王寶珍 胡時勝

*(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥230009)

?(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計重點實驗室，合肥230026)

生物、工程及交叉力學(xué)

豬肝動態(tài)力學(xué)性能及本構(gòu)模型研究1)

王寶珍*,2)胡時勝?

*(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥230009)

?(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計重點實驗室，合肥230026)

在交通事故中，腹部器官常因沖擊載荷作用而受到傷害，嚴重時甚至危及生命.肝損傷是腹部損傷中最為常見的一種，致死率很高，了解肝臟的動態(tài)力學(xué)性能對于事故中肝臟的損傷評估及防護設(shè)計有著重要的意義.從新鮮的豬肝組織中取肝實質(zhì)部分制作試樣，利用英斯特朗材料試驗機對其進行兩種加載率(0.004s?1，0.04s?1)和兩種加載方向(垂直肝臟表面和平行于肝臟表面)的準靜態(tài)壓縮試驗，并壓縮至破壞.利用改進的分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar，SHPB)實驗裝置沿平行于肝臟表面方向進行三種高應(yīng)變率(1300s?1,2400s?1，4500s?1)的動態(tài)壓縮試驗.結(jié)果表明：所有應(yīng)變率下的豬肝壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線都呈非線性凹向上特征，初始階段應(yīng)力值很低，應(yīng)變約30%后應(yīng)力幅值顯著增大；準靜態(tài)壓縮時，兩種應(yīng)變率(0.004s?1，0.04s?1)和兩種加載方向下肝臟組織破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變等力學(xué)性能無顯著不同，平均破壞應(yīng)變?yōu)?8%，平均破壞應(yīng)力為0.45MPa.高應(yīng)變率下肝臟組織的流動應(yīng)力明顯高于準靜態(tài)下的流動應(yīng)力，表現(xiàn)出一定的率敏感性.采用Yeoh型超彈性本構(gòu)模型描述豬肝組織準靜態(tài)力學(xué)性能，基于黏超彈性模型理論，提出了一個能描述肝臟組織從低應(yīng)變率到高應(yīng)變率范圍力學(xué)性能的率相關(guān)本構(gòu)模型，該模型與實驗結(jié)果有很好的一致性.

肝臟，動態(tài)力學(xué)性能，分離式霍普金森壓桿，本構(gòu)模型，高應(yīng)變率

引言

交通事故無時無刻不在威脅著人類的生命安全.在交通事故中，人體的組織和器官往往會因沖擊載荷的作用而受到損傷，進而危及生命.據(jù) Lamielle等[1]對法國交通事故的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：1980—1999年間的交通傷以頭頸損傷為主，然而，隨著汽車防護裝置的改善，頭頸損傷比例大幅降低，腹部損傷反而占據(jù)極高的比例，保護腹部器官免受損傷變得非常重要.而且由于腹部器官所處的特殊位置，周圍較少有硬組織保護，損傷往往非常嚴重，給人類生命帶來嚴重威脅.腹部器官中，肝損傷是其中最為常見的一種，且致死率很高，保護肝臟在沖擊中免受傷害尤為重要.有限元數(shù)值仿真是安全防護設(shè)計的一個重要手段，通過數(shù)值模擬[2-3]，可以分析組織器官在沖擊時的受力和變形情況.但要得到有效的仿真結(jié)果，需要了解組織器官真實的力學(xué)性能以提供準確的材料本構(gòu)模型，因此，充分的了解肝臟組織在沖擊載荷作用下的力學(xué)性能并發(fā)展相應(yīng)的材料本構(gòu)模型具有極其重要的意義.

Yamada[4]和Melvin等[5]較早便關(guān)注腹部組織器官的力學(xué)性能，分別以兔和獼猴為研究對象研究了腹臟器官的力學(xué)性能.但之后數(shù)年相關(guān)研究較少，直到近二十年來，交通安全問題越來越受關(guān)注，人體各類組織器官的力學(xué)性能也越來越受重視，使用的試驗手段也越來越多樣.一些研究者們利用壓縮試驗[6-8]、壓痕實驗[9-10]、拉伸實驗[11-12]、各種低頻黏彈性實驗等方法[13-16]對肝臟的力學(xué)性能展開了研究.此外，一些非創(chuàng)傷性的影像技術(shù)，如磁共振彈性成像技術(shù)(MRE)[17]及超聲成像技術(shù)[18]等也被應(yīng)用來研究肝臟的力學(xué)性能，但是這些試驗大多是在較低應(yīng)變率下進行的.

在汽車碰撞及其他沖擊事件中，人體的組織器官所經(jīng)受的應(yīng)變率通常遠超準靜態(tài)的應(yīng)變率范圍，有時會高達103s?1量級，這就要求必須對其在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能有所了解.Sparks等[19]曾對人尸的肝臟進行落錘沖擊實驗，研究其動力學(xué)性能，但應(yīng)變率范圍也僅為 19.7s?1～62.5s?1.近些年，一些研究者開始嘗試利用分離式霍普金森壓桿(split Hopkings pressure bar,SHPB)實驗裝置來測試各類動物軟組織如皮膚[20]、肌肉[21-24]、腦組織[25]及其他器官[26]的沖擊力學(xué)性能，Clemmer等[27]利用高聚物霍普金森壓桿技術(shù)獲得了豬肝在應(yīng)變率為550s?1時的應(yīng)力應(yīng)變曲線.Pervin等[28]以牛的肝臟為研究對象，通過改進的SHPB實驗技術(shù)獲得了應(yīng)變率高達103s?1量級下牛肝的動態(tài)壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線.

由于倫理等方面的限制，通常采用動物組織和器官作為替代品來近似研究人類組織器官的力學(xué)性能.而組織器官的力學(xué)性能會受動物種類的影響[13]，選擇與人體組織器官力學(xué)性能更接近的動物為研究對象，其參考意義會越大.Brunon等[11]在單軸拉伸試驗條件下，研究發(fā)現(xiàn)，未經(jīng)冷凍的新鮮豬肝組織與人類肝臟的力學(xué)性能較為接近.因而，豬肝可作為一種理想的替代品，用于研究人體肝臟組織的動態(tài)力學(xué)性能.

由于肝臟組織的動態(tài)力學(xué)性能實驗數(shù)據(jù)較為缺乏，目前查到的肝臟本構(gòu)模型大多是基于準靜態(tài)實驗發(fā)展而來的，他們通常將肝臟組織看作超彈性材料，采用不同形式的應(yīng)變能函數(shù)得到一個率無關(guān)的超彈性本構(gòu)模型.即使一些研究者考慮了肝臟組織的黏彈性特征，但其黏彈性本構(gòu)模型也僅是基于較低應(yīng)變率實驗所得到的參數(shù)，只能描述低應(yīng)變率下的黏彈性現(xiàn)象.Sparks等[19]基于非晶高聚物有限變形理論，發(fā)展了人類肝臟率相關(guān)本構(gòu)模型，但其描述的應(yīng)變率范圍為 19.7s?1～62.5s?1，僅屬中應(yīng)變率范圍.而因高應(yīng)變率下肝臟的實驗數(shù)據(jù)較為缺乏，目前還沒有查閱到與試驗結(jié)果相比較的高應(yīng)變率下的率型本構(gòu)模型.

本文通過英斯特朗(Instron)材料試驗機對豬肝組織的準靜態(tài)力學(xué)性能進行了研究，分別考察準靜態(tài)下應(yīng)變率和加載方向?qū)ωi肝組織力學(xué)性能的影響，應(yīng)變率分別為0.004s?1和0.04s?1，加載方向分別為平行肝臟表面和垂直表面的準靜態(tài)試驗，并一直壓縮至破壞，以獲得壓縮時的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變.利用改進的SHPB實驗裝置對豬肝組織在高應(yīng)變率下 (1300s?1，2400s?1，4500s?1)的力學(xué)性能進行了研究.基于橡膠類材料的黏超彈性本構(gòu)模型理論，發(fā)展出了能描述豬肝在很寬應(yīng)變率范圍力學(xué)性能的率型本構(gòu)模型.

1 材料和方法

1.1 試樣準備

試驗所用肝臟均取自生豬，生豬宰后切割出肝臟部分，約3h后送入實驗室.為了保持器官組織的水分，送入試驗室后，在準備試樣及實驗前的過程中，定時噴灑生理鹽溶液.為盡量減少死后時間對組織力學(xué)性能的影響，每次實驗控制在死后8h以內(nèi).

1.2 豬肝準靜態(tài)壓縮實驗

從結(jié)構(gòu)上看，肝臟的表面有一薄層致密的結(jié)締組織構(gòu)成的被膜.被膜深入肝內(nèi)形成網(wǎng)狀支架，將肝實質(zhì)分隔為許多具有相似形態(tài)和相同功能的被稱為肝小葉的基本單元.本次豬肝壓縮試驗的試樣均取自肝實質(zhì)部分，首先用手術(shù)刀小心剔除外層薄薄的被膜，再用鋒利的陶瓷刀沿著垂直于豬肝表面和平行于豬肝表面的方向仔細切出厚度約6mm的片狀試樣，然后用打磨鋒利的環(huán)形鉆具，盡量避開大的脈管，鉆取直徑約為12mm的圓柱形試樣，最終的試樣尺寸由游標卡尺三次測量取平均值確定.壓縮載荷沿著圓柱形試樣的軸向施加，如圖1所示，P方向代表試樣加載的軸線方向垂直于豬肝的表面，L方向代表試樣加載的軸線方向平行于豬肝的表面.實驗過程中對等待檢測的圓柱形試樣噴灑生理溶液保持濕度.所有準靜態(tài)壓縮試驗均在Instron材料試驗機上進行，使用250N量程的小載荷傳感器，載荷控制精度為示值的0.5%，加載應(yīng)變率分別控制為0.004s?1和 0.04s?1.

1.3 豬肝動態(tài)壓縮實驗

SHPB實驗技術(shù)已被廣泛用于各類材料的動態(tài)力學(xué)性能測試，該實驗技術(shù)建立在兩個基本假定的基礎(chǔ)上，即桿中的一維應(yīng)力波假定和試樣中的應(yīng)力均勻假定.對于生物軟組織材料，由于其強度及波阻抗極低，在進行SHPB試驗時，會遇到透射信號小、均勻性假定難滿足、試樣徑向慣性效應(yīng)引起的軸向應(yīng)力附加值影響較大等困難.一些研究者為此提出了許多改進的方法，例如選用低廣義波阻抗的高聚物桿[27]或中空鋁桿[25]作為透射桿，以及利用高靈敏度傳感器等方法來獲取高信噪比的透射信號[22]；通過波形整形技術(shù)及減小試樣厚度的方法使得試樣盡快滿足均勻假定[21,24]；選用中空環(huán)形試樣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的圓形試樣的方法[21]，或利用數(shù)值修正方法來減小徑向慣性效應(yīng)的影響[22].

本次SHPB實驗所用桿件均為超硬鋁，桿件直徑均為14.5mm，入射桿和透射桿長度均為1500mm，子彈長為600mm，試驗時采用了如下的改進技術(shù).

(1)采用長子彈加載及多層醫(yī)用橡皮膏對入射波進行整形，得到有一定升時及加載平臺的梯形入射波.

(2)考慮到豬肝試樣尺寸較小且極為柔軟，形狀不易保持穩(wěn)定，制作環(huán)形試樣易破壞組織，且內(nèi)外徑的測量會帶來誤差，故試樣仍設(shè)計為圓柱形.Yang等[29]研究表明，應(yīng)力波需要在試樣中傳播數(shù)個來回，試樣才能達到應(yīng)力均勻.由于軟組織波速較低，為盡快使得試樣達到均勻，必須盡量減小試樣的厚度，故選用的圓柱形試樣厚度約為2mm，直徑約為10mm，試樣的加工方法與準靜態(tài)實驗相同.

(3)試樣兩端涂抹植物油以減小試樣兩端的摩擦.

(4)入射桿上粘貼電阻應(yīng)變片用來采集入射應(yīng)變信號εI(t)和反射應(yīng)變信號εR(t).試樣兩端各置一片直徑為14.5mm，厚度為0.2mm的X切石英壓電片來檢測試樣與入射桿交界面處的壓力信號P1(t)及試樣與透射桿交界面的壓力信號P2(t).為保護石英片及便于引線，石英片的兩面用導(dǎo)電膠各粘貼一個同直徑的薄鋁片(厚度為1.2mm).肌肉材料有一定的導(dǎo)電性，試樣與鋁墊片之間用絕緣膠布隔離.作者曾在研究肌肉軟組織的SHPB實驗技術(shù)時[22]，通過對比透射桿上的半導(dǎo)體應(yīng)變片得到的透射應(yīng)變，及后端面石英片壓力信號計算出的透射應(yīng)變，發(fā)現(xiàn)兩者具有很好的一致性，但半導(dǎo)體應(yīng)變片噪音信號較大.故這里后端面的石英片同時用于對透射信號的檢測.透射應(yīng)變可用下式計算

其中E,A分別為透射桿的彈性模量和截面積.

在兩個基本假定滿足的條件下，試樣的應(yīng)變率、應(yīng)變、應(yīng)力可用下式來計算

改進后的SHPB實驗裝置如圖2所示，利用該裝置對豬肝組織進行動態(tài)試驗，所得的典型波形如圖3所示(應(yīng)變率為4500s?1時).

對比圖3中兩石英片的信號，發(fā)現(xiàn)入射加載波處于上升階段，前端面的石英片信號明顯大于后端面，曲線表現(xiàn)出一個凸起的尖峰信號.平臺加載階段兩者大小基本一致.進入卸載階段，前端面石英片信號又明顯小于后端面.Casem等[30]曾對這一現(xiàn)象進行了分析，并提出了修正墊片慣性力影響的方法.利用該方法對前端面石英片的力信號進行修正，與后端面石英片的力信號進行對比，如圖4所示.這說明試樣兩端的應(yīng)力在加載的大部分時間重合較好，能夠滿足均勻假定.

圖2 改進的SHPB實驗裝置簡圖Fig.2 Schematic diagram of modi fi ed SHPB experimental set-up

圖4 修正后前端面的壓力曲線與后端面壓力曲線Fig.4 Modi fi ed force curve at front end and force curve at back end

為了使試樣盡快進入應(yīng)力均勻狀態(tài)，采用了薄片試樣的方法，但是，當試樣的長徑比過小時，徑向慣性效應(yīng)會引起軸向應(yīng)力附加，對于強度很低的軟材料，徑向慣性引起的軸向應(yīng)力附加值很可能與材料力學(xué)性能的應(yīng)力值在同一個量級.Song等[21]為此提出了環(huán)形試樣的設(shè)計方法，Pervin等[25]在牛肝組織的動態(tài)測試也應(yīng)用了該方法，但是肝組織極軟，其形狀不易穩(wěn)定，環(huán)形試樣加工困難，尺寸測量的誤差也會對試樣結(jié)果造成一定的影響.作者等曾在豬后腿肌肉試驗中，利用Kolsky提出的徑向慣性效應(yīng)引起的軸向應(yīng)力附加值公式對這一影響進行了數(shù)值修正[22]

圖5 試驗透射應(yīng)力及消除徑向慣性效應(yīng)后的透射應(yīng)力Fig.5 Stress measured and stress by radial inertial correction

2 實驗結(jié)果和討論

2.1 準靜態(tài)實驗

通過準靜態(tài)實驗，可以得到豬肝組織在兩種應(yīng)變率 (0.004s?1，0.04s?1)、兩種加載方向下 (P向和L向)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，每條曲線均由9次實驗曲線平均得到，如圖6所示.可以看出，豬肝組織的應(yīng)力應(yīng)變曲線在破壞之前呈現(xiàn)出凹向上非線性特征，初始階段應(yīng)力幅值極低，當應(yīng)變超過30%后，肝臟組織逐漸被壓實，應(yīng)力迅速增大，直至達到最大的壓縮強度.將此時的應(yīng)力定義為破壞應(yīng)力，相應(yīng)的應(yīng)變定義為破壞應(yīng)變.每種條件下的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變結(jié)果如表1所示.在這之后，應(yīng)力出現(xiàn)了一個小幅波動的平臺段，最終應(yīng)力迅速下降.

圖6 豬肝準靜態(tài)下的壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.6 The stress-strain curves for porcine liver at quasi-static compression

表1 肝臟組織壓縮破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變Table 1 Failure stress an failure strain for porcine liver compression

從圖 6可以看出，應(yīng)變率從 0.004s?1提高到0.04s?1，豬肝組織的力學(xué)性能無顯著變化.Hu等[31]對豬肝組織的研究中也發(fā)現(xiàn)應(yīng)變率在0.001～0.01s?1范圍，其力--位移曲線幾乎沒有變化.但應(yīng)變率繼續(xù)增大，量級從 10?2s?1提高到 100s?1，Hu 等[32]發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變率對豬肝的力學(xué)性能影響不可忽略.從圖3還可以發(fā)現(xiàn)，兩種加載方向下，豬肝組織的平均應(yīng)力應(yīng)變曲線也十分接近，這說明，在實驗所用試樣的尺度來看，豬肝組織可看作各向同性材料.Pervin等[25]對牛肝在不同加載方向的實驗中，也得出了相同的結(jié)論.

基于單因素方差分析法(ANOVA)分別分析應(yīng)變率和加載方向?qū)ζ茐膽?yīng)力和破壞應(yīng)變的影響，發(fā)現(xiàn)兩種應(yīng)變率下和兩種加載方向下破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變無顯著差別.若將所有條件下的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變?nèi)∑骄担瑒t可得到肝臟組織的平均破壞應(yīng)力為0.45MPa，破壞應(yīng)變?yōu)?8%.

2.2 動態(tài)實驗結(jié)果

通過改進的SHPB實驗裝置沿L方向?qū)ωi肝組織進行了動態(tài)壓縮實驗，共有三組應(yīng)變率，分別為1300s?1，2400s?1，4500s?1.每條曲線均由九次實驗曲線平均得到，應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖7所示.為對比，圖中增加了L向應(yīng)變率為0.04s?1時的應(yīng)力應(yīng)變曲線.可以發(fā)現(xiàn)，高應(yīng)變率時的應(yīng)力應(yīng)變曲線的形狀與準靜態(tài)時相似，也表現(xiàn)出凹向上的非線性特征，開始時應(yīng)力幅值較低，應(yīng)變約為30%后，應(yīng)力幅值迅速增大.但動態(tài)實驗未能給出豬肝組織的破壞性能，高應(yīng)變率時應(yīng)力應(yīng)變曲線中的應(yīng)力最大值對應(yīng)的是載荷結(jié)束時刻的應(yīng)力值，而非破壞應(yīng)力.

圖7 豬肝高應(yīng)變率下的壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.7 Dynamic compressive stress-strain curves for porcine liver

高應(yīng)變率條件下，豬肝組織的力學(xué)性能體現(xiàn)出一定的率敏感性.當應(yīng)變?yōu)?30% 時，應(yīng)變率從1300s?1變化到 4500s?1時，應(yīng)力從 0.08MPa 變化到0.19MPa.對比高應(yīng)變率和準靜態(tài)時的應(yīng)力應(yīng)變曲線，可以發(fā)現(xiàn)，高應(yīng)變率時的流動應(yīng)力相比準靜態(tài)顯著增加.Sparks等[19]發(fā)現(xiàn)，在鈍沖擊條件下(應(yīng)變率為19.7s?1～62.5s?1)人死后肝臟組織的力學(xué)性能具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng).Pervin等[25]發(fā)現(xiàn)牛肝組織在中應(yīng)變率和高應(yīng)變率范圍也表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng).將Sparks和Pervin等的實驗結(jié)果與本研究結(jié)果進行對比，如圖8所示.本文和Pervin等得到的肝臟應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀相似，初始應(yīng)力水平很低，而Sparks等則存在一個較大的初始模量.這很可能是由于落錘試驗在加載開始階段，試樣的慣性所導(dǎo)致的尖峰，而并非試樣本身的力學(xué)性能.對比Pervin等的實驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)和本文得到的應(yīng)力幅值在同一量級.但是本文得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線在應(yīng)力迅速上升階段，上升的速度更快.這有可能是因為試樣所取研究對象不同所導(dǎo)致.

圖8 本文與他人實驗結(jié)果對比Fig.8 Comparison between the current study and other studies

3 豬肝的率型本構(gòu)模型

由前文中的準靜態(tài)試驗結(jié)果可知，在低應(yīng)變率下，豬肝組織的力學(xué)性能受應(yīng)變率和加載方向的影響很小，可近似把豬肝組織看成各向同性均勻材料.考慮到肝組織的高含水量，可以將其看作不可壓材料[8].且從準靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀來看，豬肝的應(yīng)力應(yīng)變曲線表現(xiàn)出橡膠類超彈性材料的非線性凹向上特征.一種基于應(yīng)變能函數(shù)的唯象本構(gòu)模型常用來描述橡膠類材料的超彈性性能[33]，一些有限元軟件中也提供了幾種常用的應(yīng)變能密度函數(shù)如：Mooney-Rivlin函數(shù)[34]、Odgen函數(shù)[35]，Yeoh函數(shù)[36-37]等.一些研究者基于這些常用的應(yīng)變能密度函數(shù)，或進行適當修正，發(fā)展了描述各類生物軟組織等材料超彈性特征的本構(gòu)模型[7-8].這里也將通過選用合適的應(yīng)變能密度函數(shù)，來發(fā)展低應(yīng)變率條件下肝組織的超彈性本構(gòu)模型.

由SHPB實驗結(jié)果可知，高應(yīng)變率時肝臟組織的強度相比準靜態(tài)時有所提高，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng).為了完整描述豬肝組織從準靜態(tài)到高應(yīng)變率條件下的力學(xué)性能，將本構(gòu)模型通過兩部分簡單相加得到，其中一部分用來表示準靜態(tài)時的超彈性力學(xué)性能，一部分用來表示高應(yīng)變率下的應(yīng)變率效應(yīng)，該方法在發(fā)展橡膠和肌肉等材料的率型本構(gòu)時也常被應(yīng)用[38-40]，即

式中，σe(ε)表示準靜態(tài)時的超彈性性能，σv(ε,)表示高應(yīng)變率時的率相關(guān)黏彈性性能.

3.1 超彈性本構(gòu)模型

根據(jù)有限變形理論，一個材料點變形前位于X，變形后位于x，那么變形梯度為F=?x/?X，右Cauchy-Green張量用C=FTF來表示.C的三個不變量可記為

式中，λ1，λ2，λ3表示三個主伸長率.當材料不可壓時，I3=1.對不可壓各向同性材料，應(yīng)變能密度函數(shù)通常為應(yīng)變不變量I1和I2的函數(shù).

利用ANSYS有限元軟件提供的超彈性模型擬合功能，用幾種常見的超彈性模型對肝組織準靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線進行擬合發(fā)現(xiàn)，二參數(shù)和三參數(shù)的Mooney模型及Odgen模型在描述大應(yīng)變時(應(yīng)變超過25%)與試驗結(jié)果相差較大.五參數(shù)的Mooney模型及Yeoh模型能較好地描述肝組織準靜態(tài)力學(xué)性能，考慮到盡量減少模型參數(shù)，因此選用Yeoh模型來表示，該模型只包含不變量I1，應(yīng)變能密度函數(shù)為

其中，C10，C20，C30為材料參數(shù).

對不可壓超彈性材料，主Cauchy應(yīng)力通?？捎上率絹泶_定

這里pe為超彈性材料的靜水壓力.

將式(5)和式(6)代入式(7)可得

對單軸壓縮實驗，令λ1=λ表示加載方向的伸長率，表示第一主 Cauchy應(yīng)力，在不可壓假定下，有λ2=λ3=λ?1/2，另兩個主應(yīng)力為則有

聯(lián)立式(9)、式(10)可得

主伸長率λ=1+ε，ε為工程應(yīng)變，壓縮時為負.主Cauchy應(yīng)力σe=Teλ，Te為工程應(yīng)力，壓縮為負.

因準靜態(tài)條件下，不同應(yīng)變率和不同加載方向下的平均應(yīng)力應(yīng)變曲線十分接近，這里選用應(yīng)變率為0.04s?1沿著肝臟表面加載方向下得到的工程應(yīng)力應(yīng)變曲線來進行擬合，可以得到參數(shù)C10,C20,C30，如表1所示.

3.2 黏彈性材料模型

黏彈性材料的力學(xué)行為與之前的變形歷史有關(guān)，對均勻各向同性不可壓黏彈性材料，其本構(gòu)關(guān)系可由下式來表示[41]

式中，σv為黏彈性部分的主Cauchy應(yīng)力張量，pv是黏彈性材料的靜水壓力.函數(shù)?反映應(yīng)變歷史對應(yīng)力的影響，對此前人已經(jīng)提出了多種形式的近似表達式，例如BKZ模型[42]中函數(shù)?采用單積分形式來表示

式中,A(t?τ)和B(t?τ)表示與時間或應(yīng)變率相關(guān)的函數(shù)，E為Green應(yīng)變張量，

若忽略式(13)中第一個積分項的影響，令

這里B1為材料參數(shù)，m(t)為隨時間遞減的松弛函數(shù)，通常松弛函數(shù)m(t)可表示為

為了盡量減少模型參數(shù)，取N=1.則應(yīng)變歷史相關(guān)的矩陣函數(shù)?可表示為

通過分析應(yīng)力應(yīng)變曲線，發(fā)現(xiàn)同一應(yīng)變處應(yīng)力并非隨著應(yīng)變率線性增大，若B1用常數(shù)表示，則無法描述這一現(xiàn)象.因而，這里將B1表示為右Cauchy-Green張量C的不變量及不變量的時間導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，令

式中，A1,10,20為材料常數(shù).將式(16)和式(17)代入式(12)，可得

3.3 黏超彈性模型

將式(18)代入式(3)可得近似表達式，例如BKZ模型[42]中函數(shù)?采用單積分

對單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，在不可壓假定下，F(xiàn)和C的表達式如下

由σ1=σ可得

由σ2=σ3=0可得到

這里σe由式(11)確定，和θ為材料參數(shù)，分別表示工程應(yīng)變和工程應(yīng)變率，應(yīng)力應(yīng)變以壓縮為負.通過擬合高應(yīng)變率下的工程應(yīng)力應(yīng)變曲線，可得到各參數(shù)值，分別為9.668×105,0.0026,0.0232,0.3359,0.0675MPa,A1為0.906×10?5MPa,θ為18.485μs.擬合的結(jié)果如圖9所示，發(fā)現(xiàn)擬合結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)重復(fù)較好，這一模型參數(shù)將為肝臟器官在沖擊下的損傷評估及防護設(shè)計提供重要的材料依據(jù).

圖9 肝臟應(yīng)力應(yīng)變曲線與本構(gòu)擬合Fig.9 Comparison between predicted and experimental stress-strain curves

4 結(jié)論

利用Instron材料試驗機和改進的SHPB實驗裝置對新鮮豬肝組織進行了兩種低應(yīng)變率(0.004s?1，0.04s?1)和三種高應(yīng)變率(1300s?1,2400s?1,4500s?1)的單軸壓縮實驗，并在低應(yīng)變率條件下進行了兩種加載方向的壓縮試驗，研究了應(yīng)變率和加載方向?qū)ωi肝組織力學(xué)性能的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn)豬肝組織表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，高應(yīng)變率時豬肝組織的強度相比低應(yīng)變率時有了明顯的提高.但加載方向?qū)ωi肝組織的力學(xué)性能無明顯影響，因而可將其看作各向同性材料.準靜態(tài)條件下，還研究了豬肝組織的破壞性能，發(fā)現(xiàn)兩種應(yīng)變率和加載方向下其破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變無顯著差別，破壞應(yīng)力約為0.45MPa，破壞應(yīng)變約為48%.

為描述準靜態(tài)時豬肝組織的力學(xué)性能，將其看作不可壓各向同性超彈性材料，采用Yeoh應(yīng)變能密度函數(shù)，發(fā)展豬肝組織準靜態(tài)低應(yīng)變率下的超彈性本構(gòu)模型.基于黏彈性理論，考慮高應(yīng)變率時的應(yīng)變率效應(yīng)，提出了能描述很寬應(yīng)變率范圍豬肝組織的率型本構(gòu)模型，該模型可為肝臟器官在沖擊下的損傷評估及防護設(shè)計提供重要的材料依據(jù).

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RESEARCH ON DYNAMIC MECHANICAL RESPONSE AND CONSTITUTIVE MODEL OF PORCINE LIVER1)

Wang Baozhen*,2)Hu Shisheng?
*(School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei230009，China)
?(CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials，University of Science and Technology of China，Hefei230026，China)

Impact-induced injuries to the abdominal organs appear frequently in traffic accidents and even cause serious life-threatening.The liver is one of the most vulnerable abdominal organs,leading to high mortality rate.An understanding of the dynamic mechanical behaviors of the liver could aid in the design of the safety equipment to e ff ectively reduce the occurrence of liver injury.The specimens of liver parenchyma were harvested from the fresh porcine livers.The Instron material testing machine was used to obtain the quasi-static responses up to the point of failure at the two strain rates(0.004s?1and 0.04s?1)and two loading directions(perpendicular and parallel directions to the liver surface).The high strain rate(1300s?1,2400s?1,4500s?1)experiments were performed using the modi fi ed SHPB equipment along the liver surface.The results show that all stress-strain curves are nonlinear and concave upward.Stress level of curves is very low at the initial stage up to about 30%strain,and then increases steeply.No signi fi cant di ff erences in the failure stress(about 0.45MPa)and strain(about 48%)were observed for two loading rates and directions at quasi-static tests.However,it was found that the liver tissue became much sti ff er at high strain rates than at quasi-static rates,indicating the strain rate dependence.The Yeoh hyperelastic material model was used to characterize the mechanical behaviors of the liver at quasi-static loading.Based on an improved visco-hyperelastic model,a rate-dependent constitutive model was proposed to describe the responses of the liver from the low strain rates to high strain rates.The model is found to be in excellent agreement with the experimental results.

liver,dynamic mechanical response,SHPB,constitutive model,high strain rate

O347.3

A doi：10.6052/0459-1879-17-238

2017–06–28 收稿，2017–09–15 錄用,2017–09–15 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11102206)，合肥工業(yè)大學(xué)博士專項科研基金(J2014HGBZ0178)資助項目.

2)王寶珍，講師，主要研究方向：材料動力學(xué)行為.E-mail:bzwang@hfut.edu.cn

王寶珍,胡時勝.豬肝動態(tài)力學(xué)性能及本構(gòu)模型研究.力學(xué)學(xué)報,2017,49(6):1399-1408

Wang Baozhen,Hu Shisheng.Research on dynamic mechanical response and constitutive model of porcine liver.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1399-1408