教學(xué)有一定的啟示作用。“習(xí)題教學(xué)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延伸與深化。通過(guò)以題為載體，“說(shuō)”給同行聽(tīng)，“講”給學(xué)生聽(tīng)的形式，來(lái)促進(jìn)和優(yōu)化習(xí)題教學(xué)，提高教師對(duì)習(xí)題和試題的拓展、變式和整合能力，進(jìn)而提升課堂教學(xué)的實(shí)效性。

說(shuō)題；講題；評(píng)析；模擬課堂；習(xí)題教學(xué)

“習(xí)題教學(xué)”是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是學(xué)生完善知識(shí)體系，培養(yǎng)應(yīng)用能力的重要途徑，是教師必備的教學(xué)能力之一。為促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)習(xí)題、試題，提高習(xí)題教學(xué)的能力，南通市教科研中心舉行了首屆說(shuō)題比賽。筆者有幸參與其中，結(jié)合參賽經(jīng)歷，來(lái)談?wù)劰P者的一些想法和做法。

一、“說(shuō)題”是什么

“說(shuō)題比賽”是近幾年涌現(xiàn)出來(lái)的一種新型的教學(xué)研討形式，是備受各地青睞的選拔優(yōu)秀教師，夯實(shí)青年教師基本功的一類(lèi)做法。不同于以往的“說(shuō)課”以課為載體，“說(shuō)題”的對(duì)象轉(zhuǎn)換為“題”，是課堂習(xí)題教學(xué)中的一個(gè)片斷。各地舉辦的說(shuō)題比賽，往往以書(shū)面的形式，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行，即一闡述題意：說(shuō)明題目的已知條件、難點(diǎn)的位置、估計(jì)難度、易錯(cuò)點(diǎn)等等，特別要說(shuō)明題中的隱含條件；二題目背景：說(shuō)明題目涉及的知識(shí)點(diǎn)及這些知識(shí)點(diǎn)在相應(yīng)學(xué)段的數(shù)學(xué)地位，題目的來(lái)源、設(shè)計(jì)思路、命題意圖、評(píng)價(jià)功能等等；三題目解答：給出這道題的正確解法，盡可能給出多種解法，要求保留解法中的重要過(guò)程（一些復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程可省略）；四總結(jié)提煉：說(shuō)明題目涉及的數(shù)學(xué)思想方法，解題的基本規(guī)律；五題目變式：說(shuō)出這道題可以進(jìn)行怎樣的變化引伸，并給出這些變式及其簡(jiǎn)要解答.所謂的“說(shuō)題”大都是指上述這種“書(shū)面說(shuō)題”的教研形式。

然而不同于其他的是，此次南通市教科研中心舉辦的說(shuō)題比賽增加了“現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題”這一環(huán)節(jié)。“現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題”不是對(duì)“書(shū)面說(shuō)題”的照本宣科，而是要求參賽教師以“模擬課堂”的形式將“書(shū)面說(shuō)題”中的各部分內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，以課堂為載體展示出來(lái)。這就要求參賽教師在進(jìn)行書(shū)面說(shuō)題時(shí)除了關(guān)注以上所提的五個(gè)方面以外，還要關(guān)注到第六個(gè)方面教學(xué)設(shè)計(jì)：說(shuō)明解題教學(xué)的基本策略、基本思路（思維鏈），解題的三個(gè)思維層次，展示啟發(fā)引導(dǎo)的情景設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)，學(xué)法指導(dǎo)等等?！艾F(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題”將重點(diǎn)置于如何向?qū)W生講授題目，因而稱(chēng)之為“講題”更確切。

二、“講題”與“說(shuō)題”的關(guān)系

就區(qū)別層面而言，“說(shuō)題”的對(duì)象一般是同行、專(zhuān)家，重點(diǎn)應(yīng)放在題目的結(jié)構(gòu)特征上，要側(cè)重于對(duì)題目本身的研究，關(guān)注題目的來(lái)龍去脈，以剖析題目為目標(biāo)。這是考驗(yàn)和提高教師解題能力，對(duì)題目的理解能力以及由此題延伸出去的拓展能力的重要途徑和有效方法?！爸v題”雖也以“題”為載體，但卻以學(xué)生為傳授對(duì)象，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以學(xué)生為主體，更多關(guān)注題目的教學(xué)價(jià)值和解法探究，以教會(huì)學(xué)生為目標(biāo).“講題”更多地考驗(yàn)教師“習(xí)題教學(xué)”的能力，對(duì)學(xué)生思維方法的訓(xùn)練以及對(duì)解題方法技巧的提煉和反思。

就聯(lián)系層面而言，“說(shuō)題”關(guān)注的是“習(xí)題教學(xué)”方案的設(shè)計(jì)，“講題”更關(guān)注“習(xí)題教學(xué)”方案的實(shí)施。如果說(shuō)“講題”呈現(xiàn)的是一部電影的話(huà)，那么“說(shuō)題”則是這部電影的劇本?！爸v題”與“說(shuō)題”一脈相承，是“說(shuō)題”基礎(chǔ)上的課堂實(shí)施過(guò)程。

脫離了“講題”，只搞“說(shuō)題”，往往會(huì)“變味”成解題比賽，遠(yuǎn)離了課堂教學(xué)，違背活動(dòng)初衷。融入“講題”有利于凸現(xiàn)“說(shuō)題比賽”對(duì)教學(xué)實(shí)際的指導(dǎo)作用；有利于構(gòu)建教師主導(dǎo)學(xué)生主體的“習(xí)題教學(xué)”課堂；有利于改變教師原有的習(xí)題教學(xué)模式，促進(jìn)教師探求新型的教學(xué)模式；只有如此，這個(gè)題才能“說(shuō)”出實(shí)在，說(shuō)出味道，說(shuō)出功效。以下為筆者參賽中的書(shū)面說(shuō)題稿及現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題的教學(xué)設(shè)計(jì)（此設(shè)計(jì)獲南通市區(qū)說(shuō)題比賽一等獎(jiǎng)）。

三、如何說(shuō)題——書(shū)面說(shuō)題稿

（一）原題重現(xiàn)

（二）說(shuō)題流程

闡述題意→題目背景→題目解答→總結(jié)提煉→拓展延伸→教學(xué)設(shè)計(jì)

1、闡述題意

隱含條件：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系；OQ＜OR。

待求結(jié)論：本題解答目標(biāo)為“點(diǎn)Q的軌跡方程”，以及說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)。

本題題眼：解答本題關(guān)鍵為利用“OQ OP=OR2”此條件解得Q點(diǎn)軌跡方程。

難度估計(jì)：①學(xué)生讀題作圖有一定的障礙；②從通法著手本題擁有的計(jì)算量較大；③在解答中會(huì)忽視對(duì)原點(diǎn)的考慮。綜上：預(yù)估此題為中檔的解析幾何綜合題。

2、背景出處

題源出處：本題為1995年全國(guó)高考理科卷第26題，涉及到蘇教版必修二(第2章)“平面幾何初步”和選修1-1(第2章)“圓錐曲線(xiàn)與方程”的相關(guān)知識(shí)。其中涉及的“直線(xiàn)的方程”在高考中為C級(jí)要求，“中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)”為B級(jí)要求。

設(shè)計(jì)意圖：本題以能力立意，兼顧知識(shí)、方法的考查。

①知識(shí)要點(diǎn)：本題涉及直線(xiàn)和橢圓的方程、性質(zhì)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，曲線(xiàn)與方程的關(guān)系，軌跡的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)；

②能力要求：本題關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算求解能力及推理論證能力，注重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力；

③思想方法：本題注重對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等解析幾何基本思想的考查。

3、題目解答

解法1：由題意可知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)。故設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為 ， ，其中x，y不同時(shí)為零。

當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，由O、R、Q三點(diǎn)共線(xiàn)可聯(lián)立方程

再由OQ·OP=OR2可得

……………（※）

當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，亦滿(mǎn)足上式。

解法2：由題意可知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)。故設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為 ，

當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，由O、R、Q三點(diǎn)共線(xiàn)可聯(lián)立方程組

解得

再由OQ OP=OR2得：代入（1）式解得

解法3：由題意可知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)。故設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為， ， ，其中x，y不同時(shí)為零。

設(shè)OP與x軸正方向的夾角為 ，則由三角函數(shù)定義可知：xP=OP cos，yP=OP sin ；xR=OR cos ，yR=OR sin ；xQ=OQ cos ，yQ=OQ sin 。

由上式及題設(shè)OQ OP=OR2，得

4、總結(jié)提煉

數(shù)學(xué)思想方法：化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程的思想

解題基本規(guī)律：①對(duì)于求軌跡方程的一類(lèi)問(wèn)題一般步驟可歸結(jié)為五字箴言：“建”、“設(shè)”、“現(xiàn)”、“代”、“化”。即：建系→設(shè)點(diǎn)→發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系→代入→化簡(jiǎn)這五個(gè)基本步驟。

②直接法求軌跡方程的切口：“找等式入手”；關(guān)鍵：“依條件消參”。

5、拓展延伸

變式1：基于“結(jié)論一般化”原則拓展延伸

已知橢圓mx2+ny2=1 m,n＞0 ，直線(xiàn)l：Ax+By=1(AB為 0)，P是l上一點(diǎn)，射線(xiàn)OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿(mǎn)足OQ OP=OR2.當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)Q的軌跡方程為mx2+ny2=Ax=By?！咀C法同原題解法3】

變式2：基于“類(lèi)比”原則將此題拓展延伸

（6）教學(xué)設(shè)計(jì)（略，見(jiàn)教學(xué)評(píng)析）