羅文軍

近年高考數(shù)學(xué)文化試題的綜述

羅文軍

數(shù)學(xué)文化試題近年來在高考中一直有所體現(xiàn)。對這些試題進行統(tǒng)計，可以得出部分出題規(guī)律。對教材中并未涉及的試題背景進行歸納，有助于教師有針對性地指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)迎考。

數(shù)學(xué)文化；高考試題；備考策略；試題統(tǒng)計

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

顧沛在《數(shù)學(xué)文化》一書中從課程角度解釋了數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵：簡單說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛些說，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等。

2003年版的 《普通高中數(shù)學(xué)課程標準 （實驗）》中提出的新課程標準理念之一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。但在具體教學(xué)中，大多學(xué)校由于高考沒有對數(shù)學(xué)文化提出要求，對課本中涉及數(shù)學(xué)文化的閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)以及人教A版選修3-1《數(shù)學(xué)史選講》等內(nèi)容在教學(xué)中都沒有開展，這造成了不知道《九章算術(shù)》的高中生大有人在。2017年修訂后的高考數(shù)學(xué)考綱增加了對數(shù)學(xué)文化的要求——展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值。這對高中教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用。以數(shù)學(xué)文化為背景命題，為高考注入了新的活力。歷年高考題中不乏滲透數(shù)學(xué)文化的試題，這類試題凝結(jié)了高考命題專家的心血和智慧，本文對這類試題加以綜述與分析。

二、數(shù)學(xué)文化試題的統(tǒng)計與分析

以下是近5年高考全國卷（見表1）、湖北卷2009~2017年（見表2）、其他省份 2007~2017年（見表3）數(shù)學(xué)文化試題分布統(tǒng)計表。

表1 近5年全國卷中數(shù)學(xué)文化試題分布統(tǒng)計

表2 湖北卷2009~2017年高考數(shù)學(xué)文化試題分布統(tǒng)計表

續(xù)表2

表3 其他省份2007-2017年高考數(shù)學(xué)文化試題統(tǒng)計

續(xù)表3

從上表不難看出，從2009年到2017年間，湖北卷出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化試題總數(shù)目較多，類型五花八門。全國卷在2013年到2017年間，在Ⅰ卷或Ⅱ卷中相應(yīng)設(shè)置了一些數(shù)學(xué)文化試題。無論從全國卷、湖北卷，還是其他省高考試卷來看，高考數(shù)學(xué)文化試題主要出現(xiàn)在理科試卷中。從題型上來看，數(shù)學(xué)文化試題主要以小題的形式出現(xiàn)在選擇題和填空題里面，解答題中較少。從所考查的知識點上來看，以我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》《算法統(tǒng)宗》和《算數(shù)書》中問題為背景的文化試題，主要考查立體幾何、數(shù)列、算法程序框圖等知識內(nèi)容。以“阿基米德三角形”“蝴蝶定理”為背景的試題出現(xiàn)在解答題里面，主要考查解析幾何的知識。

其次，有的數(shù)學(xué)文化試題直接給出了背景，有的沒有給出背景。這些數(shù)學(xué)文化試題，有的出自我國經(jīng)典古名著，有的出自數(shù)學(xué)名題，有的以著名圖形為背景。既考查了高中數(shù)學(xué)主干知識，也考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識，關(guān)注了考生的人文情懷。這類試題豐富了高考數(shù)學(xué)命題的素材，使高考試題充滿了生機和靈氣，也增強了考生的文化自信。在2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱修訂后，2017年全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、浙江卷都相應(yīng)地設(shè)置了數(shù)學(xué)文化試題，我們可以大膽推斷，在2018年高考中，將有更多的省份、地區(qū)設(shè)置數(shù)學(xué)文化試題，數(shù)學(xué)文化試題所占的比例也將會有所增加。

三、數(shù)學(xué)文化試題背景歸類

1.源自古代數(shù)學(xué)名著的文化試題。

以 《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《數(shù)書九章》《算數(shù)書》等古代數(shù)學(xué)名著為背景的試題可以歸為此類。其中《九章算術(shù)》出現(xiàn)的次數(shù)最多?！毒耪滤阈g(shù)》是在相當長的一段時間里經(jīng)過眾多學(xué)者的收集、刪補而編纂的中國古代經(jīng)典著作，成書于約公元前1世紀?！毒耪滤阈g(shù)》涉及農(nóng)業(yè)、商業(yè)、工程、測量、方程解法以及直角三角形的性質(zhì)等知識。它是中國古代數(shù)學(xué)知識的縮影，全書包含246道應(yīng)用問題，分成九章編寫：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。《九章算術(shù)》作為“算經(jīng)十書”之首，其中包含了數(shù)形結(jié)合思想、算法化思想、極限思想、模型化思想。它們在很大程度上反映了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本思想方法，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著重要的意義。

2015年新課標全國卷Ⅰ理科第6題源于《九章算術(shù)》第五章《商功》之［二五］，該題將古代文化“依垣”和現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念“圓錐”結(jié)合，試題新穎，貼近生活，考查了圓錐的性質(zhì)和圓錐的體積公式。對弘揚中國數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情操和認識中華古典文化有著深刻的教育意義。

除了《九章算術(shù)》，以其他古代數(shù)學(xué)名著為背景的試題也零散出現(xiàn)于過往的考題中。例如，2017年全國新課標Ⅱ卷理科第3題以 《算法統(tǒng)宗》中的問題為背景，考查了等比數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式。

2.源自著名圖形。

中國古代圖形的創(chuàng)意化應(yīng)用來源于對文字符號的意象化創(chuàng)意，其中最著名的是太極圖。它是中國古代人智慧的結(jié)晶，也體現(xiàn)了中國古代文化的博大精深。太極圖的原型為兩條相互追逐的魚，逐漸演化為現(xiàn)在所見的標準太極圖。標準的太極圖被S線分為黑白兩個區(qū)域，黑為陰，白為陽，同時黑色區(qū)域里有一白點稱為陰中陽，白色區(qū)域里一黑點稱陽中陰。太極圖集美學(xué)與哲學(xué)于一體，凝聚了中華傳統(tǒng)文化的思想精髓，概述了宇宙萬物的規(guī)律，體現(xiàn)了精深的美學(xué)思想，反映了中華民族思維方式和文化觀念。2017年全國新課標I卷理科第2題以太極圖的對稱美為背景，考查了與面積有關(guān)的幾何概型概率的計算。

高考中還有源自著名圖形趙爽弦圖、楊輝三角、畢達哥拉斯形數(shù)的文化試題。

3.源自名題。

以祖暅原理、劉徽“割圓術(shù)”、阿波羅尼圓、斐波那契數(shù)列、勃羅卡點、將軍飲馬問題、米勒問題、皮克定理為背景的文化試題，都可以看成源自歷史名題。

劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家，他提出的“割圓術(shù)”是求圓周率的一種著名算法。割圓術(shù)中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割至于不可割，則與圓合體而無所失矣”可視為中國古代極限思想的論述。

2017年高考浙江卷理科第11題以劉徽割圓術(shù)為依托，考查了利用三角形面積公式求圓的內(nèi)接正六邊形的面積，弘揚了我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。人教A版數(shù)學(xué)必修3第45頁“閱讀與思考”中專門介紹了“割圓術(shù)”。

4.以著名猜想為背景的文化試題。

以“角谷猜想”“四色猜想”為背景的試題可以看成源自著名數(shù)學(xué)猜想的試題。

“角谷猜想”，又稱“冰雹猜想”，內(nèi)容為：任意給一個自然數(shù)n，如果它是偶數(shù)，就將它除以2，即將它變成；如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加上1，即變成3n+1。對任意的一個自然數(shù)，施行這種演算手續(xù)，經(jīng)過有限步驟后，最后結(jié)果必然是自然數(shù)1。2009年湖北卷理科第15題以角谷猜想為背景，考查了數(shù)列的遞推公式和分類討論思想。

5.體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的數(shù)學(xué)文化試題。

典型的是以蝴蝶定理為背景的高考數(shù)學(xué)文化試題。

圖1中，左邊是一只漂亮的蝴蝶，幾何圖形化、數(shù)字化后得到一個漂亮命題：設(shè)AB是圓O的一條弦，過AB的中點M，作兩條弦CD和EF，設(shè) CF、ED與 AB分別交于 P、Q兩點，則MP=MQ。人們將其稱之為“蝴蝶定理”。蝴蝶定理的證明目前已有60多種不同的方法。2016年山東卷文科第21題以橢圓中的蝴蝶定理為背景，考查了橢圓的方程、橢圓中的定值問題、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中的最值，也考查了考生的推理論證能力和運算求解能力。

體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的還有以黃金分割比為背景的數(shù)學(xué)文化試題。2012年高考湖北卷理科第14題以黃金雙曲線為載體，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的幾何性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想。

6.體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的數(shù)學(xué)文化試題。

（1）以黑洞數(shù)為背景的文化試題（體現(xiàn)數(shù)學(xué)與天文學(xué)聯(lián)系）。

“黑洞”是天文學(xué)中的一個概念，數(shù)學(xué)中也存在類似天文學(xué)上的黑洞——數(shù)字黑洞。數(shù)字黑洞其實并不是真正意義上的黑洞。人們對某一自然數(shù)，給定一個特定的運算規(guī)則后，經(jīng)過一步或者幾步運算之后其結(jié)果會循環(huán)出現(xiàn)。人們形象地把這一現(xiàn)象稱為數(shù)字黑洞。2014年湖北卷理科第13題的背景是數(shù)學(xué)黑洞問題，考查了程序框圖的運算，也考查了學(xué)生的推理論證能力和創(chuàng)新意識。

（2）以回文數(shù)為背景的文化試題（體現(xiàn)數(shù)學(xué)與文學(xué)聯(lián)系）。

“回文”是指無論順拼（寫）或倒拼（寫）都完全一樣的詞、詩歌、句子或數(shù)字等。在數(shù)學(xué)里，無論從左到右還是從右到左都是同一個數(shù)的正整數(shù)稱為回文數(shù)。以“回文數(shù)”命制試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)背景下的對稱之美。2012年湖北卷理科第13題以有趣的回文數(shù)為背景進行命制。該題直接給出回文數(shù)概念來考查學(xué)生的排列組合知識以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理解能力，側(cè)重考查學(xué)生利用排列組合知識分析解決問題的能力。該題通過創(chuàng)設(shè)新穎有趣的背景，進而在新的知識背景中考查排列組合知識的掌握及應(yīng)用。

四、數(shù)學(xué)文化試題的教學(xué)策略

首先，每一個數(shù)學(xué)知識都有其背景和文化，因此在授課的時候，教師可以提前讓學(xué)生搜尋某一知識的背景或者創(chuàng)作這個知識或公式的故事。讓學(xué)生在故事中體會數(shù)學(xué)的魅力和文化。在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生潛移默化地受這些文化所影響，自然而然地就有了一定的思維能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。例如在 “基本不等式的教學(xué)中，可以安排學(xué)生課前收集趙爽弦圖的知識并整理成小短文，課堂上講到趙爽弦圖時，讓做了準備的學(xué)生發(fā)言，介紹自己搜集到的成果。

其次，部分高考數(shù)學(xué)文化試題在課本中能找到影子，例如秦九韶算法、更相減損術(shù)出現(xiàn)在人教版數(shù)學(xué)必修3的正文中，伯努利不等式出現(xiàn)在選修4-5的正文中，高斯函數(shù)、阿波羅尼圓、角谷猜想出現(xiàn)在教材習(xí)題中，祖暅原理、劉徽割圓術(shù)、斐波那契數(shù)列出現(xiàn)在教材閱讀與思考或探究與發(fā)現(xiàn)欄目中。在具體教學(xué)中，教師可以設(shè)置一些數(shù)學(xué)文化習(xí)題與這些數(shù)學(xué)文化知識相配套。

再次，在高一、高二的教學(xué)實踐中，教師可以自己仿照歷年高考數(shù)學(xué)文化試題根據(jù)《九章算術(shù)》等經(jīng)典名著中的經(jīng)典問題編制立體幾何、數(shù)列或者程序框圖文化試題。教師可以自己上網(wǎng)搜集阿基米德三角形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)性質(zhì)自己改編一些試題，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)中使用。

最后，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)的二輪復(fù)習(xí)專題中，要做到回歸課本，挖掘課本中的數(shù)學(xué)文化素材。教師可以專門精心挑選歷年高考真題、2017年和2018年各省?？荚囶}中的經(jīng)典數(shù)學(xué)文化試題編制數(shù)學(xué)文化專題，讓學(xué)生通過做題，加深對數(shù)學(xué)文化知識的理解。在具體的教學(xué)中，教師可以收集這些文化試題的背景知識制作成課件，借助多媒體進行演示，這樣不但可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

［1］顧沛.數(shù)學(xué)文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［2］陳昂，任子朝.突出理性思維，弘揚數(shù)學(xué)文化［J］.中國考試，2015（03）.

［3］梅磊，史嘉.例談數(shù)學(xué)文化融入高考試題的意義和途徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015（1~2）.

G633.6

A

1005-6009（2017）75-0041-04

羅文軍，甘肅省秦安縣第二中學(xué)（甘肅秦安，741600）教師，二級教師。