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        正、余弦定理高考題型歸類解析

        2017-12-14 07:18:35甘肅杜紅全
        關(guān)鍵詞:邊角余弦定理正弦

        甘肅 杜紅全

        正、余弦定理高考題型歸類解析

        甘肅 杜紅全

        正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是高考的熱點(diǎn). 正、余弦定理的考查常與同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差倍角公式,甚至三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、數(shù)列、向量等交匯命題,多以解答題的形式出現(xiàn),屬于解答題中的低檔題.下面舉例說明在高考中考查的形式,供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

        一、求邊長或邊長的取值范圍

        【例2】(2015·全國卷Ⅰ理)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是________.

        二、求角或角的三角函數(shù)值

        【例3】(2015·全國卷Ⅱ文)在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.

        (Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B.

        點(diǎn)評:本題考查了兩角和的正弦公式、正弦定理以及角平分線定理.三角形的邊角關(guān)系,往往是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,通常放在一個(gè)三角形中,求角度時(shí),把三個(gè)角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角,兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)角,根據(jù)三角函數(shù)的值及角的范圍求出角,變量歸一是解題的關(guān)鍵.

        三、判斷三角形的形狀

        【例4】(2012·上海理)在△ABC中,若sin2A+sin2Blt;sin2C,則△ABC的形狀是

        ( )

        A.銳角三角形 B.直角三角形

        C. 鈍角三角形 D.不能決定

        點(diǎn)評:本題主要考查正、余弦定理. 判斷三角形的形狀主要有兩種方法:①化邊為角;②化角為邊;轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是正、余弦定理.

        四、求面積或面積的最大值

        ( )

        點(diǎn)評:本題考查了余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式. 解答本題的關(guān)鍵是由余弦定理和已知條件求得ab=6.涉及解三角形問題,要熟練運(yùn)用余弦定理及其推論,同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.

        【例6】(2014·全國卷Ⅰ理)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為________.

        點(diǎn)評:本題考查了正、余弦定理,三角形面積公式以及均值不等式.解答本題的關(guān)鍵是正確使用正、余弦定理求出∠A=60°,特別注意a與2之間的轉(zhuǎn)化.

        五、求周長

        【例7】(2016·全國卷Ⅰ理)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

        (Ⅰ)求C;

        點(diǎn)評:本題考查了正、余弦定理,三角形面積公式以及兩角和正弦公式的逆用. 解答本題的關(guān)鍵是求出ab和a+b的值.三角函數(shù)與三角形的邊角關(guān)系是每年高考的重點(diǎn),常用的解題策略就是利用正弦定理進(jìn)行邊角的互化,都變?yōu)檫吇蚨甲優(yōu)榻?,再利用三角函?shù)公式進(jìn)行化簡求值;涉及到三角形的面積要適當(dāng)?shù)睦妹娣e公式,借助于余弦定理或正弦定理進(jìn)行求解,特別要注意解答第二問可以借助第一問的結(jié)果求解.

        六、解決實(shí)際問題

        點(diǎn)評:本題考查了運(yùn)用正、余弦定理解決簡單的實(shí)際問題.解決此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,進(jìn)而利用正、余弦定理解此三角形.

        七、與其他知識的綜合問題

        【例9】(2014·陜西理)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

        (Ⅰ)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);

        (Ⅱ)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.

        分析:在(Ⅰ)問中結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),得出a,b,c之間的關(guān)系,再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和為π,利用誘導(dǎo)公式將角B轉(zhuǎn)化為用角A和C來表示,從而達(dá)到證明目標(biāo)等式;在(Ⅱ)問利用等比數(shù)列基本性質(zhì),得出a,b,c之間關(guān)系,再結(jié)合余弦定理,表達(dá)出cosB的式子,根據(jù)基本不等式得出其范圍,注意等號成立的條件.

        解:(Ⅰ)證明:因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.

        由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

        因?yàn)閟inB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),

        所以sinA+sinC=2sin(A+C).

        (Ⅱ)因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.

        甘肅省康縣教育局教研室)

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