◎吳迪洲

隨機(jī)利率模型下養(yǎng)老基金的最優(yōu)化管理

◎吳迪洲

針對我國日益加深的老齡化趨勢和養(yǎng)老金缺口，本文主要研究了養(yǎng)老金的收益保障運(yùn)籌最優(yōu)化問題（帶下限保障）。本文引入Cox-Ingersoll-Ross利率模型，從而對金融世界作實(shí)際的假設(shè)。通過分解養(yǎng)老金將有下限約束的退休收益優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的自融資基金優(yōu)化問題，最后在CIR利率模型下討論最優(yōu)策略微分方程及其數(shù)值解。

背景介紹

作為社會保障體系的重要環(huán)節(jié)，員工養(yǎng)老金計劃的推出和風(fēng)險管理是國內(nèi)政府有關(guān)部門日益重視的現(xiàn)實(shí)問題。隨著人口結(jié)構(gòu)的不斷變化，老齡化格局愈演愈烈，推動基金類也就是DCP養(yǎng)老金方案成為了發(fā)展的主流。本文主要討論DCP確定繳費(fèi)養(yǎng)老金方案，而考慮到養(yǎng)老金計劃應(yīng)該能夠支付給受益人最基本的生活保障，所以引入一個最低收益的前提。同時考慮養(yǎng)老金投資年限較長，一般在二十年以上，利率不會恒定不變，因此引入隨機(jī)利率模型是必要的。本文主要考慮在Vasicek利率模型下的情況。

模型建立

金融市場假設(shè)

在本文中，金融市場被假定為無套利，無摩擦且連續(xù)開放的。且對養(yǎng)老金的投資行為不影響各類證券的價格?，F(xiàn)取一個完備的概率空間(Ω, F, P)，并在其上定義一個二維布朗運(yùn)動（Wr(t),W(t)）,t≥0，令F(t)t≥0是該布朗運(yùn)動產(chǎn)生的自然σ域流來描述到t時刻所有市場信息。假設(shè)市場中一共有三類投資工具：現(xiàn)金，股票，長期債券。

假設(shè)1 仿射利率的確定： Heath Jarrow and Morton 模型里遠(yuǎn)期利率f(t,u)滿足，無風(fēng)險瞬時利率r(t)= f(t,t)，于是可以推導(dǎo)現(xiàn)金資產(chǎn)的價格，此時得到Vasicek模型，代表現(xiàn)金資產(chǎn)的順勢無風(fēng)險利率。令得到CIR模型。

假設(shè)22 假設(shè)到期日為T的無息票債券在t時刻的價格為B(t,T),滿足

其他假設(shè)

繳費(fèi)率c(t)

假設(shè)1 繳費(fèi)率c(t)

我們用繳費(fèi)率（contribution rate）表示在連續(xù)時間模型中投資者在時刻t1向基金投入c(t)

假設(shè)2 下限保障G(T)

假設(shè)養(yǎng)老金以永久年金的形式發(fā)放，讓f(t)代表最小年金，T為截至?xí)r刻，那么

假設(shè)3 財富過程X(t)

表示為t時刻在現(xiàn)金S0(t) 股票 S(t)和債券B（t,K）上的資產(chǎn)。

最優(yōu)化原則

采用效用函數(shù)期望優(yōu)化

最優(yōu)化問題的解

因?yàn)閄（t）不是自融資過程并帶有約束條件，因此可以借助倒向隨機(jī)微分方程保證解唯一。

自融資過程的使用

把賬面價值D（t）與Y（t）拆分，可以得到Y(jié)(t)= X(t) – D (t)

通過對D（t）求導(dǎo)不難得到如下微分方程：

其中

既然Y（t）顯然可知是自融資過程，那么問題簡化為

G（t）用資產(chǎn)組合復(fù)制

讓 Z(t)=Y(t)-G(t)=X(t)-D(t)-G(t) 代入上面的微分方程

其中

即可得到

求解偏微分方程

那么有

其中Et為條件期望算子。

再令 Φ (w *; Z,P,f,t)=L(J)

其中，L為關(guān)于變量（Z,Pf)的Dynkin算子。

滿足

最終我們得到最優(yōu)投資策略

結(jié)論與展望

本文得到了一個繳費(fèi)確定計劃養(yǎng)老金的計算方法，可以用于基金經(jīng)理的實(shí)際操作中。值得注意的是，我們假定了市場中投資工具分為三類，只考慮股票市場指數(shù)作為資產(chǎn)代表，在現(xiàn)實(shí)情形中我們可以對多資產(chǎn)的情況進(jìn)行頻繁推廣。另外，通過HJM模型推導(dǎo)出的Vasicek模型是對隨即利率的一種刻畫的框架，而我們可以未來通過他構(gòu)造更現(xiàn)實(shí)的利率模型。

英國利物浦大學(xué)）