(中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)，湖北 武漢 430073)

金融數(shù)學(xué)概述及其展望

程子桐

(中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)，湖北 武漢 430073)

本文將以二次華爾街革命為主線，簡單概述金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及發(fā)展的集成，金融數(shù)學(xué)的一般理論，并針對金融數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀對其未來發(fā)展做出展望。

金融數(shù)學(xué)；期權(quán)定價(jià)；金融衍生工具

一、引言

自從兩次合計(jì)革命以來，金融數(shù)學(xué)得到了前所未有的發(fā)展，成為了一門以數(shù)學(xué)與金融為主的交叉學(xué)科。它的主要內(nèi)容包括對完全隨機(jī)情況下的投資組合最佳選擇理論以及資產(chǎn)的定價(jià)理論。其概念和基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)思想是最優(yōu)、均衡和套利。從金融數(shù)學(xué)出現(xiàn)以來已經(jīng)有近60年的發(fā)展歷史，尤其是最近幾年來，金融數(shù)學(xué)的很多假定理論得到了證實(shí)和大量的應(yīng)用，帶動(dòng)了整個(gè)金融市場內(nèi)大量產(chǎn)品的創(chuàng)新，讓金融交易更加豐富，這門學(xué)科在我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中同樣有著不可或缺的作用，在未來也會與經(jīng)濟(jì)繁榮更加密切相關(guān)。

二、金融數(shù)學(xué)的初步發(fā)展

金融數(shù)學(xué)這一名詞的首次提出是出自于一位法國數(shù)學(xué)家的博士論文中，用以描述股票價(jià)格的布朗運(yùn)動(dòng)。再后來的1905年愛因斯坦也曾做過相關(guān)研究，不過并未引起當(dāng)時(shí)學(xué)界的廣泛關(guān)注。直到20世紀(jì)中葉，薩維奇終于開始認(rèn)識到這一學(xué)科所代表的巨大意義，開始對其進(jìn)行更加細(xì)致的研究，金融數(shù)學(xué)的研究開始進(jìn)入“黃金時(shí)代”，掀開了嶄新的一頁。

金融數(shù)學(xué)是在兩次華爾街革命中開始完善起來的。第一次革命表現(xiàn)在靜態(tài)投資組合的研究上。1952年，馬可韋茨提出了以均值為理論基礎(chǔ)的方差模型投資組合問題的研究，但這一理論計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的協(xié)方差計(jì)算量太大，威廉在1964年又提出了CAPM資產(chǎn)定價(jià)模型，它在假設(shè)市場均衡的基礎(chǔ)上，任何資產(chǎn)的預(yù)期收益率是市場風(fēng)險(xiǎn)的線性函數(shù)，也就是零風(fēng)險(xiǎn)利率加風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償即為預(yù)期收益率，做出了導(dǎo)致資產(chǎn)與其收益率波動(dòng)的最主要原因是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。

第二次革命是決策由靜轉(zhuǎn)動(dòng)。1970年，固定匯率被浮動(dòng)匯率所代替，市場上出現(xiàn)了諸如期貨等衍生工具，這些工具的作用無異是管控金融風(fēng)險(xiǎn)，不過要想真正實(shí)現(xiàn)就必須要對衍生工具作出定價(jià)。巴舍利耶的布朗運(yùn)動(dòng)模型直接導(dǎo)致了隨機(jī)過程數(shù)學(xué)與金融工程學(xué)的出現(xiàn)。

三、金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論

如今，金融數(shù)學(xué)主要用于以數(shù)學(xué)方式的研究成果來描述經(jīng)濟(jì)、管理、金融等領(lǐng)域的問題，它的基礎(chǔ)理論可以在三個(gè)方面加以體現(xiàn)。

(一)投資組合選擇理論

維茲將隨機(jī)變量定位在投資組合中的股價(jià)上面，設(shè)方差為風(fēng)險(xiǎn)而均值為收益，探索在收益固定前提下盡量減少風(fēng)險(xiǎn)的投資組合問題，并且將其表達(dá)為二次規(guī)劃的最優(yōu)解：

MaxXTVX

這里X=(x1,x2,…,xn)T代表一種投資組合，Xi代表投資在第i支股上的權(quán)重，H=(h1,h2,…,hn)T是收益的均值向量，V是收益的協(xié)方矩陣，r是容許范圍內(nèi)最低限度的收益率，L=(l1,l2,…,ln)T、P=(p1,p2,…,pn)是買空賣空限，而li=0、pi=1時(shí)賣空買空都不可以。

Marco Weitz不但將這一模型的求解問題進(jìn)行了解決，并證明了多種證券的組合投資較僅投資一種證券風(fēng)險(xiǎn)較小，它目前仍是風(fēng)投的基礎(chǔ)綱領(lǐng)。

(二)CAPM理論

實(shí)際上Marco Weitz所提出的投資組合模型在應(yīng)用于股價(jià)的協(xié)方差計(jì)算上不太容易，所有在1964年，William Sharpe又提出了CAPM模型：

E[Ri]=RF+βi(E[RM]-RF)

這里的RF代指沒有風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)收益率。RM代指市場資產(chǎn)組合收益，βi=Cov(RI,RM)/Var(RM)為分風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。這個(gè)模型詳細(xì)敘述了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和投資風(fēng)險(xiǎn)二者的數(shù)量關(guān)系，讓投資者能夠更為直白的看到由于擔(dān)負(fù)風(fēng)險(xiǎn)而獲取回報(bào)的線性關(guān)系。并提出了獲得投資收益的因素只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，而其余風(fēng)險(xiǎn)能夠以投資組合的方式加以分散。

在上個(gè)世紀(jì)70年代，Black和Schools在其共同著作中提出了著名的BS公式，并認(rèn)為股票股價(jià)和期望收益率沒有關(guān)系，也就是投資偏好不會影響期權(quán)的合理價(jià)格，是非風(fēng)險(xiǎn)中性的。

四、金融數(shù)學(xué)最新進(jìn)展

(一)隨機(jī)最優(yōu)控制論

這一理論是在20世紀(jì)60年代在控制理論中使用Buerman最優(yōu)策略，并綜合測度論以及泛函分析方法衍生出來的針對隨機(jī)問題的解決理論。

(二)鞅理論

這一理論是金融數(shù)學(xué)界比較新的理論方法。它提出了金融市場在一定的假設(shè)下，其價(jià)格是一種隨機(jī)鞅的形式?？ɡ澋热耸褂眠@一概念做出了衍生證券的定價(jià)問題，對金融市場運(yùn)作秩序進(jìn)行了比較詳實(shí)的描述，并給出了處理復(fù)合衍生產(chǎn)品定價(jià)以及風(fēng)險(xiǎn)管控的所有計(jì)算步驟，也解決了不完全市場領(lǐng)域衍生產(chǎn)品定價(jià)問題。當(dāng)前國外的以鞅理論為基礎(chǔ)的定價(jià)論在金融數(shù)學(xué)界有著重要地位，國內(nèi)也開始尋求以這一理論進(jìn)行研究。

(三)最優(yōu)停時(shí)理論

這一理論可以說實(shí)用價(jià)值很高，不過將其使用在解決金融問題上的研究還比較基礎(chǔ)，大多數(shù)研究成果都停留在初級階段，也不是很多，不過學(xué)界很多研究者都認(rèn)為這一理論在投資組合上將會產(chǎn)生較為不錯(cuò)的效果。

(四)微分對策理論

穩(wěn)態(tài)假設(shè)并不能完全代表金融領(lǐng)域的現(xiàn)實(shí)環(huán)境。每當(dāng)出現(xiàn)不正常波動(dòng)是，證券價(jià)格就不會遵循布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這時(shí)使用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型的方式對投資組合問題進(jìn)行探討的話，會產(chǎn)生極大的偏差，而使用微分對策理論則不會出現(xiàn)這種問題。它能夠擴(kuò)大市場穩(wěn)態(tài)的假定范圍，也能夠?qū)⒉淮_定性干擾作為另一方，針對最差的部分進(jìn)行優(yōu)化。

(五)其他研究理論、實(shí)證方法

科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展讓金融數(shù)學(xué)的中很多假設(shè)都能夠?qū)崿F(xiàn)，小波分析.遺傳算法、仿退火算法 、非電子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等與一般金融學(xué)理論組合起來，在多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面都起到了不錯(cuò)的成效，國內(nèi)的研究也漸漸隨著金融業(yè)的復(fù)興而更加繁榮起來。

五、金融數(shù)學(xué)現(xiàn)今的問題

在以往對金融經(jīng)濟(jì)進(jìn)行描述的模式一般有兩種，也就是隨機(jī)游走模型和決定論模型，這兩種模型可以說是處于對立狀態(tài)，前者由Newton提出，認(rèn)為如果開始時(shí)狀態(tài)一致的話金融經(jīng)濟(jì)的的運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)作完全可以預(yù)判，而后者是由Brown提出，認(rèn)為各個(gè)階段的收益率互不影響，不同階段的收益率分散是一致的。最近幾十年，金融學(xué)界也有著較大的分歧：有的研究者從分析技術(shù)出發(fā)，認(rèn)為市場是按照一種規(guī)則往復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)的；也有學(xué)者以分析非線性系統(tǒng)為突破口，不相信市場按一定規(guī)律往復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)，最近的研究是學(xué)者使用新的方法手段證明了在金融經(jīng)濟(jì)范疇中，實(shí)際上應(yīng)該是兩中運(yùn)轉(zhuǎn)模式共同存在，如果這一結(jié)論有著更有力的證明，那么現(xiàn)在的學(xué)界起碼有下面幾個(gè)問題擺在研究者面前：

1、分析金融經(jīng)濟(jì)的變動(dòng)的三種性質(zhì)，也就是對所謂的無序性、朦朧性、籠統(tǒng)性作出全面探討，從而對其之間的承接條件、變換構(gòu)造、演化進(jìn)程、性質(zhì)特點(diǎn)、誘發(fā)結(jié)果和應(yīng)該使用的針對性的經(jīng)濟(jì)策略(貨幣戰(zhàn)略)。

2、對以貨幣信譽(yù)為基礎(chǔ)的貨幣需要量、供應(yīng)量、經(jīng)濟(jì)資產(chǎn)流動(dòng)和流速做出系統(tǒng)分析，研究出貨幣平衡與失衡的正確限定以及實(shí)際模型，對改進(jìn)社會金融平穩(wěn)狀態(tài)對財(cái)經(jīng)、經(jīng)濟(jì)、物資、外匯的均衡提出有力的憑據(jù)。

3、全面分析物價(jià)指數(shù)、稅率、保率、利率、匯率，為制訂有序的三率模式供給行之有效的數(shù)學(xué)模型。

4、對組織能源以及產(chǎn)出能力因素的抉擇進(jìn)行設(shè)置，并結(jié)合金融經(jīng)濟(jì)目標(biāo)為探討標(biāo)的的多方向統(tǒng)合分析，使其更好的、更普遍的使用在金融數(shù)學(xué)研究之中。

六、結(jié)語

隨著科技和學(xué)界理論的愈發(fā)豐富，金融數(shù)學(xué)的研究愈發(fā)受到廣大學(xué)者的關(guān)注，20世紀(jì)末，數(shù)十位學(xué)者聯(lián)合發(fā)起了巴舍利耶金融學(xué)會(Bachelier Financial Society)，希望以學(xué)術(shù)界的密切交流推進(jìn)各種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)模型在金融性中的靈活使用，很多專門研究將數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合的刊物諸如Management Science、Theory and Decision、Journal of Financial and Quantitative Analysis等也紛紛創(chuàng)刊，金融數(shù)學(xué)進(jìn)入繁榮時(shí)期，中國也已經(jīng)把金融數(shù)學(xué)列為國家密切關(guān)注的研究學(xué)科，受到廣泛關(guān)注，在現(xiàn)今的金融學(xué)術(shù)研究中，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、模型占有著極其重要的位置，很多浸淫于數(shù)學(xué)和理學(xué)研究的專家學(xué)者都開始將目光投向了金融數(shù)學(xué)的研究當(dāng)中，為現(xiàn)今的金融學(xué)研究注入了巨大的動(dòng)力。

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