李先永

二次函數是初中數學的重要內容，它內容豐富，題型多變.在學習過程中，很多同學都感到“每天都花很長時間去學習，結果成績卻不盡如人意”，并為之深深苦惱.其實掌握必要的基礎知識，結合函數圖像進行思考，再加上細心謹慎地審題，二次函數并不難.本文結合同學們平時作業(yè)與練習中的易錯點進行分析，并給出一些解決的對策和學習建議，希望同學們能樹立起學好二次函數的信心.

預警一 注意二次項系數a≠0

例1 二次函數y=（m-3）x2+20x+m2-m-6的圖像過原點，則m= .

【錯解】易得m2-m-6=0，解得m=3或m=-2.

【正解】答案應注意m-3≠0，將m=3舍去，從而m=-2.

預警二 注意b2-4ac≥0

例2 已知拋物線y=x2-（k-1）x-3k-2與x軸交于點A （α，0），B（β，0），且α2+β2=17，求k的值.

【錯解】∵拋物線y=x2-（k-1）x-3k-2與x軸交于A（α，0），B（β，0）兩點，

∴α+β=k-1，αβ=-3k-2，

∵α2+β2=17，

∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=（k-1）2-2（-3k-2）=17，

解得，k=2或k=-6.

【正解】由題意知方程x2-（k-1）x-3k-2=0的兩根為α，β，

由韋達定理得：α+β=k-1，α·β=-3k-2，

α2+β2=（α+β）2-2αβ=（k-1）2-2（-3k-2）=17，

即：k2+4k-12=0，

解得k1=2，k2=-6.

∵拋物線與x軸交于兩點，

∴b2-4ac=[-（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9>0，①

當k1=2時，代入①，滿足；

當k2=-6時，代入①，不滿足.

綜上，k=2.

【點評】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根與系數的關系：x1+x2=[-ba]，x1?x2=[ca]，該關系是在判別式b2-4ac≥0的前提下得到的，因此本題在求得k值后，必須判斷k是否能夠使得b2-4ac≥0.

預警三 注意討論函數類型

例3 若函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，求a的值.

【錯解】∵函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，

∴b2-4ac=16-4（a-1）×2a=0，

解得：a1=-1，a2=2.

【正解】∵函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，

當函數為二次函數時，b2-4ac=16-4（a-1）×2a=0，

解得：a1=-1，a2=2，

當函數為一次函數時，a-1=0，解得：a=1.

故答案為：-1或2或1.

【點評】當題干未明確指出函數是否為二次函數時，應對字母的取值范圍進行討論.在解題過程中，容易主觀地認為函數y=ax2+bx+c為二次函數，而忽略函數為一次函數的情況.

預警四 注意自變量的取值范圍

例4 求函數y=x2-2x-2（0≤x≤3）的最大值和最小值.

【錯解】當x=0時，y=-2；當x=3時，y=1.所以當0≤x≤3時，y最小值為-2，y最大值為1.

【正解】y=x2-2x-2=（x-1）2-3，所以對稱軸是直線x=1，頂點坐標是（1，-3），畫出大致圖像，如圖1中拋物線位于0≤x≤3的一段，顯然圖像上最高點是點A，最低點是頂點而不是端點B，所以當0≤x≤3時，y最小值為-3，y最大值為1.

【點評】解答本題時同學們經常會錯誤地認為端點的值就是這段函數的最值，而忽略了頂點是否在這部分函數圖像上.事實上，這道題除了考查二次函數的增減性和最值以外，還考查了數形結合思想，正確解決它只要畫一畫圖像就可以辦到了.

例5 某批發(fā)商以40元/千克的價格購入了某種水果500千克.據市場預測，該種水果的售價y（元/千克）與保存時間x（天）的函數關系為y=60+2x，但保存這批水果平均每天將損耗10千克，且最多能保存8天；另外，批發(fā)商保存該批水果每天還需40元的費用.

（1）設批發(fā)商將這批水果保存x天后一次性賣出，試求批發(fā)商所獲得的總利潤w（元）與保存時間x（天）之間的函數關系式；

（2）求批發(fā)商經營這批水果所能獲得的最大利潤.

【錯解】（1）由題意得：w=（60+2x）（500-10x）-40x-500×40=-20x2+360x+10000；

（2）w=-20x2+360x+10000=-20（x-9）2+11620，

∴當x=9時，w有最大值11620.

【正解】（1）由題意得：w=（60+2x）（500-10x）-40x-500×40=-20x2+360x+10000；

（2）w=-20x2+360x+10000=-20（x-9）2+11620.

∵0≤x≤8，x為整數，當x≤9時，w隨x的增大而增大，

∴x=8時，w取最大值，w最大=11600.

答：批發(fā)商所獲利潤w的最大值為11600元.

【點評】解答本題時同學們經常只關注到函數解析式本身，而忽略了實際問題中的自變量往往受到實際情況的制約，即自變量是有取值范圍的.此題中的“最多能保存8天”，即0≤x≤8，x不能取9，故根據函數增減性知當x=8時，w有最大值11600.

從以上幾個例題可以看出，在解答二次函數問題時，同學們要認真審題，詳細分析，周密思考，慎重求解，同時要注意挖掘隱含條件.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學）endprint