安徽 張同語

巧妙賦值判斷函數(shù)零點(diǎn)問題

安徽 張同語

函數(shù)零點(diǎn)問題是近年來高考數(shù)學(xué)試題中的重要的熱點(diǎn)題型，在這類題型中常常涉及函數(shù)的零點(diǎn)存在性的判斷問題，如何運(yùn)用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行合理賦值，以判斷出函數(shù)的零點(diǎn)的存在性呢？本文從以下幾方面進(jìn)行探討：

一、通過適當(dāng)賦值使函數(shù)表達(dá)式中的某些項(xiàng)變成常數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)=ax-ln(x+1)，g(x)=ex-x-1，曲線y=f(x)與y=g(x)在原點(diǎn)處的切線相同.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥kf(x)，求k的取值范圍.

解：(Ⅰ)略.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取最小值0，故f(x)≥0，即ln(x+1)≤x，從而ex≥x+1.

(ⅱ)當(dāng)klt;1時(shí)，因?yàn)閒(x)≥0，所以f(x)≥kf(x)，由(ⅰ)知g(x)-f(x)≥0，所以g(x)≥f(x)≥kf(x),故g(x)≥kf(x).

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綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞，1].

二、通過適當(dāng)賦值使得函數(shù)表達(dá)式可提取參數(shù)

【例2】設(shè)agt;1，函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.

(Ⅰ)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)證明f(x)在(-∞，+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

解：(Ⅰ)因?yàn)閒′(x)=2xex+(1+x2)ex,x∈R,所以對于任意x∈R,都有f′(x)≥0且不恒為0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間.

三、通過適當(dāng)賦值使得函數(shù)表達(dá)式變多項(xiàng)為單項(xiàng)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)m≥0時(shí)，討論f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：(Ⅰ)略.

綜上所述，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).

本文所述三種賦值策略在判斷函數(shù)零點(diǎn)存在問題中，有著較為廣泛的應(yīng)用，并且易于理解，思路也較為自然順暢，希望讀者能夠觸類旁通，提高解題思維的有效性.

安徽省五河縣第一中學(xué))