陳振陽 韓修靜 畢勤勝

(江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

離散達芬映射中由邊界激變所誘發(fā)的復雜的張弛振蕩1)

陳振陽 韓修靜2)畢勤勝

(江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

多時間尺度問題具有廣泛的工程與科學研究背景，慢變參數(shù)則是多時間尺度問題的典型標志之一.然而現(xiàn)有文獻所報道的慢變參數(shù)問題，其展現(xiàn)出的振蕩形式及內(nèi)部分岔結(jié)構(gòu)，大多較為單一，此外少有文獻涉及到混沌激變的現(xiàn)象.本文以含慢變周期激勵的達芬映射為例，探討了一類具有復雜分岔結(jié)構(gòu)的張弛振蕩.快子系統(tǒng)的分岔表現(xiàn)為S形不動點曲線，其上、下穩(wěn)定支可經(jīng)由倍周期分岔通向混沌.而在一定的參數(shù)條件下，存在著導致混沌吸引子突然消失的一對臨界參數(shù)值.當分岔參數(shù)達到此臨界值時，混沌吸引子可能與不穩(wěn)定不動點相接觸，也可能與之相距一定距離.對快子系統(tǒng)吸引域分布的模擬，表明存在著導致邊界激變(boundary crisis)的臨界值，在這些值附近，經(jīng)由延遲倍周期分岔演化而來的混沌吸引子可與2n(n=0,1,2,···)周期軌道乃至混沌吸引子共存.當慢變量周期地穿過臨界點后，雙穩(wěn)態(tài)的消失導致原本處于混沌軌道的軌線對稱地向此前共存的吸引子轉(zhuǎn)遷，從而使系統(tǒng)出現(xiàn)了不同吸引子之間的滯后行為，由此產(chǎn)生了由邊界激變所誘發(fā)的多種對稱式張弛振蕩.本文的結(jié)果豐富了對離散系統(tǒng)的多時間尺度動力學機理的認識.

離散達芬系統(tǒng)，邊界激變，張弛振蕩，延遲倍周期分岔

引言

許多自然現(xiàn)象及工程與科學研究中的問題，均涉及到不同時間尺度間的相互作用，例如厄爾尼諾與南方濤動(ENSO)現(xiàn)象[1]、冰川冰期的波動[2]、環(huán)境因素對農(nóng)作物生長的影響[3]、激素的分泌[4]、材料在微觀尺度上的力學性能[5]、聲振耦合模型中的微尺度效應[6]、化工生產(chǎn)中液體的流動特性[7-8[9-10]、混沌吸引子的突變[11-12[13]以及Ambrosio和Azizalaoui[14]討論了快慢耦合系統(tǒng)的吸引域的特性；Samoilenko等[15]通過代數(shù)推導，分析了快慢振子由阻尼振蕩到多頻率振蕩的轉(zhuǎn)遷過程.Li和Bi[16]從快慢分析的角度，對慢變周期擾動下B-Z反應中一類奇特簇發(fā)現(xiàn)象的產(chǎn)生與演化機理進行了解釋.而文獻[17-19]則從實驗的角度,對不同模式的混沌簇放電的動力學機理進行了研究.

由于連續(xù)時間系統(tǒng)可通過龐加萊(Poincar′e)映射約化為離散系統(tǒng)，且離散系統(tǒng)具有數(shù)值計算上的便捷性，故而近年來，離散系統(tǒng)中多時間尺度效應日益受到學者們的關注.例如，基于Rinzel的快慢分析法，Izhikevich與Hoppensteadt[20]依據(jù)導致系統(tǒng)在沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)間過渡的分岔組合，系統(tǒng)化的探討了一維和二維映射可能出現(xiàn)的簇發(fā)模式.Tanaka與Ushio[21]提出了一種用二維映射構(gòu)造擁有特定周期的簇發(fā)的方法，并對相應的分岔進行了解釋；Tanaka等[22]分析了一類高維映射中的分岔機理.Mo等[23]綜合了實驗與數(shù)值模擬的結(jié)果，對不連續(xù)映射簇發(fā)中出現(xiàn)的加周期(period adding)分岔現(xiàn)象做出了詳盡的解釋.Metta等[24]通過構(gòu)造隨機擾動下的耦合映射,討論了離散系統(tǒng)中的開關間歇振蕩(on-o ffintermittency)對簇發(fā)的影響機制.Shi和Lu[25]則利用二維的不連續(xù)映射，對不同耦合形式下的簇發(fā)同步現(xiàn)象進行了研究.

當然，需要指出的是，盡管目前關于離散系統(tǒng)中多時間尺度問題的研究大多是針對簇發(fā)振蕩的動力學機理，但就整體而言，主要存在兩方面的不足.其一，相應的振蕩模式較為固定，即小幅振蕩與大幅振蕩的交替出現(xiàn)，且激發(fā)態(tài)多為周期形式的.另一方面，目前所報道的結(jié)果中，所涉及的分岔類型相對比較單一，對于由混沌激變所引發(fā)的分岔，少有文獻涉及.在筆者先前的工作中[26]，考慮了如下的一類二維非自治映射

其中a,b是實參數(shù)，Zn是慢變的周期擾動.以此系統(tǒng)為例，我們探討了兩類具有復雜分岔結(jié)構(gòu)的簇發(fā)振蕩模式，即經(jīng)由Fold分岔所誘發(fā)的對稱式簇發(fā)，以及經(jīng)由延遲倍周期分岔所誘發(fā)的非對稱式簇發(fā).在此基礎之上，本文仍將對系統(tǒng)(1)進行分析，旨在從數(shù)值角度，探討一類具有復雜分岔結(jié)構(gòu)的對稱式張弛振蕩.所得的結(jié)果將表明，慢變量將誘發(fā)混沌吸引子的邊界激變(boundary crisis)，進而使系統(tǒng)發(fā)生在混沌吸引子與多種類型軌道間的對稱式轉(zhuǎn)遷.與此同時，由于軌線轉(zhuǎn)遷到不同類型的軌道，振蕩簇內(nèi)部的延遲倍周期分岔也將展現(xiàn)出不同的幾何結(jié)構(gòu)，相應的延遲量與延遲次數(shù)都是不一致的，這也意味著張弛振蕩的形式是豐富多樣的.

1 快子系統(tǒng)的分岔分析

由于慢變周期擾動的存在，為了解釋系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下，其振蕩模式的產(chǎn)生及演化機理，本部分將分析映射(1)所對應的快子系統(tǒng)

其中，β是控制參數(shù)；而慢子系統(tǒng)則由Zn=Fcos(ωn),ω=o(1)刻畫.此外，為便于描述，本文中的a值固定為a=2.5，而外激勵頻率ω則取0.001.

如前文所述，本文將討論由邊界激變所誘發(fā)的復雜張弛振蕩模式，并從數(shù)值角度對相關機理進行解釋.所謂混沌激變，是指隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，混沌吸引子突然出現(xiàn)或消失，或者大小與個數(shù)發(fā)生突變，文獻[27-29]對混沌激變進行了詳盡的分類與解釋.一般來說，當混沌吸引子與其吸引域的邊界相接觸時，就意味著邊界激變的發(fā)生，從而導致軌線逃離原來的吸引子，進而有可能發(fā)生向其它吸引子(如周期軌道)的轉(zhuǎn)遷.

當軌線在不同吸引子間轉(zhuǎn)遷時，往往會導致復雜的振蕩模式[30].轉(zhuǎn)遷形式是由快子系統(tǒng)的分岔行為所決定的，而慢變量穿越分岔點的方式則對耦合系統(tǒng)的振蕩行為進行調(diào)制[31-32].因此快子系統(tǒng)的分岔分析對于快慢耦合系統(tǒng)動力學機理的解釋是至關重要的，故接下來將對映射(2)的分岔行為展開討論.

映射(2)的不動點可寫成(X0,X0)的形式,其中X0由方程的實根決定.在此令b<1.5，由此可知，映射(2)可以有1至3個不動點，其臨界條件是

參數(shù)在臨界值附近的微小擾動意味著Fold分岔的發(fā)生，即退化的不動點要么消失，要么分裂為兩個不同類型的不動點.

為了進一步揭示映射(2)的分岔行為，圖1以β為分岔參數(shù)，給出了當參數(shù)b取不同值時幾種含混沌激變的典型分岔模式.圖中用實線表示的上、下支，代表由穩(wěn)定不動點F±演化出的周期軌道或混沌吸引子，而中部的虛線代表不穩(wěn)定的不動點.此外，由不動點條件可知，若β=β1時，快子系統(tǒng)存在Fold分岔行為，那么當β=?β1時，快子系統(tǒng)必然也發(fā)生Fold分岔.由圖1可發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)b處在某些區(qū)間時，存在關于β的一對臨界值對于處在臨界值附近的系統(tǒng)，可展現(xiàn)由混沌吸引子與周期軌道或另一混沌吸引子構(gòu)成的雙穩(wěn)態(tài).而在臨界值處，發(fā)生了混沌吸引子的突變，進而導致了雙穩(wěn)態(tài)的消失，故系統(tǒng)將發(fā)生向另一吸引子的轉(zhuǎn)遷.因此，接下來針對幾種典型的轉(zhuǎn)遷模式進行討論.

圖1 快子系統(tǒng)關于β的單參數(shù)分岔圖Fig.1 Single parameter bifurcation diagrams of the fast sub-system with respect to β

圖1 快子系統(tǒng)關于β的單參數(shù)分岔圖(續(xù))Fig.1 Single parameter bifurcation diagrams of the fast sub-system with respect to β(continued)

情形1由混沌向周期1吸引子的轉(zhuǎn)遷.選取b=0.18，可得如圖1(a)所示的轉(zhuǎn)遷模式.在臨界點±0.175附近，系統(tǒng)處于混沌吸引子與周期1軌道共存的雙穩(wěn)態(tài).當β越過臨界值后，混沌吸引子突然消失，導致雙穩(wěn)態(tài)被破壞，故而系統(tǒng)會產(chǎn)生向周期1吸引子的轉(zhuǎn)遷.為進一步闡明轉(zhuǎn)遷的動力學機制，我們對不同轉(zhuǎn)遷模式下快子系統(tǒng)吸引域的分布進行了數(shù)值模擬.為方便起見，在此選取β=0.174，稍小于通過給出此種參數(shù)組合下混沌吸引子與周期1吸引子的吸引域，并將兩者疊加，可以發(fā)現(xiàn)在處，混沌吸引子與其吸引域的邊界相碰.由此引發(fā)混沌吸引子的消失,導致系統(tǒng)進入了單穩(wěn)態(tài)，故而邊界激變誘發(fā)了由混沌向周期1吸引子的轉(zhuǎn)遷，吸引域計算結(jié)果如圖2(a)所示.

情形2由混沌向周期2吸引子的轉(zhuǎn)遷.取b=0.1，快子系統(tǒng)可展現(xiàn)如圖1(b)的轉(zhuǎn)遷模式.由于在附近，混沌吸引子與周期2軌道共存，因此在β越過臨界值后，邊界激變導致了由混沌向周期2吸引子的轉(zhuǎn)遷.取β=0.094，周期2軌道吸引域的計算結(jié)果如圖2(b)，圖中實心點代表位于下半支的不穩(wěn)定不動點，顯然此轉(zhuǎn)遷模式是由邊界激變所誘發(fā)的.

圖2 位于上支的混沌吸引子與不同類型的共存吸引子的吸引域，其中白色區(qū)域表示混沌吸引子的吸引域，灰色區(qū)域為不動點或周期軌道的吸引域Fig.2 Chaotic attractor in the upper branch and basin of attraction of coexist attractor,where the white region refers to basin of chaotic attractor,while the gray region refers to basin of fi xed point or periodic orbit

圖2 位于上支的混沌吸引子與不同類型的共存吸引子的吸引域，其中白色區(qū)域表示混沌吸引子的吸引域，灰色區(qū)域為不動點或周期軌道的吸引域(續(xù))Fig.2 Chaotic attractor in the upper branch and basin of attraction of coexist attractor,where the white region refers to basin of chaotic attractor,while the gray region refers to basin of fi xed point or periodic orbit(continued)

情形3由混沌向周期4吸引子的轉(zhuǎn)遷.由圖1(c)可知，對b=0.062的情形，可觀察到在臨界值β±c附近，系統(tǒng)處于混沌吸引子與周期4軌道共存的雙穩(wěn)態(tài).取β=0.092，通過數(shù)值計算，可得如圖2(c)所示的吸引域分布.顯然，當β=β±c=0.096時，發(fā)生了由邊界激變導致的向周期4吸引子的轉(zhuǎn)遷.

情形4由混沌向周期8吸引子的轉(zhuǎn)遷.繼續(xù)調(diào)整b的值，若取b=0.048，可得到如圖1(d)所示的轉(zhuǎn)遷行為.可以發(fā)現(xiàn)在β±c=±0.092附近，存在與混沌吸引子共存的周期8吸引子.取β=0.091，吸引域的分布如圖2(d)所示，由此可知，邊界激變將導致由混沌到周期8的轉(zhuǎn)遷.

備注：由于周期1吸引子經(jīng)由一系列的倍周期分岔通向混沌，進一步調(diào)整b的大小，可觀察到向更高周期軌道乃至混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷模式，不失一般性，在此僅以向混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷為例.

情形5由混沌向混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷.取b=0.03，可得到如圖3(a)所示的轉(zhuǎn)遷模式，在β=β±c=0.09處，發(fā)生了由混沌吸引子向另一共存的混沌吸引子的轉(zhuǎn)遷.令β=0.088，相應的吸引域如圖3(b)，顯然邊界激變導致雙穩(wěn)態(tài)的消失，這也意味著系統(tǒng)由混沌軌道向另一混沌軌道的轉(zhuǎn)遷.

圖3 由混沌向混沌的轉(zhuǎn)遷模式,b=0.03Fig.3 Transition pattern of chaos to chaos,b=0.03

2 快慢耦合振蕩

前一部分討論了快子系統(tǒng)的分岔行為，表明了在邊界激變的臨界值附近，混沌吸引子可與多種周期軌道乃至混沌軌道共存，故而邊界激變誘發(fā)了由混沌向不同類型的吸引子的轉(zhuǎn)遷.基于此，本部分將探討由這些轉(zhuǎn)遷行為所導致的各種復雜張弛振蕩模式.

2.1 “混沌--周期1”型張弛振蕩

當混沌吸引子與周期1吸引子共存時，可以預見軌線將在混沌吸引子與周期1吸引子間交替轉(zhuǎn)遷.不失一般性，考慮b=0.18時的分岔情形.由前面的分析可知，為使軌線實現(xiàn)在上、下支間的轉(zhuǎn)遷，以得到不同類型的振蕩行為，顯然應讓慢變量穿越臨界值對于形如情形1的轉(zhuǎn)遷模式，取慢變量振幅F=0.19，稍大于可得到如圖4(a)所示的張弛振蕩.為進一步闡明系統(tǒng)振蕩行為隨慢變量的變化趨勢，在此將Zn視為廣義變量，給出相應的轉(zhuǎn)化相圖[33-34].此外，為方便快慢分析的運用，將其與快子系統(tǒng)的單參數(shù)分岔圖疊加，如圖4(b)所示.

從圖4(b)中可以看出，在Zn逐漸增大至的過程中，由于慢變量接連“正向”地穿過了與F+相關的多個倍周期分岔點，慢過效應(slow passage e ff ect)[7]導致了多次延遲倍周期分岔的發(fā)生，使得上半支的周期2軌道演變?yōu)榛煦缥?當慢變量穿過臨界值后，由于邊界激變的出現(xiàn)，混沌吸引子的消失導致了雙穩(wěn)態(tài)被破壞，原本處于上半支的軌線會轉(zhuǎn)遷到下半支的周期1吸引子，從而使系統(tǒng)進入平衡態(tài).Zn在到達最大值0.19后，開始逐漸減小，并“正向”地穿過下半支吸引子各級倍周期分岔點，進而使系統(tǒng)由于多次延遲倍周期分岔進入到混沌形態(tài).當Zn越過后，軌線將重復類似的過程，并進入下一個演化周期.由于系統(tǒng)展現(xiàn)出在混沌吸引子與周期1吸引子間的周期性跳躍振蕩，故可將其稱為“混沌--周期1”型張弛振蕩.

圖4 “混沌--周期1”型張弛振蕩，b=0.18,Zn=0.19cos(0.001n)Fig.4 “chaos-period-1”relaxation oscillation,b=0.18,Zn=0.19cos(0.001n)

2.2 “混沌--周期2”型張弛振蕩

當混沌吸引子與周期2吸引子共存時，考慮如情形2的轉(zhuǎn)遷形式，不難預測系統(tǒng)將產(chǎn)生另一種張弛振蕩.為此可選取b=0.1，此參數(shù)條件下，若令Zn=0.11cos(ωn),可得到如圖5所示的“混沌--周期2”振蕩模式.由圖5(b)可知，在Zn由?0.11逐漸增大的過程中，延遲效應導致原本處于周期2狀態(tài)的系統(tǒng)經(jīng)由兩次延遲倍周期分岔過渡到混沌，當Zn越過后，邊界激變使軌線轉(zhuǎn)遷到下半支的周期2吸引子.在此之后，由于Zn接連穿過了下半支不動點曲線上的倍周期分岔點，從而導致系統(tǒng)的狀態(tài)又由周期2逐級演變?yōu)榛煦?隨即系統(tǒng)將重復之前的演變，進入下一周期.

2.3 “混沌--周期4”型張弛振蕩

對符合情形3的快子系統(tǒng)，若取b=0.062，并施加振幅為0.1的慢變周期激勵，可得到如圖6所示的“混沌--周期4”型張弛振蕩.由圖6(b)可知，當Zn越過后，原本處于上半支混沌吸引子的軌線會由于邊界激變轉(zhuǎn)遷到下半支的周期4吸引子.之后處于周期4狀態(tài)的系統(tǒng)會由于延遲的倍周期分岔而直接轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐟B(tài)，進而系統(tǒng)將重復與之對稱的過程，從而完成一個周期的演化.可將其稱為“混沌--周期4”型張弛振蕩.

圖5 “混沌--周期2”型張弛振蕩，b=0.1,Zn=0.11cos(0.001n)Fig.5 “chaos-period-2”relaxation oscillation,b=0.1,Zn=0.11cos(0.001n)

圖6 “混沌--周期4”型張弛振蕩，b=0.062,Zn=0.1cos(0.001n)Fig.6 “chaos-period-4”relaxation oscillation,b=0.062,Zn=0.1cos(0.001n)

2.4 “混沌--周期8”及“混沌--混沌”型張弛振蕩

由快子系統(tǒng)的分岔行為可知，繼續(xù)調(diào)整參數(shù)b的值，可得到由混沌向周期 8等更高周期軌道乃至混沌吸引子轉(zhuǎn)遷的振蕩模式.例如分別取b=0.048,Zn=0.1cos(ωn)，以及b=0.03,Zn=0.1cos(ω·n)時，可得到另外兩種由邊界激變導致的張弛振蕩.圖 7(a)和圖 7(b)展現(xiàn)了 “混沌--周期8”型張弛振蕩，位于上半支的周期8吸引子由于延遲倍周期分岔而演變?yōu)榛煦缥?此后隨著邊界激變的發(fā)生，軌線產(chǎn)生了由混沌向周期8軌道的轉(zhuǎn)遷,顯然可將其稱為混沌--周期8”型振蕩.進一步的，對形如情形5的轉(zhuǎn)遷行為，可得到如圖7(c)和圖7(d)所示的“混沌--混沌”型張弛振蕩.

圖7 另外兩種模式的張弛振蕩Fig.7 Another two patterns of relaxation oscillation

3 結(jié)論

張弛振蕩是多時間尺度非線性系統(tǒng)中典型的快慢行為.探討張弛振蕩各種可能的誘發(fā)機制并對其進行分類，是張弛振蕩研究的重要問題之一.本文以兩時間尺度非自治離散達芬系統(tǒng)為例，揭示了由邊界激變所誘發(fā)的多種復雜的張弛振蕩模式.研究表明，快子系統(tǒng)展現(xiàn)出具有對稱結(jié)構(gòu)的S形分岔曲線，其上下穩(wěn)定支可經(jīng)由倍周期分岔進入混沌；隨后，又經(jīng)由邊界激變而消失.特別地，在激變點附近，可以觀測到混沌與周期 2n(n=0,1,2···)軌道共存，以及混沌與混沌共存等復雜的雙穩(wěn)態(tài)行為.混沌吸引子的邊界激變導致了雙穩(wěn)態(tài)行為的破壞，并誘發(fā)了系統(tǒng)從混沌向原先共存的各種吸引子的轉(zhuǎn)遷.基于此，揭示了諸如“混沌--周期2n”型和“混沌--混沌”型等多種不同類型的張弛振蕩的動力學機制.研究結(jié)果豐富了系統(tǒng)通向復雜的張弛振蕩模式的道路.

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COMPLEX RELAXATION OSCILLATION TRIGGERED BY BOUNDARY CRISIS IN THE DISCRETE DUFFING MAP1)

Chen Zhenyang Han Xiujing2)Bi Qinsheng
(Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang212013，Jiangsu，China)

Multiple-time scale problems are ubiquitous in both science and engineering,while the slow varying parameter is one of the iconic feature of multiple-time scale.However,up till now,most of bifurcation structures and oscillation patterns revealed by literatures are relatively simplex.In this paper,we take the non-autonomous Duffing map as a example to explore family of complex relaxation oscillation patterns,which are little concerned by previous study.The fast subsystem exhibits an S-shaped fi xed point curve,and the stable upper and lower branches evolve into chaos by a cascade of Flip bifurcations.What’s more,we can observe a pair of critical parameter values under some parameter conditions,which lead to the catastrophe vanish of chaotic attractors.When the bifurcation parameter reaches these values,chaotic attractors may contact with the unstable fi xed point or just stay in a distance apart.By simulating the distribution of basins of attraction owned by fast subsystem,we show that there exist critical points of boundary crisis,nearby which chaotic attractor evolved from stable fi xed points can coexist with period-2n(n=0,1,2,···)attractor or even another chaotic attractor.When the non-autonomous term(i.e.,the slow variable)passes through critical points,distruction of bi-stability may lead to the transition from chaotic attractor in pre-crisis stage to the coexisting attractor,thus the boundary crisis motivates di ff erent patterns of symmetric relaxation oscillation.In particular,patterns here show structures containing di ff erent number of delay fl ip bifurcations,owe to the fact that delay quantities of Flip points in di ff erent level take disparate magnitude.Our results enrich dynamical mechanisms of multiple-time scale in discrete systems.

discrete Duffing system,boundary crisis,relaxation oscillation,delayed fl ip bifurcations

O322

A doi：10.6052/0459-1879-17-138

2017–04–24 收稿，2017–06–26 錄用,2017–06–26 網(wǎng)絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金(11572141,11632008,11502091,11472115,11402226)和江蘇大學青年骨干教師培養(yǎng)工程資助項目.

2)韓修靜，副教授，主要研究方向：動力學與控制.E-mail：xjhan@mail.ujs.edu.cn

陳振陽，韓修靜，畢勤勝.離散達芬映射中由邊界激變所誘發(fā)的復雜的張弛振蕩.力學學報,2017,49(6):1380-1389

Chen Zhenyang,Han Xiujing,Bi Qinsheng.Complex relaxation oscillation triggered by boundary crisis in the discrete Duffing map.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1380-1389