安徽省寧國中學(xué) 陳曉明 (郵編：242399)

對(duì)幾道高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)試題命題規(guī)律的探究

安徽省寧國中學(xué) 陳曉明 (郵編：242399)

導(dǎo)數(shù)試題的考查方式靈活,所蘊(yùn)含的思維量比較大,很多人對(duì)導(dǎo)數(shù)題如何備考有無所適從的感覺.其實(shí),高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)試題命題大有規(guī)律可循.作為教師,在日常教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)真題的研究,注重創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng),很抓數(shù)學(xué)思想的滲透.

高考數(shù)學(xué);全國卷;導(dǎo)數(shù)試題;命題規(guī)律

近些年來的全國高考數(shù)學(xué)試卷中,導(dǎo)數(shù)題往往作為最后一道壓軸題出現(xiàn),起到區(qū)分學(xué)生層次、選拔人才的作用,所以深受廣大一線師生的關(guān)注.因?yàn)閷?dǎo)數(shù)試題的考查方式靈活,所蘊(yùn)含的思維量比較大,因此即使解題工具眾所周知,很多人仍然對(duì)導(dǎo)數(shù)題如何備考有無所適從的感覺.也就是說,在面對(duì)“山重水復(fù)疑無路”的困境時(shí),如何找到“柳暗花明又一村”的途徑,是同學(xué)們最需解決的問題.[1]

因?yàn)椤皩?duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用,試題有一定的綜合性,并與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合,對(duì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等都進(jìn)行深入的考查,體現(xiàn)能力立意的命題原則”[2],所以這類題的備考確實(shí)也是不容易的,但也不能說沒有規(guī)律可循.下面以幾道高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)試題為例來探究其命題規(guī)律,從而更好地備考.

1 真題再現(xiàn)

例1 (2015年新課標(biāo)全國卷I文科第21題)設(shè)函數(shù)fx()＝e2x－alnx.

(1)討論fx()的導(dǎo)函數(shù)f′x()零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明：當(dāng)a＞0時(shí),f(x)≥2a＋aln.

標(biāo)準(zhǔn)答案(命題組提供答案)：

(1)f(x)的定義域?yàn)?(0 ,＋∞),f′(x)＝2e2x－(x ＞0).

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)＞0,f′(x)沒有零點(diǎn);

當(dāng)a＞0時(shí),因?yàn)閑2x單調(diào)遞增,－單調(diào)遞增,所 以 f′(x)在 (0 ,＋∞)單 調(diào) 遞 增.又f′(a)＞0,當(dāng)b滿足0＜b＜且b＜時(shí),f′(b)＜0,故當(dāng)a＞0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).

(3)由(1),可設(shè)f′(x)在 (0 ,＋∞)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈ (0 ,x0)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x∈ (x0,＋∞)時(shí),f′(x)＞ 0.故 f(x)在(0 ,x0)單調(diào)遞減,在 (x0,＋∞)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).

(2)設(shè)出“隱零點(diǎn)”(設(shè)而不求或根本無法求出具體數(shù)值的零點(diǎn))x0,得到一個(gè)關(guān)于“隱零點(diǎn)”x0的等式,然后進(jìn)一步得到,從而將fx0()＝alnx0中的e2x0和lnx0替換掉,得到,這樣就可以利用基本不等式解決問題.怎么想到將e2x0和lnx0都替換掉?不替換或者只替換其中一個(gè)行嗎?

無獨(dú)有偶,類似的困惑竟然在接下來的高考中再次出現(xiàn),請(qǐng)看下面的例子.

例2 (2016年新課標(biāo)全國卷I第21題文(2)、理(1))已知函數(shù)f(x)＝ (x －2)ex＋a(x －1)2有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

標(biāo)準(zhǔn)答案(命題組提供答案)：

①若a＝0,則f(x)＝(x －2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

② 若a＞0,則 當(dāng)x∈ (－ ∞,1)時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x∈ (1 ,＋∞) 時(shí),f′(x)＞0.所以 f(x)在 (－ ∞,1)內(nèi) 單 調(diào) 遞 減,在(1 ,＋∞) 內(nèi)單調(diào)遞增.又f(1)＝－e,f(2)＝a,取b滿足b＜0且,則fb()＞fx()存在兩個(gè)零點(diǎn).

③若a＜0,此略.

例3 (2017年新課標(biāo)全國卷I理科第21題)

已知函數(shù)fx()＝ae2x＋ a－2( )ex－x.

(1)討論fx()的單調(diào)性;

(2)若fx()有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

部分標(biāo)準(zhǔn)答案(命題組提供答案)：

(2)當(dāng)a∈ (0 ,1)時(shí),f(x)的最小值為f(－ lna)＝1－＋lna＜0.又f(－ 2)＝ae－4＋(a －2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0,由(1)知f(x)在 (－∞,－lna)內(nèi) 單 調(diào) 遞 減,故f(x)在 (－∞,－lna)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)

例4 (2017年新課標(biāo)全國卷II理科第21題)

已知函數(shù)fx()＝ax2－ax－xlnx,且fx()≥0.

(1)求a;

(2)證明：fx()存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e－2＜fx0()＜2－2.

部分標(biāo)準(zhǔn)答案(命題組提供答案)：(1)a＝1.(過程此略)

2 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案解析及命題規(guī)律探究

(1)文 3[]的看法：作者雷波老師研究的問題是例1,而且只分析第(1)問,因?yàn)樗J(rèn)為“此題只要突破了第(1)問,第(2)問則迎刃而解”.另外,認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)答案的解法“看似自然的解法,學(xué)生卻往往止步于尋找使得f′b()＜0的b的值,‘當(dāng)b滿足時(shí)’就如魔法師帽子里蹦出‘兔子’,幾乎很難讓人想到,有些勉強(qiáng)”.于是,巧妙轉(zhuǎn)化函數(shù)式的結(jié)構(gòu),提出了兩種新的解法,前者“直白、明了”,后者“自然、合理”,而且“學(xué)生更加容易理解和掌握”.

(2)文 4[]的看法：作者黃桂君老師研究了前面的例1、例2,以及其它省份高考題,并對(duì)文3[]的看法提出了自己的觀點(diǎn).在文 4[]中,黃老師一方面肯定了雷老師在文 3[]中善于將函數(shù)表達(dá)式通過巧妙的轉(zhuǎn)化,使得復(fù)雜的問題得以化解,從而輕松解決.另一方面也指出“當(dāng)b滿足時(shí)”并非“魔術(shù)”、唐突,而是真正的簡(jiǎn)單、有效;另外,雷老師說的“此題只要突破了第(1)問,第(2)問則迎刃而解”,其實(shí)并非如此.

(3)筆者的看法

文 3[]中的解法2雖然“直白、明了”,但是圖象直觀不能代替嚴(yán)格的邏輯推理,解答題不能用.解法3利用等價(jià)轉(zhuǎn)化,分離參數(shù),回避了難點(diǎn),將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,這一點(diǎn)非常好.對(duì)于雷老師說的“‘當(dāng)b滿足0＜b時(shí)’如魔法師帽子里蹦出的‘兔子’;此題只要突破了第(1)問,第(2)問則迎刃而解”,筆者贊同文 4[]中黃老師的觀點(diǎn),即“其實(shí)并非如此”.

文 4[]中黃老師認(rèn)為“當(dāng)b滿足0＜b＜a

首先,要讓學(xué)生明白問題是什么?問題是要證明當(dāng)a＞0時(shí),f′(x)在 (0 ,＋∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).如何判斷函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)存在且唯一呢?可以用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)存在,由f′(x)在 (0 ,＋∞)內(nèi)單調(diào)判斷零點(diǎn)唯一,單調(diào)問題較容易(也可以與提供答案不同,而是通過求導(dǎo)來判斷),難點(diǎn)在哪兒?找到零點(diǎn)存在性定理滿足的條件,即在 (0 ,＋∞)內(nèi)找到兩個(gè)自變量x1、x2,滿足f′(x1)f′(x2)＜0.如何找? 找哪兩個(gè)?受思維定式影響,學(xué)生習(xí)慣具體數(shù)據(jù),不習(xí)慣抽象的字母;習(xí)慣答案就是一個(gè),不習(xí)慣靈活地探尋(多了反而找不到).這就是高考要考查的目的,即考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).其 實(shí),有 表 達(dá) 式x＞0( )的結(jié)構(gòu)特征,前面2e2x不含參數(shù)a,后含參數(shù)a,因此,自變量x1或x2不可能是一個(gè)具體的數(shù)據(jù),應(yīng)含參數(shù)a或是一個(gè)與參數(shù)a有關(guān)的范圍.這時(shí)我們可以嘗試,命題組提供答案是令x1＝a,有f′x1()＝f′a()＝2e2a－1＞0.其實(shí)這樣的x1很多,如,有f′x1()＝甚至x1為一個(gè)范2e0－2＝0.但是要找到x2,使得f′x2()＜0卻不容易.命題組提供的答案“當(dāng)b滿足0＜b＜時(shí),f′b()＜0”即“當(dāng)x2滿足0＜x2時(shí),f′x2()＜0”是怎么來的呢?真是魔法師帽子里蹦出的“兔子”嗎?其實(shí),因?yàn)閤＞0,當(dāng)x→0時(shí),2e2x→2,所以“當(dāng)x2滿足0時(shí),f′x2()＜0”顯然成,……也是正確的.我們也可時(shí),f′(x)＜2e－6＜0顯然成立.把改為2…也是正確的.

再來看例3中“設(shè)正整數(shù)n0滿足n0＞”是怎么想到的?其實(shí),要證fn0()＝en0(aen0＋a－2)－n0＞0,只需aen0＋a－2＞1,這樣就有

f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0,所以由aen0＋a－2＞1,解得n0成許多比它大的數(shù),如ln.同前面例1一樣,這兒的取值滲透著放縮法思想.

雷老師說的“此題只要突破了第(1)問,第(2)問則迎刃而解”,為什么說其實(shí)并非如此?前面對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案的困惑也基本說明了原因.首先,學(xué)生對(duì)為什么要設(shè)“隱零點(diǎn)”就一知半解,更何況后面還要利用含有“隱零點(diǎn)”的等式進(jìn)行等量代換,對(duì)原函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后用基本不等式求最值,所以說思維量是很大的.首先,要對(duì)“f(x)≥2a＋aln”數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行分析思考.即證f(x)≥2a＋aln.那么怎么求f(x)?

minmin這就需要知道(1)中函數(shù)f′(x)＝2e2x－(a＞0,x＞0)的唯一的零點(diǎn)(實(shí)際上是函數(shù)取得極小值的點(diǎn)),而這個(gè)零點(diǎn)是求不出來的,怎么辦?這樣設(shè)出“隱零點(diǎn)”才成為必然.在得到f(x)min＝f(x0)＝e2x0－alnx0后,怎么來判斷f(x)≥2a＋aln呢?依然是難點(diǎn).不好求,min怎么辦?對(duì)表達(dá)式f(x0)＝e2x0－alnx0能進(jìn)行轉(zhuǎn)化嗎?怎么轉(zhuǎn)化?由x0是f′(x)的零點(diǎn)能得到什么?……(若只轉(zhuǎn)化其中一個(gè),沒有都轉(zhuǎn)化,則不具備利用基本不等式求最值的條件,問題變得麻煩.)

3 備考策略

3.1 加強(qiáng)對(duì)往屆真題的研究

由前面的幾個(gè)例子可以看出,高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)試題命題大有規(guī)律可循,特別是前面“對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案的困惑”中提出的兩個(gè)問題,類似的解法在后面高考中接連出現(xiàn),筆者認(rèn)為這不得不引起我們一線師生的高度重視.在平時(shí)教學(xué)中,如果僅僅是完全按照答案講解,那么只會(huì)讓學(xué)生覺得仿佛是在看“變魔術(shù)”,思考問題的方式不會(huì)改變.教師只有帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行認(rèn)真的分析,對(duì)每一步,每一個(gè)環(huán)節(jié)如何得到進(jìn)行探究,對(duì)每一個(gè)難點(diǎn)如何破解進(jìn)行思考,經(jīng)歷完整的思路的形成過程、結(jié)論的計(jì)算過程,這樣學(xué)生的解題能力才能提高.

3.2 注重創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)

仔細(xì)分析高考中的導(dǎo)數(shù)題的求解,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,解題方法的選擇,欲得結(jié)論的嘗試等問題,這也是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查.這就要求學(xué)生在審題和探索解題思路時(shí),要有足夠快的反應(yīng)能力,尤其是在發(fā)現(xiàn)已有的思路行不通時(shí),要知道從哪些方面去轉(zhuǎn)換思路,提出新的問題,尋找突破的途徑.而對(duì)于這些,如果學(xué)生平常有多次類似的解題經(jīng)歷,在考場(chǎng)上就不至于慌張,從而也就能想出創(chuàng)造性的解題方法來.這就要求我們教師在日常的教學(xué)中要多對(duì)學(xué)生鼓勵(lì),讓他們敢于嘗試,尤其是要容許學(xué)生犯錯(cuò)誤,然后從錯(cuò)誤中反思,再尋找正確解法.長此以往,學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)一定能得到培養(yǎng).

3.3 狠抓數(shù)學(xué)思想的滲透

前面我們已說《考試說明》對(duì)導(dǎo)數(shù)部分考查的要求“對(duì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等都進(jìn)行深入的考查”,我們?cè)僮屑?xì)分析前面的例子(高考真題),不難發(fā)現(xiàn)試題確實(shí)體現(xiàn)了命題思想.另外,轉(zhuǎn)化與化歸的思想也非常重要,正如波利亞在《怎樣解題》中所說：“解題就是把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題,把原有問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已解決的問題,即問題的不斷變換過程”.[5]在我們的教學(xué)中,要更多地關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法感悟的充分性與全面性,要?jiǎng)?chuàng)設(shè)大量的機(jī)會(huì)給學(xué)生思考、探究、總結(jié)、提煉,讓數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中能真正地落到實(shí)處.[6]

1 龍正武.從一道高考真題談函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的備考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017,56(5)：48-51

2 雷波.函數(shù)結(jié)構(gòu)任繁雜 巧妙轉(zhuǎn)化變通達(dá)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016,55(6)：42-46

3 黃桂君.教會(huì)學(xué)生思考比教給學(xué)生方法更重要[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017,56(5)：45-47

4 陳曉明.數(shù)學(xué)思想方法在向量中的應(yīng)用教學(xué)舉例 [J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2017(3)：4-7

2017-10-15)