李 慶

(西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

UP整環(huán)上的u-平坦模

李 慶

(西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

UP整環(huán);u-模;U-內(nèi)射模;u-平坦模

1 引言及準備知識

在環(huán)模理論中,內(nèi)射性與平坦性的發(fā)展一直是眾多代數(shù)學者研究的焦點問題.2005年,文獻[1-2]研究了極大性內(nèi)射模的概念.2010年,文獻[3]刻畫了交換環(huán)上的極大性內(nèi)射模并引入了MFG整環(huán)等概念并討論其同調(diào)性質(zhì).文獻[4-6]研究了特殊環(huán)上的內(nèi)射性.2016年,文獻[7]在文獻[3]的基礎上將極大性內(nèi)射模推廣到U-內(nèi)射模并展開了一系列的討論.2014年,文獻[8]利用w-算子將平坦模推廣到w-平坦模.2017年,文獻[9]借助于文獻[7,10]的思想,定義了u-算子和UP整環(huán),提出了u-正合列的概念,討論了一些基本的同調(diào)性質(zhì).希望在文獻[9]的基礎上進一步較為系統(tǒng)地刻畫UP整環(huán)上的同調(diào)性質(zhì),主要對內(nèi)射性和平坦性做進一步推廣研究.

設R是整環(huán),用w-Max(R)表示R的極大w-理想,E(M)表示R-模M的內(nèi)射包.首先回顧幾個重要概念.設S是R的理想的非空集合,滿足：

1)R∈S;

2) 若I,J∈S,則IJ∈S,則稱S為R的一個理想的乘法系.

或者對任何J∈U,模同態(tài)f:J→M可以擴張到R上,則稱M是U-內(nèi)射模.假設M是U-無撓的R-模,令Mu={x∈K?RM|?J∈U使得Jx?M},稱Mu為M的u-包絡.若J∈U,x∈K?RM和Jx?M,能推出x∈M,則M就叫做u-模.顯然,M是u-模當且僅當Mu=M.由文獻[7]中定理3.4可知U-無撓的R-模M是U-內(nèi)射模,當且僅當M是u-模.在文獻[9]中定義了UP整環(huán).所謂R是UP整環(huán),是指R是U-無撓的自U-內(nèi)射整環(huán)且R滿足(P).這里R滿足(P),是指任意J∈U至少包含一個有限生成子理想I∈U.我們知道u-包絡在UP整環(huán)上構(gòu)成了星型算子,簡稱為u-算子.更多關于u-算子和UP整環(huán)的詳細介紹參見文獻[9].關于星型算子的研究參見文獻[11-14].

2 UP整環(huán)上的內(nèi)射性研究

本文恒設R是UP整環(huán).

定義2.1[9]設f:M→N是R-模同態(tài).若對R的任何極大u-理想m,有fm:Mm→Nm是單同態(tài)(滿同態(tài)或同構(gòu)),則稱f是u-單同態(tài)(u-滿同態(tài)或u-同構(gòu)).

定義2.2[9]設A→B→C是R-模同態(tài)序列.若對R的任何極大u-理想m,Am→Bm→Cm是正合列,則稱此序列A→B→C是u-正合列.

定義2.3設M是任何R-模.若存在有限生成自由模F和u-滿同態(tài)g:F→M,則稱M是u-有限生成R-模.

顯然有限生成模是u-有限生成模.由定義可知,若M是u-有限生成R-模,則對任何極大u-理想m,Mm是有限生成的.

命題2.4設M是R-模.

1) 若M是U-撓模,則M是u-有限生成的;

2) 若M是u-有限生成的當且僅當存在M的有限生成子模B,使得對R的任何極大u-理想m,Mm=Bm;

3) 若M是U-無撓模,則若M是u-有限生成的當且僅當存在M的有限生成子模B,使得Mu=Bu,當且僅當Mu是u-有限生成的.

證明1) 由u-正合列0→M→0即得;

2)M是u-有限生成的,則存在有限生成自由模F和u-滿同態(tài)g:F→M,故gm:Fm→Mm是滿同態(tài),故Mm=Im(gm)=Im(g)m,這里令B=Im(g)是M的有限生成子模,因為F是有限生成的,因此Mm=Bm;

3) 由文獻[9]中命題3.8和3.9以及上述2)即得.

由文獻[7]中例3.10知道U-無撓模的內(nèi)射模是u-模,反之,則不一定成立.但是可以得出如下結(jié)論.

定理2.5設E是u-模,以下各條等價:

1)E是內(nèi)射模;

3) 對R的任何u-理想I,同態(tài)f:I→E可以擴張到R;

證明1)?2)?3) 顯然成立.

3)?1) 設I是R的理想,f:I→E是同態(tài).由文獻[9]中定理4.2,f可以擴張為同態(tài)g:Iu→Eu=E.由條件g可以擴張到R,故f可以擴張到R.因此,E是內(nèi)射模.

2)?4) 設N=Rx1+…+Rxn,對n做歸納法.當n=1時,即N=Rx1,有正合列0→ann(x1)→R→Rx1→0,故R/ann(x1)?Rx1=N.因N是U-無撓模,故由文獻[9]中命題2.4,ann(x1)是u-理想.故

由正合列0→Rx1→N1→N1/Rx1→0,于是

3 UP整環(huán)上的u-平坦模

定義3.1設M是R-模,若對任意u-單同態(tài)f:A→B,使得1?f:M?RA→M?RB是u-單同態(tài),則稱M是u-平坦模.

定理3.2設M是R-模,則:

由文獻[9]中命題4.4,(Im(f)+ker(g))/Im(f),(Im(f)+ker(g))/ker(g)都是U-撓模.類似于上述證明,由0→Im(f)→Im(f)+ker(g)→(Im(f)+ker(g))/Im(f)→0和0→ker(g)→Im(f)+ker(g)→(Im(f)+ker(g))/ker(g)→0都是正合列,有

以及

從而

定理3.3設M是R-模,以下各條等價:

1)M是u-平坦模;

2) 對任何u-正合列0→A→B→C→0,序列0→M?RA→M?RB→M?RC→0是u-正合列;

3) 對R的任何極大u-理想m,Mm是平坦Rm-模;

6) 對R的任何理想I,自然同態(tài)M?RI→IM是u-同構(gòu);

7) 對R的任何u-有限生成理想I,自然同態(tài)M?RI→IM是u-單同態(tài);

8) 對R的任何u-有限生成理想I,自然同態(tài)M?RI→M是u-單同態(tài).

證明1)?2) 由u-平坦模的定義與定理3.2直接得出結(jié)論.

2)?3) 設Im是Rm任意理想,其中I是R的理想.于是0→I→R→R/I→0是正合列.從而0→M?RI→M?RR→M?RR/I→0是u-正合列.于是,對R的任何極大u-理想m,0→(M?RI)m→(M?RR)m→(M?RR/I)m→0是正合列.故0→Mm?RmIm→Mm?RmRm→Mm?RmRm/Im→0是正合列.故Mm是平坦Rm-模.

4)?1) 由定理3.2直接可得結(jié)論.

5)?4) 顯然成立.

3)?6)?7)?8) 易得結(jié)論.

8)?3) 設m是R的任意極大u-理想,Im是Rm的任意有限生成理想.由假設可知M?RI→M是u-單同態(tài).因此,Mm?RmIm→Mm是單同態(tài).故Mm是平坦Rm-模.

推論3.41) 若M是U-撓模,則M是u-平坦模.

2) 若f:M→N是u-同構(gòu),則M是u-平坦模當且僅當N是u-平坦模.于是,若M是U-無撓模,則M是u-平坦模當且僅當Mu是u-平坦模.

3)M是u-平坦模當且僅當M/torU(M)是u-平坦模,這里torU(M)表示M的U-撓子模.

證明由定理3.3以及文獻[9]中命題3.7和3.8直接得出結(jié)論.

引理3.5設M是U-無撓模,{Ai|i∈Γ}是M的一簇子模,則:

1) (∑iAi)u=(∑i(Ai)u)u;

2) 若Γ是有限集,則(∩iAi)u=∩i(Ai)u.

證明1) 顯然∑iAi?∑i(Ai)u,從而

(∑iAi)u?(∑i(Ai)u)u.

反過來,設x∈(∑i(Ai)u)u,則存在J∈U使得Jx?∑i(Ai)u.因J是有限生成的,故不妨設Jx?(A1)u+…+(As)u,于是存在J′∈U使得J′Jx?A1+…+As,故x∈(A1+…+As)u?(∑iAi)u.

2) 設x∈(∩iAi)u,則存在J∈U使得Jx?∩iAi?Ai,從而x∈(Ai)u.故x∈∩i(Ai)u.于是(∩iAi)u?∩i(Ai)u.反過來,設x∈∩i(Ai)u?(Ai)u,因Γ是有限集,于是存在J∈U使得對任意i∈Γ有Jx?Ai,從而Jx?∩iAi.故x∈(∩iAi)u,于是x∈∩i(Ai)u?(∩iAi)u,因此(∩iAi)u=∩i(Ai)u.

定理3.6設0→K→F→M→0是u-正合列,F是u-平坦模,則以下各條等價:

1)M是u-平坦模;

2) 對R的任何理想I,Ku∩(IF)u=(IK)u;

3) 對R的任何有限生成理想I,Ku∩(IF)u=(IK)u.

證明由定理3.3,M是u-平坦模當且僅當對R的任意極大u-理想m,Mm是平坦模.由0→K→F→M→0是u-正合列,于是0→Km→Fm→Mm→0是正合列.從而Mm是平坦模當且僅當對Rm的任何理想(或有限生成理想)Im,其中I是R的任意理想(或有限生成理想),有Km∩ImFm=ImKm,即(K∩IF)m=(IK)m,由文獻[9]中命題3.9有(K∩IF)u=(IK)u,再由引理3.5有Ku∩(IF)u=(IK)u.

定理3.70→A→B→C→0是u-正合列,則:

1) 如果A、C是u-平坦模,則B也是u-平坦模;

2) 如果B、C是u-平坦模,則A也是u-平坦模.

注意,我們知道平坦模是無撓模,但是u-平坦模不一定是無撓模.類似于文獻[8]中注3.7,設J∈U,那么R⊕R/J是u-平坦模,但不是無撓模.從而u-平坦模不一定是平坦模.

更正說明:文獻[9]中定義2.7中有兩處符號印刷錯誤,將定義2.7這一段的第2行和第3行中K⊕RM修改為K?RM.同時文獻[9]中命題2.8的證明中第2段的第2行有一處印刷錯誤,應將K⊕RMi修改為K?RMi.為此給讀者帶來的困擾,作者深表歉意.

致謝西南民族大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(2015NZYQN69)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2000MSC：13G05; 13C11; 13D07

(編輯 余 毅)

u-flat Modules over UP-domains

LI Qing

(SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan)

UP domain;u-module;U-injective module;u-flat module

O153.3; O154.2

A

1001-8395(2017)06-0738-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.005

2017-03-14

國家自然科學基金(11401493)和四川省教育廳自然科學基金(14ZB0463)

李 慶(1980—),女,副教授,主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:lqop80@163.com