江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 (郵編：215500)

2017年高考不等式試題的解法探究

江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 (郵編：215500)

根據(jù)題目中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)添加合適或待定的零元,利用配方、均值不等式等手段完成問(wèn)題解答的方法稱為“加零”法[1].本文將用“加零”法來(lái)解答2017年高考數(shù)學(xué)的有關(guān)不等式試題,供讀者教學(xué)與研究時(shí)參考.

將目標(biāo)式加上零元并利用均值不等式,得

則得P≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)).因此所求a＋2b的最小值為9.

值得指出的是若改變條件式或目標(biāo)式,則常數(shù)代換法或柯西不等式等方法就難以奏效.譬如題目的其他條件不變,改求a＋b2的最小值.則常數(shù)代換法將無(wú)功而返,采用柯西不等式也很難獲得求解,而采用“加零”法可一樣輕松搞定.解答如下：

例2 (2017年高考江蘇卷理科加試第21題)已知a、b、c、d為實(shí)數(shù),且a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,證明：ac＋bd≤8.

證 明 構(gòu) 造 零 元 －λ(a2＋b2－4)－μc(2＋d2－16),則

P＝ac＋bd＝ac＋bd－λ(a2＋b2－4)－μc(2＋d2－16)＝ (ac－λa2－μc2)＋(bdλb2－μd2)＋4λ＋16μ＝－ (a)2－2＋4λ＋16μ≤4λ＋16μ.

當(dāng)且僅當(dāng)aλ＝cμ,bλ＝dμ,2λμ＝1時(shí),不等式取等號(hào),代入已知條件,得λ＝1,μ＝?P≤8,所以不等式ac＋bd≤8成立.

例3 (2017年高考全國(guó)卷I(II、III)理科第23題)已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2,證明：(1)(a ＋b)(a5＋b5)≥4;(2)a＋b≤2.

證明 (1)根據(jù)不等式左邊代數(shù)式的特征,結(jié)合已知條件構(gòu)造零元－[(a3＋b3)2－4]則(a＋b)(a5＋b5)＝(a＋b)(a5＋b5)－[(a3＋b3)2－4]＝(a6＋b6＋ab5＋a5b)－(a6＋b6＋2a3b3－4)＝ab5＋a5b－2a3b3＋4＝ab(a2－b2)2＋4≥4;

(2)運(yùn)用已知條件要證明的不等式等價(jià)于a＋b( )3≤8?a3＋b3＋3a2b＋3ab2≤8?a2b＋ab2≤2.

因此可構(gòu)造零元－(a3＋b3－2),則

a2b＋ab2＝a2b＋ab2－(a3＋b3－2)＝a2(b－a)＋b2(a－b)＋2＝(b－a)(a2－b2)＋2＝－(a－b)2(a＋b)＋2≤2,

即不等式a2b＋ab2≤2成立,所以原不等式a＋b≤2成立.

評(píng)析 “加零”法一般都是利用條件,通過(guò)將目標(biāo)代數(shù)式加上一個(gè)含有參數(shù)的零元,利用配方或均值不等式等手段通過(guò)研究等號(hào)成立條件確定參數(shù)的值再作出解答的.但在具體解題操作時(shí)可根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征嘗試添加合適的零元直接完成求解.

例4 (2017年高考天津卷理科第12題(文科12))若a、b∈R,ab＞0,求最小值.

評(píng)析 本題是一個(gè)高考試題命題組精心命制的最值問(wèn)題,因它是一個(gè)非齊次的代數(shù)式,學(xué)生處理起來(lái)比較困難.下面,再給出此題的另外兩種解法：

方法1 由條件ab＞0利用四元均值不等式,得

1 查正開.“加零”法的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2015(7)

2017-09-19)