王寶珍 胡時(shí)勝

*(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥230009)

?(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230026)

生物、工程及交叉力學(xué)

豬肝動(dòng)態(tài)力學(xué)性能及本構(gòu)模型研究1)

王寶珍*,2)胡時(shí)勝?

*(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥230009)

?(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230026)

在交通事故中，腹部器官常因沖擊載荷作用而受到傷害，嚴(yán)重時(shí)甚至危及生命.肝損傷是腹部損傷中最為常見的一種，致死率很高，了解肝臟的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能對(duì)于事故中肝臟的損傷評(píng)估及防護(hù)設(shè)計(jì)有著重要的意義.從新鮮的豬肝組織中取肝實(shí)質(zhì)部分制作試樣，利用英斯特朗材料試驗(yàn)機(jī)對(duì)其進(jìn)行兩種加載率(0.004s?1，0.04s?1)和兩種加載方向(垂直肝臟表面和平行于肝臟表面)的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)，并壓縮至破壞.利用改進(jìn)的分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar，SHPB)實(shí)驗(yàn)裝置沿平行于肝臟表面方向進(jìn)行三種高應(yīng)變率(1300s?1,2400s?1，4500s?1)的動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn).結(jié)果表明：所有應(yīng)變率下的豬肝壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線都呈非線性凹向上特征，初始階段應(yīng)力值很低，應(yīng)變約30%后應(yīng)力幅值顯著增大；準(zhǔn)靜態(tài)壓縮時(shí)，兩種應(yīng)變率(0.004s?1，0.04s?1)和兩種加載方向下肝臟組織破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變等力學(xué)性能無顯著不同，平均破壞應(yīng)變?yōu)?8%，平均破壞應(yīng)力為0.45MPa.高應(yīng)變率下肝臟組織的流動(dòng)應(yīng)力明顯高于準(zhǔn)靜態(tài)下的流動(dòng)應(yīng)力，表現(xiàn)出一定的率敏感性.采用Yeoh型超彈性本構(gòu)模型描述豬肝組織準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能，基于黏超彈性模型理論，提出了一個(gè)能描述肝臟組織從低應(yīng)變率到高應(yīng)變率范圍力學(xué)性能的率相關(guān)本構(gòu)模型，該模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的一致性.

肝臟，動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，分離式霍普金森壓桿，本構(gòu)模型，高應(yīng)變率

引言

交通事故無時(shí)無刻不在威脅著人類的生命安全.在交通事故中，人體的組織和器官往往會(huì)因沖擊載荷的作用而受到損傷，進(jìn)而危及生命.據(jù) Lamielle等[1]對(duì)法國交通事故的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：1980—1999年間的交通傷以頭頸損傷為主，然而，隨著汽車防護(hù)裝置的改善，頭頸損傷比例大幅降低，腹部損傷反而占據(jù)極高的比例，保護(hù)腹部器官免受損傷變得非常重要.而且由于腹部器官所處的特殊位置，周圍較少有硬組織保護(hù)，損傷往往非常嚴(yán)重，給人類生命帶來嚴(yán)重威脅.腹部器官中，肝損傷是其中最為常見的一種，且致死率很高，保護(hù)肝臟在沖擊中免受傷害尤為重要.有限元數(shù)值仿真是安全防護(hù)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要手段，通過數(shù)值模擬[2-3]，可以分析組織器官在沖擊時(shí)的受力和變形情況.但要得到有效的仿真結(jié)果，需要了解組織器官真實(shí)的力學(xué)性能以提供準(zhǔn)確的材料本構(gòu)模型，因此，充分的了解肝臟組織在沖擊載荷作用下的力學(xué)性能并發(fā)展相應(yīng)的材料本構(gòu)模型具有極其重要的意義.

Yamada[4]和Melvin等[5]較早便關(guān)注腹部組織器官的力學(xué)性能，分別以兔和獼猴為研究對(duì)象研究了腹臟器官的力學(xué)性能.但之后數(shù)年相關(guān)研究較少，直到近二十年來，交通安全問題越來越受關(guān)注，人體各類組織器官的力學(xué)性能也越來越受重視，使用的試驗(yàn)手段也越來越多樣.一些研究者們利用壓縮試驗(yàn)[6-8]、壓痕實(shí)驗(yàn)[9-10]、拉伸實(shí)驗(yàn)[11-12]、各種低頻黏彈性實(shí)驗(yàn)等方法[13-16]對(duì)肝臟的力學(xué)性能展開了研究.此外，一些非創(chuàng)傷性的影像技術(shù)，如磁共振彈性成像技術(shù)(MRE)[17]及超聲成像技術(shù)[18]等也被應(yīng)用來研究肝臟的力學(xué)性能，但是這些試驗(yàn)大多是在較低應(yīng)變率下進(jìn)行的.

在汽車碰撞及其他沖擊事件中，人體的組織器官所經(jīng)受的應(yīng)變率通常遠(yuǎn)超準(zhǔn)靜態(tài)的應(yīng)變率范圍，有時(shí)會(huì)高達(dá)103s?1量級(jí)，這就要求必須對(duì)其在高應(yīng)變率下的力學(xué)性能有所了解.Sparks等[19]曾對(duì)人尸的肝臟進(jìn)行落錘沖擊實(shí)驗(yàn)，研究其動(dòng)力學(xué)性能，但應(yīng)變率范圍也僅為 19.7s?1～62.5s?1.近些年，一些研究者開始嘗試?yán)梅蛛x式霍普金森壓桿(split Hopkings pressure bar,SHPB)實(shí)驗(yàn)裝置來測試各類動(dòng)物軟組織如皮膚[20]、肌肉[21-24]、腦組織[25]及其他器官[26]的沖擊力學(xué)性能，Clemmer等[27]利用高聚物霍普金森壓桿技術(shù)獲得了豬肝在應(yīng)變率為550s?1時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線.Pervin等[28]以牛的肝臟為研究對(duì)象，通過改進(jìn)的SHPB實(shí)驗(yàn)技術(shù)獲得了應(yīng)變率高達(dá)103s?1量級(jí)下牛肝的動(dòng)態(tài)壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線.

由于倫理等方面的限制，通常采用動(dòng)物組織和器官作為替代品來近似研究人類組織器官的力學(xué)性能.而組織器官的力學(xué)性能會(huì)受動(dòng)物種類的影響[13]，選擇與人體組織器官力學(xué)性能更接近的動(dòng)物為研究對(duì)象，其參考意義會(huì)越大.Brunon等[11]在單軸拉伸試驗(yàn)條件下，研究發(fā)現(xiàn)，未經(jīng)冷凍的新鮮豬肝組織與人類肝臟的力學(xué)性能較為接近.因而，豬肝可作為一種理想的替代品，用于研究人體肝臟組織的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能.

由于肝臟組織的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為缺乏，目前查到的肝臟本構(gòu)模型大多是基于準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)發(fā)展而來的，他們通常將肝臟組織看作超彈性材料，采用不同形式的應(yīng)變能函數(shù)得到一個(gè)率無關(guān)的超彈性本構(gòu)模型.即使一些研究者考慮了肝臟組織的黏彈性特征，但其黏彈性本構(gòu)模型也僅是基于較低應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)所得到的參數(shù)，只能描述低應(yīng)變率下的黏彈性現(xiàn)象.Sparks等[19]基于非晶高聚物有限變形理論，發(fā)展了人類肝臟率相關(guān)本構(gòu)模型，但其描述的應(yīng)變率范圍為 19.7s?1～62.5s?1，僅屬中應(yīng)變率范圍.而因高應(yīng)變率下肝臟的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為缺乏，目前還沒有查閱到與試驗(yàn)結(jié)果相比較的高應(yīng)變率下的率型本構(gòu)模型.

本文通過英斯特朗(Instron)材料試驗(yàn)機(jī)對(duì)豬肝組織的準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行了研究，分別考察準(zhǔn)靜態(tài)下應(yīng)變率和加載方向?qū)ωi肝組織力學(xué)性能的影響，應(yīng)變率分別為0.004s?1和0.04s?1，加載方向分別為平行肝臟表面和垂直表面的準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)，并一直壓縮至破壞，以獲得壓縮時(shí)的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變.利用改進(jìn)的SHPB實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)豬肝組織在高應(yīng)變率下 (1300s?1，2400s?1，4500s?1)的力學(xué)性能進(jìn)行了研究.基于橡膠類材料的黏超彈性本構(gòu)模型理論，發(fā)展出了能描述豬肝在很寬應(yīng)變率范圍力學(xué)性能的率型本構(gòu)模型.

1 材料和方法

1.1 試樣準(zhǔn)備

試驗(yàn)所用肝臟均取自生豬，生豬宰后切割出肝臟部分，約3h后送入實(shí)驗(yàn)室.為了保持器官組織的水分，送入試驗(yàn)室后，在準(zhǔn)備試樣及實(shí)驗(yàn)前的過程中，定時(shí)噴灑生理鹽溶液.為盡量減少死后時(shí)間對(duì)組織力學(xué)性能的影響，每次實(shí)驗(yàn)控制在死后8h以內(nèi).

1.2 豬肝準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)

從結(jié)構(gòu)上看，肝臟的表面有一薄層致密的結(jié)締組織構(gòu)成的被膜.被膜深入肝內(nèi)形成網(wǎng)狀支架，將肝實(shí)質(zhì)分隔為許多具有相似形態(tài)和相同功能的被稱為肝小葉的基本單元.本次豬肝壓縮試驗(yàn)的試樣均取自肝實(shí)質(zhì)部分，首先用手術(shù)刀小心剔除外層薄薄的被膜，再用鋒利的陶瓷刀沿著垂直于豬肝表面和平行于豬肝表面的方向仔細(xì)切出厚度約6mm的片狀試樣，然后用打磨鋒利的環(huán)形鉆具，盡量避開大的脈管，鉆取直徑約為12mm的圓柱形試樣，最終的試樣尺寸由游標(biāo)卡尺三次測量取平均值確定.壓縮載荷沿著圓柱形試樣的軸向施加，如圖1所示，P方向代表試樣加載的軸線方向垂直于豬肝的表面，L方向代表試樣加載的軸線方向平行于豬肝的表面.實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)等待檢測的圓柱形試樣噴灑生理溶液保持濕度.所有準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)均在Instron材料試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，使用250N量程的小載荷傳感器，載荷控制精度為示值的0.5%，加載應(yīng)變率分別控制為0.004s?1和 0.04s?1.

1.3 豬肝動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)

SHPB實(shí)驗(yàn)技術(shù)已被廣泛用于各類材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能測試，該實(shí)驗(yàn)技術(shù)建立在兩個(gè)基本假定的基礎(chǔ)上，即桿中的一維應(yīng)力波假定和試樣中的應(yīng)力均勻假定.對(duì)于生物軟組織材料，由于其強(qiáng)度及波阻抗極低，在進(jìn)行SHPB試驗(yàn)時(shí)，會(huì)遇到透射信號(hào)小、均勻性假定難滿足、試樣徑向慣性效應(yīng)引起的軸向應(yīng)力附加值影響較大等困難.一些研究者為此提出了許多改進(jìn)的方法，例如選用低廣義波阻抗的高聚物桿[27]或中空鋁桿[25]作為透射桿，以及利用高靈敏度傳感器等方法來獲取高信噪比的透射信號(hào)[22]；通過波形整形技術(shù)及減小試樣厚度的方法使得試樣盡快滿足均勻假定[21,24]；選用中空環(huán)形試樣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的圓形試樣的方法[21]，或利用數(shù)值修正方法來減小徑向慣性效應(yīng)的影響[22].

本次SHPB實(shí)驗(yàn)所用桿件均為超硬鋁，桿件直徑均為14.5mm，入射桿和透射桿長度均為1500mm，子彈長為600mm，試驗(yàn)時(shí)采用了如下的改進(jìn)技術(shù).

(1)采用長子彈加載及多層醫(yī)用橡皮膏對(duì)入射波進(jìn)行整形，得到有一定升時(shí)及加載平臺(tái)的梯形入射波.

(2)考慮到豬肝試樣尺寸較小且極為柔軟，形狀不易保持穩(wěn)定，制作環(huán)形試樣易破壞組織，且內(nèi)外徑的測量會(huì)帶來誤差，故試樣仍設(shè)計(jì)為圓柱形.Yang等[29]研究表明，應(yīng)力波需要在試樣中傳播數(shù)個(gè)來回，試樣才能達(dá)到應(yīng)力均勻.由于軟組織波速較低，為盡快使得試樣達(dá)到均勻，必須盡量減小試樣的厚度，故選用的圓柱形試樣厚度約為2mm，直徑約為10mm，試樣的加工方法與準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)相同.

(3)試樣兩端涂抹植物油以減小試樣兩端的摩擦.

(4)入射桿上粘貼電阻應(yīng)變片用來采集入射應(yīng)變信號(hào)εI(t)和反射應(yīng)變信號(hào)εR(t).試樣兩端各置一片直徑為14.5mm，厚度為0.2mm的X切石英壓電片來檢測試樣與入射桿交界面處的壓力信號(hào)P1(t)及試樣與透射桿交界面的壓力信號(hào)P2(t).為保護(hù)石英片及便于引線，石英片的兩面用導(dǎo)電膠各粘貼一個(gè)同直徑的薄鋁片(厚度為1.2mm).肌肉材料有一定的導(dǎo)電性，試樣與鋁墊片之間用絕緣膠布隔離.作者曾在研究肌肉軟組織的SHPB實(shí)驗(yàn)技術(shù)時(shí)[22]，通過對(duì)比透射桿上的半導(dǎo)體應(yīng)變片得到的透射應(yīng)變，及后端面石英片壓力信號(hào)計(jì)算出的透射應(yīng)變，發(fā)現(xiàn)兩者具有很好的一致性，但半導(dǎo)體應(yīng)變片噪音信號(hào)較大.故這里后端面的石英片同時(shí)用于對(duì)透射信號(hào)的檢測.透射應(yīng)變可用下式計(jì)算

其中E,A分別為透射桿的彈性模量和截面積.

在兩個(gè)基本假定滿足的條件下，試樣的應(yīng)變率、應(yīng)變、應(yīng)力可用下式來計(jì)算

改進(jìn)后的SHPB實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，利用該裝置對(duì)豬肝組織進(jìn)行動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，所得的典型波形如圖3所示(應(yīng)變率為4500s?1時(shí)).

對(duì)比圖3中兩石英片的信號(hào)，發(fā)現(xiàn)入射加載波處于上升階段，前端面的石英片信號(hào)明顯大于后端面，曲線表現(xiàn)出一個(gè)凸起的尖峰信號(hào).平臺(tái)加載階段兩者大小基本一致.進(jìn)入卸載階段，前端面石英片信號(hào)又明顯小于后端面.Casem等[30]曾對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了分析，并提出了修正墊片慣性力影響的方法.利用該方法對(duì)前端面石英片的力信號(hào)進(jìn)行修正，與后端面石英片的力信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示.這說明試樣兩端的應(yīng)力在加載的大部分時(shí)間重合較好，能夠滿足均勻假定.

圖2 改進(jìn)的SHPB實(shí)驗(yàn)裝置簡圖Fig.2 Schematic diagram of modi fi ed SHPB experimental set-up

圖4 修正后前端面的壓力曲線與后端面壓力曲線Fig.4 Modi fi ed force curve at front end and force curve at back end

為了使試樣盡快進(jìn)入應(yīng)力均勻狀態(tài)，采用了薄片試樣的方法，但是，當(dāng)試樣的長徑比過小時(shí)，徑向慣性效應(yīng)會(huì)引起軸向應(yīng)力附加，對(duì)于強(qiáng)度很低的軟材料，徑向慣性引起的軸向應(yīng)力附加值很可能與材料力學(xué)性能的應(yīng)力值在同一個(gè)量級(jí).Song等[21]為此提出了環(huán)形試樣的設(shè)計(jì)方法，Pervin等[25]在牛肝組織的動(dòng)態(tài)測試也應(yīng)用了該方法，但是肝組織極軟，其形狀不易穩(wěn)定，環(huán)形試樣加工困難，尺寸測量的誤差也會(huì)對(duì)試樣結(jié)果造成一定的影響.作者等曾在豬后腿肌肉試驗(yàn)中，利用Kolsky提出的徑向慣性效應(yīng)引起的軸向應(yīng)力附加值公式對(duì)這一影響進(jìn)行了數(shù)值修正[22]

圖5 試驗(yàn)透射應(yīng)力及消除徑向慣性效應(yīng)后的透射應(yīng)力Fig.5 Stress measured and stress by radial inertial correction

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

通過準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)，可以得到豬肝組織在兩種應(yīng)變率 (0.004s?1，0.04s?1)、兩種加載方向下 (P向和L向)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，每條曲線均由9次實(shí)驗(yàn)曲線平均得到，如圖6所示.可以看出，豬肝組織的應(yīng)力應(yīng)變曲線在破壞之前呈現(xiàn)出凹向上非線性特征，初始階段應(yīng)力幅值極低，當(dāng)應(yīng)變超過30%后，肝臟組織逐漸被壓實(shí)，應(yīng)力迅速增大，直至達(dá)到最大的壓縮強(qiáng)度.將此時(shí)的應(yīng)力定義為破壞應(yīng)力，相應(yīng)的應(yīng)變定義為破壞應(yīng)變.每種條件下的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變結(jié)果如表1所示.在這之后，應(yīng)力出現(xiàn)了一個(gè)小幅波動(dòng)的平臺(tái)段，最終應(yīng)力迅速下降.

圖6 豬肝準(zhǔn)靜態(tài)下的壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.6 The stress-strain curves for porcine liver at quasi-static compression

表1 肝臟組織壓縮破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變Table 1 Failure stress an failure strain for porcine liver compression

從圖 6可以看出，應(yīng)變率從 0.004s?1提高到0.04s?1，豬肝組織的力學(xué)性能無顯著變化.Hu等[31]對(duì)豬肝組織的研究中也發(fā)現(xiàn)應(yīng)變率在0.001～0.01s?1范圍，其力--位移曲線幾乎沒有變化.但應(yīng)變率繼續(xù)增大，量級(jí)從 10?2s?1提高到 100s?1，Hu 等[32]發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變率對(duì)豬肝的力學(xué)性能影響不可忽略.從圖3還可以發(fā)現(xiàn)，兩種加載方向下，豬肝組織的平均應(yīng)力應(yīng)變曲線也十分接近，這說明，在實(shí)驗(yàn)所用試樣的尺度來看，豬肝組織可看作各向同性材料.Pervin等[25]對(duì)牛肝在不同加載方向的實(shí)驗(yàn)中，也得出了相同的結(jié)論.

基于單因素方差分析法(ANOVA)分別分析應(yīng)變率和加載方向?qū)ζ茐膽?yīng)力和破壞應(yīng)變的影響，發(fā)現(xiàn)兩種應(yīng)變率下和兩種加載方向下破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變無顯著差別.若將所有條件下的破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變?nèi)∑骄?，則可得到肝臟組織的平均破壞應(yīng)力為0.45MPa，破壞應(yīng)變?yōu)?8%.

2.2 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過改進(jìn)的SHPB實(shí)驗(yàn)裝置沿L方向?qū)ωi肝組織進(jìn)行了動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)，共有三組應(yīng)變率，分別為1300s?1，2400s?1，4500s?1.每條曲線均由九次實(shí)驗(yàn)曲線平均得到，應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖7所示.為對(duì)比，圖中增加了L向應(yīng)變率為0.04s?1時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線.可以發(fā)現(xiàn)，高應(yīng)變率時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線的形狀與準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)相似，也表現(xiàn)出凹向上的非線性特征，開始時(shí)應(yīng)力幅值較低，應(yīng)變約為30%后，應(yīng)力幅值迅速增大.但動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)未能給出豬肝組織的破壞性能，高應(yīng)變率時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線中的應(yīng)力最大值對(duì)應(yīng)的是載荷結(jié)束時(shí)刻的應(yīng)力值，而非破壞應(yīng)力.

圖7 豬肝高應(yīng)變率下的壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.7 Dynamic compressive stress-strain curves for porcine liver

高應(yīng)變率條件下，豬肝組織的力學(xué)性能體現(xiàn)出一定的率敏感性.當(dāng)應(yīng)變?yōu)?30% 時(shí)，應(yīng)變率從1300s?1變化到 4500s?1時(shí)，應(yīng)力從 0.08MPa 變化到0.19MPa.對(duì)比高應(yīng)變率和準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，可以發(fā)現(xiàn)，高應(yīng)變率時(shí)的流動(dòng)應(yīng)力相比準(zhǔn)靜態(tài)顯著增加.Sparks等[19]發(fā)現(xiàn)，在鈍沖擊條件下(應(yīng)變率為19.7s?1～62.5s?1)人死后肝臟組織的力學(xué)性能具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng).Pervin等[25]發(fā)現(xiàn)牛肝組織在中應(yīng)變率和高應(yīng)變率范圍也表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng).將Sparks和Pervin等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示.本文和Pervin等得到的肝臟應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀相似，初始應(yīng)力水平很低，而Sparks等則存在一個(gè)較大的初始模量.這很可能是由于落錘試驗(yàn)在加載開始階段，試樣的慣性所導(dǎo)致的尖峰，而并非試樣本身的力學(xué)性能.對(duì)比Pervin等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)和本文得到的應(yīng)力幅值在同一量級(jí).但是本文得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線在應(yīng)力迅速上升階段，上升的速度更快.這有可能是因?yàn)樵嚇铀⊙芯繉?duì)象不同所導(dǎo)致.

圖8 本文與他人實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison between the current study and other studies

3 豬肝的率型本構(gòu)模型

由前文中的準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)結(jié)果可知，在低應(yīng)變率下，豬肝組織的力學(xué)性能受應(yīng)變率和加載方向的影響很小，可近似把豬肝組織看成各向同性均勻材料.考慮到肝組織的高含水量，可以將其看作不可壓材料[8].且從準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀來看，豬肝的應(yīng)力應(yīng)變曲線表現(xiàn)出橡膠類超彈性材料的非線性凹向上特征.一種基于應(yīng)變能函數(shù)的唯象本構(gòu)模型常用來描述橡膠類材料的超彈性性能[33]，一些有限元軟件中也提供了幾種常用的應(yīng)變能密度函數(shù)如：Mooney-Rivlin函數(shù)[34]、Odgen函數(shù)[35]，Yeoh函數(shù)[36-37]等.一些研究者基于這些常用的應(yīng)變能密度函數(shù)，或進(jìn)行適當(dāng)修正，發(fā)展了描述各類生物軟組織等材料超彈性特征的本構(gòu)模型[7-8].這里也將通過選用合適的應(yīng)變能密度函數(shù)，來發(fā)展低應(yīng)變率條件下肝組織的超彈性本構(gòu)模型.

由SHPB實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，高應(yīng)變率時(shí)肝臟組織的強(qiáng)度相比準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)有所提高，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng).為了完整描述豬肝組織從準(zhǔn)靜態(tài)到高應(yīng)變率條件下的力學(xué)性能，將本構(gòu)模型通過兩部分簡單相加得到，其中一部分用來表示準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)的超彈性力學(xué)性能，一部分用來表示高應(yīng)變率下的應(yīng)變率效應(yīng)，該方法在發(fā)展橡膠和肌肉等材料的率型本構(gòu)時(shí)也常被應(yīng)用[38-40]，即

式中，σe(ε)表示準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)的超彈性性能，σv(ε,)表示高應(yīng)變率時(shí)的率相關(guān)黏彈性性能.

3.1 超彈性本構(gòu)模型

根據(jù)有限變形理論，一個(gè)材料點(diǎn)變形前位于X，變形后位于x，那么變形梯度為F=?x/?X，右Cauchy-Green張量用C=FTF來表示.C的三個(gè)不變量可記為

式中，λ1，λ2，λ3表示三個(gè)主伸長率.當(dāng)材料不可壓時(shí)，I3=1.對(duì)不可壓各向同性材料，應(yīng)變能密度函數(shù)通常為應(yīng)變不變量I1和I2的函數(shù).

利用ANSYS有限元軟件提供的超彈性模型擬合功能，用幾種常見的超彈性模型對(duì)肝組織準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行擬合發(fā)現(xiàn)，二參數(shù)和三參數(shù)的Mooney模型及Odgen模型在描述大應(yīng)變時(shí)(應(yīng)變超過25%)與試驗(yàn)結(jié)果相差較大.五參數(shù)的Mooney模型及Yeoh模型能較好地描述肝組織準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能，考慮到盡量減少模型參數(shù)，因此選用Yeoh模型來表示，該模型只包含不變量I1，應(yīng)變能密度函數(shù)為

其中，C10，C20，C30為材料參數(shù).

對(duì)不可壓超彈性材料，主Cauchy應(yīng)力通?？捎上率絹泶_定

這里pe為超彈性材料的靜水壓力.

將式(5)和式(6)代入式(7)可得

對(duì)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)，令λ1=λ表示加載方向的伸長率，表示第一主 Cauchy應(yīng)力，在不可壓假定下，有λ2=λ3=λ?1/2，另兩個(gè)主應(yīng)力為則有

聯(lián)立式(9)、式(10)可得

主伸長率λ=1+ε，ε為工程應(yīng)變，壓縮時(shí)為負(fù).主Cauchy應(yīng)力σe=Teλ，Te為工程應(yīng)力，壓縮為負(fù).

因準(zhǔn)靜態(tài)條件下，不同應(yīng)變率和不同加載方向下的平均應(yīng)力應(yīng)變曲線十分接近，這里選用應(yīng)變率為0.04s?1沿著肝臟表面加載方向下得到的工程應(yīng)力應(yīng)變曲線來進(jìn)行擬合，可以得到參數(shù)C10,C20,C30，如表1所示.

3.2 黏彈性材料模型

黏彈性材料的力學(xué)行為與之前的變形歷史有關(guān)，對(duì)均勻各向同性不可壓黏彈性材料，其本構(gòu)關(guān)系可由下式來表示[41]

式中，σv為黏彈性部分的主Cauchy應(yīng)力張量，pv是黏彈性材料的靜水壓力.函數(shù)?反映應(yīng)變歷史對(duì)應(yīng)力的影響，對(duì)此前人已經(jīng)提出了多種形式的近似表達(dá)式，例如BKZ模型[42]中函數(shù)?采用單積分形式來表示

式中,A(t?τ)和B(t?τ)表示與時(shí)間或應(yīng)變率相關(guān)的函數(shù)，E為Green應(yīng)變張量，

若忽略式(13)中第一個(gè)積分項(xiàng)的影響，令

這里B1為材料參數(shù)，m(t)為隨時(shí)間遞減的松弛函數(shù)，通常松弛函數(shù)m(t)可表示為

為了盡量減少模型參數(shù)，取N=1.則應(yīng)變歷史相關(guān)的矩陣函數(shù)?可表示為

通過分析應(yīng)力應(yīng)變曲線，發(fā)現(xiàn)同一應(yīng)變處應(yīng)力并非隨著應(yīng)變率線性增大，若B1用常數(shù)表示，則無法描述這一現(xiàn)象.因而，這里將B1表示為右Cauchy-Green張量C的不變量及不變量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，令

式中，A1,10,20為材料常數(shù).將式(16)和式(17)代入式(12)，可得

3.3 黏超彈性模型

將式(18)代入式(3)可得近似表達(dá)式，例如BKZ模型[42]中函數(shù)?采用單積分

對(duì)單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，在不可壓假定下，F(xiàn)和C的表達(dá)式如下

由σ1=σ可得

由σ2=σ3=0可得到

這里σe由式(11)確定，和θ為材料參數(shù)，分別表示工程應(yīng)變和工程應(yīng)變率，應(yīng)力應(yīng)變以壓縮為負(fù).通過擬合高應(yīng)變率下的工程應(yīng)力應(yīng)變曲線，可得到各參數(shù)值，分別為9.668×105,0.0026,0.0232,0.3359,0.0675MPa,A1為0.906×10?5MPa,θ為18.485μs.擬合的結(jié)果如圖9所示，發(fā)現(xiàn)擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重復(fù)較好，這一模型參數(shù)將為肝臟器官在沖擊下的損傷評(píng)估及防護(hù)設(shè)計(jì)提供重要的材料依據(jù).

圖9 肝臟應(yīng)力應(yīng)變曲線與本構(gòu)擬合Fig.9 Comparison between predicted and experimental stress-strain curves

4 結(jié)論

利用Instron材料試驗(yàn)機(jī)和改進(jìn)的SHPB實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)新鮮豬肝組織進(jìn)行了兩種低應(yīng)變率(0.004s?1，0.04s?1)和三種高應(yīng)變率(1300s?1,2400s?1,4500s?1)的單軸壓縮實(shí)驗(yàn)，并在低應(yīng)變率條件下進(jìn)行了兩種加載方向的壓縮試驗(yàn)，研究了應(yīng)變率和加載方向?qū)ωi肝組織力學(xué)性能的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn)豬肝組織表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，高應(yīng)變率時(shí)豬肝組織的強(qiáng)度相比低應(yīng)變率時(shí)有了明顯的提高.但加載方向?qū)ωi肝組織的力學(xué)性能無明顯影響，因而可將其看作各向同性材料.準(zhǔn)靜態(tài)條件下，還研究了豬肝組織的破壞性能，發(fā)現(xiàn)兩種應(yīng)變率和加載方向下其破壞應(yīng)力和破壞應(yīng)變無顯著差別，破壞應(yīng)力約為0.45MPa，破壞應(yīng)變約為48%.

為描述準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)豬肝組織的力學(xué)性能，將其看作不可壓各向同性超彈性材料，采用Yeoh應(yīng)變能密度函數(shù)，發(fā)展豬肝組織準(zhǔn)靜態(tài)低應(yīng)變率下的超彈性本構(gòu)模型.基于黏彈性理論，考慮高應(yīng)變率時(shí)的應(yīng)變率效應(yīng)，提出了能描述很寬應(yīng)變率范圍豬肝組織的率型本構(gòu)模型，該模型可為肝臟器官在沖擊下的損傷評(píng)估及防護(hù)設(shè)計(jì)提供重要的材料依據(jù).

1 Lamielle S,Cuny S,Foret-Bruno J,et al.Abdominal injury patterns in real frontal crashes:in fl uence of crash conditions,occupant seat and restraint systems//50th Annual proceedings/Association for the Advancement of Automotive Medicine.2006,50:109-124

2 Pachera P,Pavan PG,Todros S,et al.A numerical investigation of the healthy abdominal wall structures.Journal of Biomechanics,2016,49(9):1818-1823

3 Cheng L，Hannaford B.Finite element analysis for evaluating liver tissue damage due to mechanical compression.Journal of Biomechanics,2015,48(6):948-955

4 Yamada H.Strength of Biological Materials.Baltimore:Williams and Wilkins,1970

5 Melvin J,Stalnaker R,Roberts V,et al.Impact injury mechanism in abdominal organs//Proceedings of the 17th Stapp Car Crash Conference.Society of Automotive Engineers,Warrendale,PA:1973,115-126

6 Kemper AR,Santago AC,Stitzel JD,et al.E ff ect of strain rate on the material properties of human liver parenchyma in uncon fi ned compression.Journal of Biomechanical Engineering,2013,135:104503-104508

7 Umale S,Deck C,Bourdet N,et al.Experimental mechanical characterizationofabdominalorgans:Liver,kidney&spleen.Journalof the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2013,17:22-33

8 Gao Z,Lister K,Desai JP.Constitutive modeling of liver tissue experiment and theory.Annals of Biomedical Engineering,2010,38(2):505-516

9 Yarpuzlu B,Ayyildiz M,Tok OE,et al.Correlation between the mechanical and histological properties of liver tissue.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2014,29(SI):403-416

10 Kugler M,Hostettler A,Soler L,et al.Numerical simulation and identi fi cation of macroscopic vascularised liver behaviour:Case of indentation tests.Bio-Medical Materials and Engineering,2017,28(s1):S107-S111

11 Lu Y,Kemper AR,Untaroiu CD.E ff ect of storage on tensile material properties of bovine liver.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2014,29(SI):339-349

12 Untaroiu CD,Lu YC,Siripurapu SK,et al.Modeling the biomechanical and injury response of human liver parenchyma under tensile loading.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2015,41:280-291

13 Mattei G,Ahluwalia A.Sample,testing and analysis variables affecting liver mechanical properties:A review.Acta Biomaterialia,2016,45:60-71

14 Mattei G,Tirella A,Gallone G,et al.Viscoelastic characterisation of pig liver in uncon fi ned compression.Journal of Biomechanics,2014,47(11):2641-2646

15 Ayyildiz M,Cinoglu S,Basdogan C.E ff ect of normal compression on the shear modulus of soft tissue in rheological measurements.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2015,49:235-243

16 Zhu Y,Chen X,Zhang X,et al.Modeling the mechanical properties of liver fi brosis in rats.Journal of Biomechanics,2016,49(9):1461-1467

17 Brinker S,Klatt D.Demonstration of concurrent tensile testing and magnetic resonance elastography.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2016,63:232-243

18 Lin H,Shen Y,Chen X,et al.Viscoelastic properties of normal rat liver measured by ultrasound elastography:Comparison with oscillatory rheometry.Biorheology,2016,53(5-6):193-207

19 Sparks JL,Dupaix RB.Constitutive modeling of rate-dependent stress-strain behavior of human liver in blunt impact loading.An-nals of Biomedical Engineering,2008,36(11):1883-1981

20 王志超.豬皮生物材料的力學(xué)特性研究.[碩士論文].寧波:寧波大學(xué),2014(Wang Zhichao.Research on mechanical properties of pigskins as biological materials.[Master’sThesis].Ningbo,Ningbo University,2014(in Chinese))

21 Song B,Chen W,Ge Y,et al.Dynamic and quasi-static compressive response of porcine muscle.Journal of Biomechanics,2007,40(13):2999-3005

22 王寶珍，胡時(shí)勝.豬后腿肌肉的沖擊壓縮特性實(shí)驗(yàn).爆炸與沖擊,2010,30(1):33-38(Wang Baozhen,Hu Shisheng.Dynamic compression experiments of porcine ham muscle.Explosion and Shock Waves,2010,30(1):33-38(in Chinese))

23 王寶珍，鄭宇軒，胡時(shí)勝.豬后腿肌肉的動(dòng)態(tài)拉伸性能.爆炸與沖擊，2010，30(5)：449-455(Wang Baozhen,Zheng Yuxuan,Hu Shisheng.Dynamic tensile properties of porcine ham muscle.Explosion and Shock Waves,2010，30(5)：449-455

24 Chen WW.Experimental methods for characterizing dynamic response of soft materials.Journal of Dynamic Behavior of Materials,2016,2(1):2-14

25 Pervin,F,Chen WW.E ff ect of inter-species,gender,and breeding on the mechanical behavior of brain tissue.Neuroimage,2011,541:S98-S102

26 Saraf H,Ramesh KT,Lennon AM,et al.Mechanical properties of soft human tissues under dynamic loading.Journal of Biomechanics,2007,40(9):1960-1967

27 Clemmer J,Prabhu R,Chen J,et al.Experimental observation of high strain rate responses of porcine brain,liver,and tendon.Journal of Mechanics in Medicine and Biology.2016,16(3):1650032

28 Pervin F,Chen WW,Weerasooriya T.Dynamic Compressive response of Bovine liver tissues.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2011,4(1):76-84

29 Yang L M,Shim V.An analysis of stress uniformity in split Hopkinson bar test specimens.International Journal of Impact Engineering,2005,31(2):129-150

30 Casem D,Weerasooriya T,Moy P.Inertial e ff ects of quartz force transducers embedded in a split Hopkinson pressure bar.Experimental Mechanics,2005,45(4):368-376

31 Hu T,Desai JP.A Biomechanical model of the liver for reality-based haptic feedback//Ellis,RE,Peters PM.(Eds.).Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention-Miccai 2003,International Conference,Montr′eal,Canada,2003,Proceedings.DBLP,2003:75-82

32 Hu T,Desai JP.Soft-tissue material properties under large deformation:strain rate e ff ect//Engineering in Medicine and Biology Society,2004.Iembs’04.International Conference of the IEEE.IEEE,2004:2758-2761

33 孟令凱，周長東,郭坤鵬等.一類新的超彈性–循環(huán)塑性本構(gòu)模型.力學(xué)學(xué)報(bào),2016,48(3):660-674(Meng Lingkai,Zhou Changdong,Guo Kunpeng,et al.A new formulation of constitutive model for hyperelastic-cyclic plasticity.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(3):660-674(in Chinese))

34 Mooney MJ.A theory of large elastic deformation.Journal of Applied Physics,1940,11(6):582-592

35 Ogden RW.Large deformation isotropic elasticity-on the corre-lation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids//Proceedings of the Royal Society of London.A.Mathematical and Physical Sciences,1972,326(1567):565-584

36 Yeoh OH.Some forms of the strain energy for rubber.Rubber Chemistry and Technology,1993,66(5):754-771

37 談炳東，許進(jìn)升，賈云飛等.短纖維增強(qiáng)EPDM包覆薄膜超彈性本構(gòu)模型.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):317-323(Tan Bingdong,Xu Jinsheng,Jia Yunfei,et al.Hyperelastic constitutive model for short fiber reinforced EPDM inhibitor fi lm.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):317-323(in Chinese))

38 Shim V,Yang LM,Lim CT,et al.A visco-hyperelastic constitutive model to characterize both tensile and compressive behavior of rubber.Journal of Applied Polymer Science,2004,92(1):523-531

39 王寶珍,胡時(shí)勝.沖擊載荷下豬后腿肌肉的橫向同性本構(gòu)模型.爆炸與沖擊,2011,31(6):567-572(Wang Baozhen,Hu Shisheng.A transversely isotropic constitutive model for porcine ham muscle under impact loading.Explosion and Shock Waves,2011,31(6):567-572(in Chinese))

40 黃小雙,彭雄奇,張必超.簾線/橡膠復(fù)合材料各向異性黏–超彈性本構(gòu)模型.力學(xué)學(xué)報(bào),2016,48(1):140-145(Huang Xiaoshuang,Peng Xiongqi,Zhang Bichao.An anisotropic visco-hyperelastic constitutive model for cord-rubber composites.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(1):140-145(in Chinese))

41 Lockett FJ.Nonlinear Viscoelastic Solids.New York:Academic Press,1972

42 Bernstein B,Kearsley A,Zapas LJ.A study of stress relaxation with finite strain.Rubber Chemistry and Technology,1965,38:76-89

RESEARCH ON DYNAMIC MECHANICAL RESPONSE AND CONSTITUTIVE MODEL OF PORCINE LIVER1)

Wang Baozhen*,2)Hu Shisheng?
*(School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei230009，China)
?(CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials，University of Science and Technology of China，Hefei230026，China)

Impact-induced injuries to the abdominal organs appear frequently in traffic accidents and even cause serious life-threatening.The liver is one of the most vulnerable abdominal organs,leading to high mortality rate.An understanding of the dynamic mechanical behaviors of the liver could aid in the design of the safety equipment to e ff ectively reduce the occurrence of liver injury.The specimens of liver parenchyma were harvested from the fresh porcine livers.The Instron material testing machine was used to obtain the quasi-static responses up to the point of failure at the two strain rates(0.004s?1and 0.04s?1)and two loading directions(perpendicular and parallel directions to the liver surface).The high strain rate(1300s?1,2400s?1,4500s?1)experiments were performed using the modi fi ed SHPB equipment along the liver surface.The results show that all stress-strain curves are nonlinear and concave upward.Stress level of curves is very low at the initial stage up to about 30%strain,and then increases steeply.No signi fi cant di ff erences in the failure stress(about 0.45MPa)and strain(about 48%)were observed for two loading rates and directions at quasi-static tests.However,it was found that the liver tissue became much sti ff er at high strain rates than at quasi-static rates,indicating the strain rate dependence.The Yeoh hyperelastic material model was used to characterize the mechanical behaviors of the liver at quasi-static loading.Based on an improved visco-hyperelastic model,a rate-dependent constitutive model was proposed to describe the responses of the liver from the low strain rates to high strain rates.The model is found to be in excellent agreement with the experimental results.

liver,dynamic mechanical response,SHPB,constitutive model,high strain rate

O347.3

A doi：10.6052/0459-1879-17-238

2017–06–28 收稿，2017–09–15 錄用,2017–09–15 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11102206)，合肥工業(yè)大學(xué)博士專項(xiàng)科研基金(J2014HGBZ0178)資助項(xiàng)目.

2)王寶珍，講師，主要研究方向：材料動(dòng)力學(xué)行為.E-mail:bzwang@hfut.edu.cn

王寶珍,胡時(shí)勝.豬肝動(dòng)態(tài)力學(xué)性能及本構(gòu)模型研究.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(6):1399-1408

Wang Baozhen,Hu Shisheng.Research on dynamic mechanical response and constitutive model of porcine liver.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1399-1408